1.4.2 平行线的性质（解析版）

2022-2023学年浙教版七年级下册同步培优1.4.2平行线的性质1、平行线的性质：(1)两直线平行，；(2)两直线平行，；(3)两直线平行，；练习:如图，已知∠1=58°，∠3=42°，∠4=138°，则∠2=。【答案】同位角相等；内错角相等；同旁内角互补；练习:58°平行线中的“拐点”（折线）问题【方法归纳】掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论．例：阅读下列材料，并解答下列问题，（1）如图①，AB∥CD，EO和FO交于点O，过点O作AB的平行线，我们可以得出∠2与∠1，∠3之间的数量关系是.(2)如图②，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1＝30°，则∠B＝．(3)如图③，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系是什么？并说明理由．(4)如图④，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠2n－1，∠2n之间有什么关系？(直接写出答案)【答案】（1）∠2＝∠1＋∠3（2）120°（3）∠1＋∠3＝∠2＋∠4.理由：如图，作EH∥AB，GI∥CD．∵AB∥CD∴EH∥AB∥GI∥CD．∴∠1＝∠NEH，∠4＝∠FGI，∠HEG＝∠IGE.∴∠1＋∠EGI＋∠FGI＝∠4＋∠NEH＋∠HEG.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.（4）∠1＋∠3＋∠5＋…＋∠2n－1＝∠2＋∠4＋…＋∠2n.3、平行线中的折叠问题【方法归纳】图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.例：如图①是一张长方形纸片，将该纸片沿EF折叠得到图②.(1)若∠DEF＝30°，则∠CFG的度数为．(直接写出结果)(2)若∠DEF＝n°，则∠CFG的度数为．(直接写出结果)【答案】（1）120°（2）180°－2n°1、一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是()A．15° B．25°C．45° D．60°【答案】A2、如图，将矩形纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若∠EBD＝20°，则∠C′DE的度数为．【答案】50°3、在“同一平面内”的条件下，下列说法中错误的有()①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条不同直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B4、如图，一艘轮船从A港出发，沿着北偏东63°的方向航行，行驶至B处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西27°方向航行，到达C后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过的度数为()A．27° B．50°C．63° D．90°【答案】D5、如图，A1B∥AnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An的值为()A．(n－1)·180° B．180°nC．(n＋1)·180° D．(n－2)·180°【答案】A实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2.(1)如图②，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝．(2)在题(1)中m∥n，若∠1＝55°，则∠3＝；若∠1＝40°，则∠3＝.(3)由题(1)(2)，请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3＝时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？(4)如图③，两面镜子的夹角为α(0°＜α＜90°)时，进入光线与离开光线的夹角为β(0°＜β＜90°)．试探索α与β的数量关系，直接写出答案．【答案】（1）100°；90°（2）90°；90°（3）90°理由：∵∠3＝90°，∴∠4＋∠6＝90°.∴2∠4＋2∠6＝180°.∴∠2＋∠5＝180°.∴m∥n.（4）2α＋β＝180°7、如图，CD⊥AB于点D，F是BC上任意一点，FE⊥AB于点E，且∠1＝∠2，∠B＝40°.(1)证明：∠BCA＝∠3.(2)求∠1的度数．【答案】(1)∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥FE(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠2＝∠DCB(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠DCB(等量代换)．∴GD∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠BCA＝∠3(两直线平行，同位角相等)．(2)∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∵GD∥BC，∠B＝40°，∴∠ADG＝∠B＝40°(两直线平行，同位角相等)．∴∠1＝∠CDA－∠GDA＝50°.8、如图，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E，∠ADE＋∠BCF＝180°.(1)请说明AB∥EF的理由．(2)若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝eq\f(1,2)∠ABC．又∵∠ABC＝2∠E，即∠E＝eq\f(1,2)∠ABC，∴∠E＝∠ABE.∴AB∥EF.(2)AF⊥BE.理由：∵∠ADE＋∠ADF＝180°，∠ADE＋∠BCF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF.∴AD∥BC．∴∠DAB＋∠CBA＝180°.∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠OAB＝eq\f(1,2)∠DAB，∠OBA＝eq\f(1,2)∠CBA．∴∠OAB＋∠OBA＝eq\f(1,2)(∠DAB＋∠CBA)＝90°.∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝90°.∴AF⊥BE.统考原题呈现统考原题呈现1、(2020·山西)如图，直线a∥b，∠1＝80°，∠3＝120°，则∠2的度数为()A．40° B．50°C．60° D．70°【答案】A2、(2019·花都)如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EPF＝90°，∠BEP＝∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为()A．∠1＝∠2 B．∠1＝2∠2C．∠1＝3∠2 D．∠1＝4∠2【答案】B3、(2019·中山)如图，AB∥CD，B是∠AOC的平分线OE的反向延长线与直线AB的交点，若∠A＝α，∠ABO＝β，则∠C＝(用含有α与β的式子表示)．【答案】α＋2β4、(2019·丰城)将一副三角尺按如图放置，小明得到下列结论：①若∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③若BC∥AD，则有∠2＝30°；④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．其中正确的结论有．【答案】①②④5、(2019•滨州)如图，AB∥CD，∠FGB=154°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于( )A．26°B．52°C．54°D．77°【答案】B6、(2019•广东)如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是( )A．∠1=∠4B．∠1=∠5C．∠2=∠3D．∠1=∠3【答案】B7、（2021·铜官）如右图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则∠BEP-∠DFP∠GPH＝2其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】解：①∵∠A+∠AHP＝180°，

∴AB∥PH，

∵AB∥CD，

∴CD∥PH，

故①正确；

②∵AB∥PH，CD∥PH，

∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，

∴∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF，

∵PG平分∠EPF，

∴∠EPF=2∠EPG，

∴∠BEP+∠DFP=2∠EPG，

故②正确；

③∵∠GPH与∠FPH不一定相等，

∴∠FPH=∠GPH不一定成立，

故③错误；

④∵∠AGP=∠PHG+∠HPG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠HPG=∠FPG，∠FPG=∠EPG，

∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG，

=∠A+∠PHG+∠HPG+∠DFP-∠FPG，

=∠A+∠PHG+∠HPG+∠FPH-∠FPG，

=∠A+∠PHG+∠FPG-∠FPG，

=∠A+∠PHG，

=180°，

故④正确；

⑤∠BEP-∠DFP=∠EPH-∠FPH=（∠EPG+∠GPH）-∠FPH=∠FPG+∠GPH-∠FPH，

=∠GPH+∠GPH=2∠GPH，

∴∠BEP-∠DFP∠GPH=2，

故⑤正确，

∴正确结论的个数是4个.

8、（2021·凌海）如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB、GF交于点M，猜想∠AMG与【答案】解：∠AMG=∠4．理由如下：延长CD交MG于点H，因为∠4=∠5，所以DE//MG，所以∠3=∠6，又∠1=∠2，所以AM//CH，所以∠6=∠AMG，所以∠AMG=∠3=∠4．∴∠AMG=∠4．9、（2020·韶关）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数．【答案】解：∵CD∥AB∴∠AOD+∠D=180°∵∠D=50°∴∠AOD=130°∵OE平分∠AOD∴∠DOE=∵OE⊥OF∴∠EOF=90°∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-65°=25°10、（2022·沭阳）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.（1）如图1，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1（2）如图2，小颓把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上.若∠AEG=α，∠CFG=β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么?用含α【答案】（1）解：∵AB//CD，∴∠1=∠EGD.∵∠2+∠FGE＋∠EGD=180°，∠2=2∠1，.∴2∠1＋60°＋∠1=180°，解得∠1=40°.（2）解：如图，过点F作FP∥AB.∵CD//AB，∴FP//AB//CD，所以∠AEF=∠EFP、∠FGC=∠GFP，∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG.∵∠EFG=90°∴∠AEF+∠FGC=90°.（3）解：α+β=300°理由如下：∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°即α-30°+β-90°=180°整理得α+β=1、如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB=α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数()A．180°-2α B．12α C．90°+12α D．90°-【答案】B【解析】解：∵∠AOC和∠BOC互补，

∴∠AOC+∠BOC=180°，

∵∠AOB=α，

∴∠AOC-∠BOC=α，

∴∠AOC=12α+90°，

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，

∴∠AOM+∠CON=12（∠AOC+∠BOC）=90°，

∴∠MON=∠AOC-（∠AOM+∠CON）=2、如图，AB∥CD，∠ABK的平分线BE的反向延长线和∠DCK的平分线CF的反向延长线交于点H，∠K－∠H＝27°，则∠K等于()A．76° B．78°C．80° D．82°【答案】B3、如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，则∠GHM的度数为．【答案】40°4、如图，AB∥CD，P是平面内直线AB，CD外一点，连结PA，PC．(1)写出所给的四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系．(2)证明图①和图③的结论．【答案】(1)如图①，∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°；如图②，∠APC＝∠PAB＋∠PCD；如图③，∠APC＝∠PCD－∠PAB；如图④，∠APC＝∠PAB－∠PCD．(2)如图，过P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°.∴∠A＋∠APE＋∠C＋∠CPE＝360°，即∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°.如图，过P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠PCD