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极限的运算法则高

等

数

学

极限的运算法则1.1极限的四则运算法则

，则定理1.1设(1)(2)特别地，(3)。说明:

(1)使用这些运算法则的前提是自变量的同一变化过程中和的极限都存在；

(2)上述运算法则对于等其他变化过程也同样成立;

(3)法则1,2可推广到有限个函数的情况，于是有

例1.1求。解。例1.2求。

解由于当时，，分母的极限不为0，由商的极限运算法则，得。注意：从例1.1、例1.2可以看出，求多项式当时的极限时,只要用代替多项式中的x,即对于有理分式函数

(其中，为多项式),当分母时，依商式极限运算法则,有

：例1.3求。解当时，，分母的极限是0,不能直接使用商的极限运算法则。通常的方法是设法消去分母为零的因式，然后再利用有理运算法则。。例1.4求。解当

时，，不能直接用商的极限运算法则，但可采用分母有理化消去分母中的零因子。

例1.5求。解

当时,分式的分子、分母都趋向于无穷大，极限都不存在，故不能直接使用商的极限运算法则。当时，

。因此，求时，可以首先将分式的分子与分母同除以分子、分母中自变量的最高次幂，然后再用极限运算法则，即。例1.6求。解仿照例1.5，分子、分母同除以分子、分母中自变量的最高次幂，得

。例1.7求。解由于当

时，括号中两项均无限变大，极限都不存在，故不能直接使用减法运算法则，考虑消去分母为零的因式。

1.2复合函数的极限法则定理1.2

设函数与满足如下两个条件：（1）、；（2）、当时，，且，则

。

该定理可以形象地解释为“极限可以放到函数号里面进行”。例1.8求。解令，从而可把看作是由复合而成的。

所以例1.9求。解令，从而可把看作是由

，，，复合而成的。所以1.3函数极限的性质选学内容

(1)唯一性：当时

的极限是唯一的;

(2)局部有界性：在的某个去心领域内,函数

有界;

(3)局部保号性：当时,在的某个去心领域内，

；

(4)保序性：又设

且在

的某个去心领域内恒有，则必有。

1.4两个重要准则选学内容定理1.3(夹逼准则)若函数在点a的某去心领域内满足条件

则函数必收敛,且

1.4两个重要准则选学内容定理1.3′(数列的夹逼准则)设数列满足条件

则数列必收敛,且

例1.10

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