易错拔尖：相交线（解析版）

易错拔尖：相交线（解析版）易错点易错点1：对顶角概念理解出错1．（2021春•宁德期末）下列命题是真命题的有几个？（）①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个思路引领：根据题目中的说法可以判断各个命题是否为真命题，从而可以解答本题．解：对顶角相等，故①是真命题，相等的角不一定是对顶角，如两直线平行，同位角相等，而这两个同位角不是对顶角，故②是假命题，因为对顶角相等，所以两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，故③是真命题，若两个角不是对顶角，则这两个角可能相等，如两直线平行，同位角相等，则这两个同位角不是对顶角，故④是假命题，故选：B．总结提升：本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题是否为真命题．误点警示：对顶角必须满足具有公共边，两个角的两边互为反向延长线，这两个条件只满足其中一个条件是不能判定这两个角是对顶角的，在平时作业过程中，如果两个角只满足对顶角的一个特征，不少同学就误认为这两个角是对顶角．易错点2：邻补角与补角区分不清2．如图，点O是直线AB上的任意一点，OC，OD，OE是过点O的三条射线，若∠AOD＝∠COE＝90°，则下列说法：①与∠AOC互为邻补角的角只有一个；②与∠AOC互为补角的角只有一个；③与∠AOC互为邻补角的角有两个；④与∠AOC互为补角的角有两个．其中正确的是（）A．②③ B．①② C．③④ D．①④解析：由图可知，∠AOC只有一个邻补角∠BOC，①正确③错误；∵∠AOD=∠COE=90°∴∠AOE+∠EOD=∠COD+∠EOD∴∠AOE=∠COD.又∵∠AOE+∠BOC=∠COD+∠EOD=90°所以∠BOC=∠EOD.∴与∠AOC互为补角的角有两个，分别为∠BOC和∠EOD，②错误④正确；故选D误点警示：邻补角既包含数量关系，又包含位置关系，补角仅包含数量关系，本题容易因对邻补角和补角区分不清而出错。拔尖角度角度1利用邻补角及对顶角的性质求角1．如图所示，直线AB、CD、EF两两相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3＝，∠4＝，∠5＝，∠6＝．思路引领：根据对顶角相等可求∠3，∠4，根据邻补角互补可求∠5，∠6，从而求解．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠3＝30°，∠4＝60°，∠5＝180°﹣30°＝150°，∠6＝180°﹣60°＝120°．故答案为：30°，60°，150°，120°．总结提升：此题考查了对顶角、邻补角，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．2．（2021春•祥云县期末）如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠COE的邻补角；（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度数．思路引领：（1）根据邻补角的概念即可解答；（2）根据对顶角的概念即可解答；（3）因为∠BOF＝90°，所以AB⊥EF，由此可得∠AOF，再根据对顶角的概念可得∠FOC的度数．解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∵∠BOF＝90°，∴AB⊥EF∴∠AOF＝90°，又∵∠AOC＝∠BOD＝60°∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．总结提升：本题考查的主要内容是邻补角和对顶角的概念，以及角的和差计算，掌握邻补角和对顶角的概念是解题的关键．角度2利用邻补角的性质求折叠中的角（折叠法）3．（2021秋•成都期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．思路引领：（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，则∠AOE＝∠DOF；（2）①因为∠BOD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折叠可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因为COB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，则∠BOG＝∠COF；②因为∠BOF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因为∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，∴∠AOE＝∠DOF；（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：∵∠BOD＝90°，∴∠BOF+∠DOF＝90°，∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，∴∠BOF＝∠GOD，∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，∵∠COB＝90°，∴∠COB＝∠GOF，∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，∴∠BOG＝∠COF；②∵∠BOF＝50°，∴∠DOF＝40°∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，∴OH平分∠DOF，∴∠DOH＝∠FOH＝20°，∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．总结提升：本题考查了垂线、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握角平分线定义．4．如图，AB，CD，EF相交于点O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°．（1）求∠BOE的度数．（2）通过计算∠AOF，∠AOC的度数，你发现射线OA有什么特殊性吗？思路引领：（1）根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，再根据题意解答即可；（2）由（1）的结论解答即可．解：（1）∵∠AOC＝65°，∠DOF＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，∴∠BOE+∠AOF＝360﹣65°×2﹣50°×2＝130°，又∵∠BOE＝∠AOF，∴∠BOE=12×130（2）射线OA平分∠COF，理由如下：由（1）得，∠AOF＝65°，∴∠AOC＝∠AOF，∴射线OA平分∠COF．总结提升：此题主要考查了邻补角、对顶角，以及角平分线，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．角度3利用邻补角及对顶角的性质探究角的变化5．如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）∠AOC＝50°，求∠DOF与∠DOE的度数，并计算∠EOF的度数；（2）当∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数是否变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．思路引领：（1）根据对顶角、邻补角，可得∠BOD、∠AOD，根据角平分线的性质，可得∠DOF与∠DOE的度数，根据角的和差，可得答案；（2）根据角平分线的性质，可得∠DOF与∠DOE的度数，根据角的和差，可得答案．解：（1）由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝50°，由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠BOD=12由邻补角互补，得∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠AOD=12由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝25°+65°＝90°；（2）∠AOC的度数变化时，∠EOF的度数没有变化，理由：由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE=12∠BOD+=12（∠AOD+∠=12∠AOB＝总结提升：本题考查了对顶角、邻补角，利用了对顶角的性质，邻补角的定义，角平分线的性质，角的和差．角度4利用邻补角及对顶角的定义进行计数（基本图形法）6．（1）观察图①，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（2）观察图②，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（3）观察图③，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角．（4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成对对顶角，对邻补角．思路引领：（1）根据对顶角、邻补角的定义得到2×1＝2对对顶角，4对邻补角；（2）根据对顶角、邻补角的定义得到3×2＝6对对顶角，12对邻补角；（3）根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对顶角，24对邻补角；（4）根据前面的规律得到：有n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，2n（n﹣1）对邻补角．解：（1）图①中共有2条直线，2对对顶角，4对邻补角；（2）图②中共有3条直线，6对对顶角，12对邻补角；（3）图③中共有4条直线，12对对顶角，24对邻补角．（4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成n（n﹣1）对对顶角，2n（n﹣1）对邻补角．总结提升：本题考查了对顶角、邻补角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．角度5方程思想的运用7．（2021春•抚远市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝7：1，求∠AOF的度数．思路引领：设∠AOD＝7x°，则∠BOE＝x°，由角平分线的定义可求解x值，进而可求解∠COE的度数，由角平分线的定义可得∠COF的度数，再根据∠A