人教版高中数学必修2全册学案

第一章立体几何初步

一、知识结构

二、重点难点

重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义,

判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定

与性质定理证明与应用。

自学评价

第一课时棱柱、棱锥、棱台

1.棱柱的定义：__________________________

【学习导航】

知识网络-------------

-棱柱的结构特征表示法：

思考:棱柱的特点：.

［答］___________________________________

棱柱、棱锥、棱台一j棱锥的结构特征

」棱台的结构特征

2.棱锥的定义：__________________________

学习要求

1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。表示法：

2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用思考:棱锥的特点：.

名称的含义。［答］__________________________________

3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何3.棱台的定义：_________________________

体简单作图方法表示法：

4.了解多面体的概念和分类.思考:棱台的特点：.

【课堂互动】［答］__________________________________

4.多面体的定义：____________________(2).灵活理解柱、锥、台的特点：

例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边

5.多面体的分类：形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面

⑴棱柱的分类___________________________都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有

⑵棱锥的分类___________________________上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能

⑶棱台的分类___________________________作为棱柱的定义吗？

答：不能.

【精典范例】点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能

例1：设有三个命题：不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的

甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边关键。

形所围体一定是棱柱；

乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形自主训练一

所围成的几何体是棱锥；1.如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这

丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平

锥，得到的几何体叫棱台。

移得到？

以上各命题中，真命题的个数是(A)

A.0B.1C.2D.3

例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：

⑴画上四棱柱的底面——画一个四边形；

⑵画侧棱——从四边形的每一个顶点画平

行且相等的线段；

⑶画下底面-----顺次连结这些线段的另

一个端点

互助参考7页例1

答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到.

2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？

⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一

点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底

面平行的线段，将多余的线段橡去.答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点.

互助参考7页例1

3.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的

几何体。

答：4个面，四面体.

点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由第二课时圆柱、圆锥、圆台、球

锥截得

【学习导航】

思维点拔：

知识网络

解柱、锥、台概念性问题和画图需要：

(1).准确地理解柱、锥、台的定义

圆柱、圆锥、圆台、球

圆台的结构特征

学习要求【精典范例】

1.初步理解圆柱、圆锥、圆台和球例1：给出下列命题：

的概念。掌握它们的生成规律。甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的

2.了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些母线

常用名称的含义。乙：圆台的任意两条母线必相交

3.了解一些复杂几何体的组成情况，丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没

学会分析并掌握它们由哪些简单有母线。

几何体组合而成。其中正确的命题的有（A）

4.结合日常生活中的一些具体实例，A.0B.1C.2D.3

体会客观世界中事物与事物之间内在例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直

联系的辨证唯物主义观点，初步学会线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几

用类比的思想分析问题和解决问题.何体构成的？。

【课堂互动】

自学评价

1.圆柱的定义：_____________________

母线__________________________________

底面___________________________________【解】互助参考9页例1

轴_____________________________________

2.圆锥的定义：____________________

3.圆台的定义：_____________________

例3：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构

4.球的定义：_____________________成的？。

5.旋转面的定义：___________________

6.旋转体的定义：___________________

7.圆柱、圆锥、圆台和球的画法。

甲乙

【解】互助参考9页例2

思维点拨：

如何解答一个复杂几何体的组成情况，主

要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解

答。

如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一

周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？

解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥

所得几何体。

自主训练

1.指出下列几何体分别由哪些简单几何

体构成？

3J一＞第三课时中心投影和平行投影

【学习导航】

答：略知识网络

2.如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在

的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪

些简单几何体构成的？

答：圆锥和圆柱

3.充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋学习要求

转生成？1.初步理解投影的概念。掌握中心投

影和平行投影的区别和联系。

答：圆

2.了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体

的三视图。

3.初步理解由三视图还原成实物图的思维

方法.

【课堂互动】

【师生互动】自学评价

1.投影的定义：______________________

2.中心投影的定义：

平行投影的定义：__________________

平行投影的分类：__________________

3.主视图（或正视图）的定义：

俯视图的定义：

左视图的定义：____________________

【精典范例】

一、如何画一个实物的三视图？

例1:画出下列几何体的三视图。方确定一个水平面作为投影——俯视图

2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐

例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它

二、如何由三视图还原成实物图。

例3.根据下面的三视图，画出相应空间图形的

左视图

解略.

解答：互助参考12页例1

点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能

力。一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视

图，画图后检验。

自主训练一

根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，

填在下列横线上。

点评：1.画三视图的方法和步骤(1)B(2)D

(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方

应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面

------主视图

(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这

时的正投影------左视图

⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下

⑴⑵⑶⑷

第四课时直观图画法C

【学习导航】

知识网络

学习要求

1.初步了解中心投影和平行投影的点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图

区别。中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为

2.初步掌握水平放置的平面图形的原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三

直观图的画法和空间几何体的直角形。

观图的画法自主训练一

3.初步了解斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图。

【课堂互动】

自学评价

1.消点的定义：______________________

2.斜二测画法步骤⑴

⑵__________________________________

⑶_______________________________解答：略

(4)_______________________________

【精典范例】

一、怎样画水平放置的正三角形的直观图

例1:画水平放置的正三角形的直观图。

例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.

解答：互助参考15页例2

解答：互助参考14页例1

符号表示___________________________

5.公里3：__________________________

点评：空间图形的直观图的画法。

规则是：已知图形中平行于X轴，y轴和z符号表示___________________________

轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平

行于x轴，z轴的线段，在直观图中保持原面的例子.

长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的

一半。

自主训练二

用斜二测画法画长、宽、高分别是【精典范例】

4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A'B'CD'例1：己知E、F、G、II分别为空间四边形（四

的直观图

个顶点不共面的四边形）ABCD各边AB、AD、BC、

仿照例2作图

CD上的点，且直线EF和GH交于点P,求证：B、

第五课时平面的基本性质D、P在同一条直线上.

【学习导航】

知识网络

证明：

VPGEF,ffijEGAB,FGAD

AEFI平面ABD

平面ABD

学习要求同理，PG平面BDC

平面ABDPl平面BDC

1.初步了解平面的概念.

AB,D、P在同一条直线上

2.了解平面的基本性质（公理1-3）

3.能正确使用集合符号表示有关点、

线、面的位置关系.

4.能运用平面的基本性质解决一些简

单的问题

【课堂互动】

自学评价思维点拔：

1.平面的概念：______________________证明多点共线，通常利用公里2,即两相交平面

交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，

2.平面的表示法______________________必须证明这些点分别在两个平面内。

3.公里］:_________________________自主训练

如图,在正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为

符号表示___________________________AB,AA,中点，求证CE,DF,DA三条直线交于一点。

4.公里2：__________________________

证略.

自主训练

1.为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？

2.用符号表示''点A在直线1上，1在平面a

外”正确的是(B)

例2.如图，在长方体ABCD-ABCD中，

A.Al1,IIa

下列命题是否正确？并说明理由.

①AG在平面CCiBiB内；B.AI1,IEa

②若0、分别为面ABCD、ABCD的中

心，则平面AA.CiC与平面BiBDDi的交线为C.Ai1,IEa

001.

D.Al1,IIa

③由点A、0、C可以确定平面；

④由点A、G、Bi确定的平面与由点A、3.下列叙述中，正确的是(D)

A.因为Pla,QIa,所以PQla

G、D确定的平面是同一个平面.

B.因为Pla,QIB,所以aCB=PQ

C.因为ABia,CIAB,DIAB,所以

CDIa

D.因为ABia,ABIB,所以AlaqB,

且BIaqB

第六课时平面的基本性质

【学习导航】

解(1)不正确知识网络

(2)正确

(3)不正确

(4)正确.

学习要求

1.了解平面基本性质的3个推论，了解例1：己知：如图AC1,Bel,Cel,DI1,

它们各自的作用.

求证：直线AD、BD、CD共面.

2.能运用平面的基本性质解决一些简

单的问题.

【课堂互动】

自学评价

1.推论］:.

解答：互助参考22页例1

已知:

求证:

解答：互助参考22页推论1

思维点拔：

简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或

线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这

个平面内，这种证明点线共面的方法称为"落

入法"

例2.如图：在长方体ABCD-ABCD中，P为

棱BBi的中点，画出由4,C,,P三点所确定

2.推论2：_______________________的平面a与长方体表面的交线.

己知：

求证：

解答：互助参考23页例2

自主训练一

证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一

平面内.

已知：

3.推论3：_________________________

求证：

证明：

符号表示：_____________________________

(1)如图，设直线a,b,c相交于点

仿推论1、推论2的证明方法进行证明。

0,直线d和a,和c分别交于M,N,P

【精典范例】

直线d和点0确定平面a,证法如例1

一、如何证明共面问题.

a

M

N

a

bc

设直线a,b,c,d两两相交，且任意三条不

共线,交点分别为M,N,P,Q,R,G

•.•直线a和b确定平面a

aAc=N,bflc=Q

：N,Q都在平面a内

二直线cl平面a,同理直线di平面a自主训练二

二直线a,b,c,d共面于a1.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么

【学习延伸】

由这四点可确定1或4个平面?

如图，已知正方体ABCD-ABCD中，E、

2.已知四条不相同的直线，过其中每两条作平

F分别为DC、BQ的中点,ACABD=P,AC

面，至多可确定6个平面.

CEF=Q,求证：3.已知1与三条平行线a,b,c都相交,求证：1

(1)D、B、F、E四点共面’与a,b,c共面.

(2)若AC交平面DBFE于R点，则P、Q、

证明略

R三点共线.

第7课时空间两

A,条直线的位置关系

一、【学习导航】

A

证明略

——►相交

关系共面情况公共点个数

相交直线

学习要求

1.了解空间两条直线的位置关系平行直线

2.掌握平行公理及其应用

异面直线______________

3.掌握等角定理，并能解决相关问题.2.公里4：____________________________

【课堂互动】

自学评价符号表示：________________________________

1.空间两直线的位置关系

思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线

平行

答：

3.等角定理

证明略

【精典范例】

例1：.如图,在长方体ABCD-ABCD中，己

点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等,

平行的证明要善于联想平面几何知识.

例2：如图.己知E、Ei分别为正方体

ABCD-ABCD的棱AD、AD的中点,求证：Z

GEB尸ZCEB.

应用

解答：互助参考25页例1

分析：设法证明EC〃EC,EB/EB

证明：

解答：互助参考26页例2

思维点拔：

证两直线平行的方法：

(1)利用初中所学的知识

(2)利用平行公理.

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两

自主训练

边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

已知：棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，

M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC等角定理的证明

是梯形.已知：ZBAC和ZB.AiCi的边AB//A.B,,

AC//A.C1,并且方向相同.

求证：ZBAC=ZBiAiCi

解答：互助参考25页

思维点拔：

凡“有且只有”的证明，丢掉“有”

即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性

的证明都会导致错误发生，即证明不全

面，思维不严谨所致。

求证：过直线外一点有且只有一条直线和

这条直线平行.

已知：点Pi直线a

点评:求证：过点P和直线a平行的直线b有且

平几中的定义，定理等，对于非平面图形,仅有一条.

需要经过证明才能应用。证明：tpiia,

自主训练

.•.点P和直线a确定平面a

1.设AAi是正方体的一条棱，这个正方在平面a内过点P作直线b直线a平行（由平面

体中与AAi平行的棱共有（C）几何知识）

A.1条B.2条假设过点P还有一条直线c与a平行，则

C.3条D.4条*/a//b,a//c

...b〃c，这与b,c共点P矛盾.

2.若OA//O1A1,0B//01B,,则ZAOB与

，直线b唯一

NAQB关系（C）...过直线外一点有且只有一条直线和这

A.相等B.互补条直线平行

C.相等或互补D.以上答案都不对总结：（1）凡上述两类问题型的证明应有

两步，即先证明事实存在，再证明它是唯

3.如图，已知AA,BB',CC',不共面,

-的⑵解答文字命题必须将文字语言

Z

且AA'//BB,AA,=BB',“译”成符号语言，然后写出“己知和求

BB'//CC,,BB'=CC.证”需要作图时，要把图形作出来，最后

求证：aABC丝Z\A'B'C给出“解答（证明）”

用平行四边形性质证明

第8课时异面直

线

一、【学习导航】

知识网络

【精典范例】

学习要求

例1：已知ABCD-AECD是棱长为a的正方体.

1.掌握异面直线的定义.

2.理解并掌握异面直线判定方法.

.3.掌握异面直线所成的角的计算方法.

【课堂互动】

自学评价

3.异面直线的定义___________________(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC.

是异面直线；

(2)求异面直线AA.与BC所成的角；

2.异面直线的特点____________________

(3)求异面直线BC,和AC所成的角.

互助参考27理1

4.异面直线的判定方法

(1)定义法

(2)判定定理

(3)反证法

5.异面直线所成的角

(D定义：______________________________

4.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD

中点，且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD与BC

所成角的大小.

思维点拔：

(1)证两直线异面的方法①定义法②反证

法③判定定理

(2)求两条异面直线所成的角的方法：①作

②证③求

自主训练

1.指出下列命题是否正确，并说明理由：

(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直

线成异面直线；

(2)过直线外一点只有一条直线与已知直

线垂直.

答：(1)正确，(2)错

解析：取BD的中点H,利用中位线性质，有

2.在长方体ABCD-ABCD中,那些棱所在

EH//AD,FH//BC,ZEHF或其补角为AD与BC所

直线与直线是异面直线且互粗垂直.成角，可以求得NEHF=90°

【学习延伸】

已知A是△BCD所在平面一点，

AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是BC的中点，

(1)求证直线AE与BD异面

⑵求直线AE与BD所成角的余弦值

答：CD,C>D,,BC,B,C,

3.在两个相交平面内各画一条直线，使它A

们成为：

(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线.

(1)反证法

(2)取CD的中点F,连接EF,可达到平移的

目的.直线AE与BD所成角的余弦值四

第9课时直线与

平面的位置关系

一、【学习导航】

知识网络

直线和平面的位置关系

—►直线和平面平行

互助参考31页

学习要求

1.掌握直线与平面的位置关系.直线和平面平行的性质

2.掌握直线和平面平行的判定与性质定

直线和平面平行的判定

理.

与性质定理的应用

.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理

证明两条直线平行等有关问题.

【课堂互动】证明:

自学评价

4.直线和平面位置关系

位置关系符号表示图形表示

直线a在平面a内

直线a在平面a相交

直线a在平面a相交

2.直线在平面内是指：

3.直线和平面平行的判定定理

符号表示_______________________________

说明：本章中出现的判定定理的证明不作要【精典范例】

求例1：如图，已知E、F分别是三棱锥A-BCD的

4.直线和平面平行的性质定理

侧棱AB、AD中点，求证：EF〃平面BCD.

已知:

互助参考31页例2

例3.求证：如果三个平面两两相交于直线，并

互助参考31页例1

且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它

们平行.

已知：

求证：

互助参考31页例3

自主训练一

已知正方形ABCD所在的平面和正方形

ABEF所在的平面相交与AB,M、N分别

是AC、BF上的点且AM=FN

求证：MN〃平面BCE

［思考］:如果三个平面两两相交于三条直

线，并且其中的两条直线相交，那么第三条直

线和这两条直线有怎样的位置关系？

证明：作NP〃AB交BE于点P

作NQ//AB交BC于点Q

MQ_MCNP_NB

'~AB~~\C'~EF~~BF

而AC=BF,AM=FN,

；.MC=NB,有AB=EF

/.MQ//NP,有MQ=NP

•••四边形MQNP是平行四边形.

；.MN〃PQ,而PQ1平面BCE

；.MN〃平面BCE

例2.一个长方体木块如图所示，要经

过平面AC内一点P和棱BC将木块锯开，应

怎样画线?

3.在长方体ABCD-A.B,C,D,的面中：

(1)与直线AB平行的平面是：面AC,面

DC,_________

(2)与直线AAi平行的平面是:面BC,面

DC,_________

(3)与直线AD平行的平面是：面BC,而

AC

自主训练二

1.指出下列命题是否正确，并说明理

由：

(1).如果一条直线不在平面内，那么这

条直线就与这个平面平行；错

(2).过直线外一点有无数个平面与这

条直线平行；正确

(3).过平面外一点有无数个直线与这

条平面平行。正确平面垂直

2.已知直线a,b和平面a,下列命题正一、【学习导航】

确的是(D

A.若a〃a,bla则a//b

B.若a〃a,b〃a则a//b

C.若a//b,bla则a//a

D.若a〃b,bia则a〃a或bi

垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

学习要求3.点到平面的距离：______________________

1.掌握直线与平面的位置关系.

2.掌握直线和平面平行的判定与性质定

4.直线与平面垂直的判定定理：

理.

.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理

证明两条直线平行等有关问题.符号表示__________________________________

【课堂互动】

自学评价5.直线和平面垂直的性质定理：

5.直线和平面垂直的定义：

符号表示：_____________________________

垂线：_________________________________

垂面：_________________________________

垂足：_________________________________

思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线

与已知直线垂直，那么在空间。已知:

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？

答：求证:

证明：互助参考34如图，已知PAJ.a,PB，B,垂足分别为A、B,

且aCB=1,求证：AB±1.

6.直线和平面的距离:

【精典范例】

证明：略

例1：.求证：如果两条平行直线中的一

条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂

直于这个平面.

证明：互助参考34例1

例2.已知直线1〃平面a,求证：直线1各

点到平面a的距离相等.

证明：互助参考34例2

思维点拔:

要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两

条相交直线垂直，或利用定义进行证明。

RtAABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC

(1)求证：点S在斜边中点D的连线SD,面

ABC

⑵若直角边BA=BC,求证：BD_L面SAC

例3.已知正方体ABCD-A.B,C.D,.

⑴求证：A.ClB^i;

⑵若M、N分别为BD与3D上的点,且MN

_LBD,MN±CiD,求证：MN//AiC.

自主训练B

A,

C,

分析：(1)可先证BD，面A£C,从而证出结

论.

⑵可证MN和A.C都垂直于面BDCI,从而利

用性质证出结论

3.在aABC中，ZB=90°,SA_L面ABC,AM±

SC,AN_LSB垂足分别为N、M,

求证：AN±BC,MN±SC

点评：要证线线平行均可利用线面垂

直的性质。

略证：