圆锥曲线的中点弦问题

圆锥曲线的中点弦问题.在椭圆E:乃+艺=1(a>b>0)中:a2力2⑴如图①所示，若直线y=kx(kH0)与椭圆E交于A,B两点，过A,B两点作椭圆的切线',有l〃l',设其斜率为小贝IJk0•"一筲.⑵如图②所示,若直线y二kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1•k2=心2.⑶如图③所示,若直线y=kx+m(kH0且mH0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,.在双曲线E:任-艺=1(a>0,b>0)中，类比上述结论有:a2力2(1)k0•(1)k0•k二丝.(2)k1•k产(3)k0•k二丝.这些结论中的第(1)(3)个可以利用“点差法”来完成：①设出弦的两端点的坐标；②代入圆锥曲线方程；③两式相减，在用平方差公式展开；④整理、转化为弦所在直线的斜率与弦中点和原点连线的斜率的关系，然后求解.TOC\o"1-5"\h\z已知双曲线上—22=1(〃>0,b>0),斜率为1的直线l交双曲线于M、N,O为坐标原点，P为a2b2 2MN的中点，若OP的斜率为2，则双曲线的离心率为( )例 「 lA.72B.v5C2陋D.4

析反思本题先设点M(x，y)、N(x，y)，利用点差法求得b--1,进而可得出双曲线的离心率为11 22 a2c J(b)2 , 八人八皿、，一e---J1+b,即可得解.主要考查了双曲线的标准方程，以及直线与双曲线的位置关系的应用，a\VaJ着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.针对训练*举一反三1 ,.已知抛物线y-ax2，过其焦点且斜率为4的直交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A 1 。a.y=-32 b.y=-21c.y=-- d.y=一4642.已知椭圆x-+J-1(a>b>0)，点F为右焦点，B为上顶点，平行于FB的直线l交椭圆于M,Na2b2一 J1 1、两点且线段mn的中点为Q--,--，则椭圆的离心率为( )V24JA.当 B.2 C.4 D,斗3.已知双曲线C:x--二-I(a>0,b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B,点P,Q在双曲线上，且a2b2点M(-2,1)为线段PQ的中点，PQ//BF,双曲线的离心率为e，则e2-( )22+1 33+1 022+2 邪+1A. B. C. D.4.已知椭圆E:x2+二-1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点，若AB的a2b2中点坐标为（1，-1），则椭圆E的方程为（ ）X2y2—X2y2—+—=14536x2y2—+—=13627C.x2 y2+—=12718x2 y2D.—+—=118x2x2y2 , .一.5.设椭圆的方程为一+二二1,直线AB不经过原点a2b2而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点.若TOC\o"1-5"\h\z直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是（ ）4 9 1A.—— B.——— C.—— D.一13 16 46.已知直线l与圆x2+y2=丫2交于A、B两点，P线段AB的中点，则k-k=-1.试用类比思想，对ABOP椭圆写出结论：..已知AB为抛物线x2=4y的一条长度为8的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为.已知双曲线C：x2-y2=1（a>0,b>0）的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P,Q为C上两点，a2b2点M（一2，1）为弦PQ的中点，且PQ//BF，记双曲线的离心率为e，则e2=.参考答案

已知双曲线三一"=1（a>0,b>0），斜率为1的直线l交双曲线于M、N,O为坐标原点，P为a2b2 2MN的中点，若OP的斜率为2，则双曲线的离心率为（）A.<2B.\；5C 2<3 D.4【答案】A【详解】设点M（\，J；）、NI，y2）则夕(X+Xy+【详解】设点M（\，J；）、NI，y2）则夕(X+Xy+y)

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-12,12V2 2JX2y2 _X2,由题意，得-i---i-=1,Ta2b2a2两式相减，得2——

a2y2—y2 b2整理得2 1=—，所以X2—X2 a22 1k,kOPMNy+y-a—22X+Xb2 r一二1，因此，双曲线的离心率为a2本题先设点M（X,y）、N（X,y），利用点差法求得b=1,进而可得出双曲线的离心率为11 22 a22，即可得解.主要考查了双曲线的标准方程，以及直线与双曲线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值;齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解;特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.针对训练*举一反三1,,.已知抛物线y=aX2，过其焦点且斜率为4的直交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为2,则该抛物线的准线方程为（ ）132164

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Ac--132164

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Ac---一yy•1•BD【答案】D1【详解】抛物线的标准方程是x21【详解】抛物线的标准方程是x2=-y

aL1)焦点坐标是0,-j—I4a)1 1，则直线”的方程是y二4"心与抛11c 1 , 1 ,物线方程联立得x2- x--=0,x+x= ，因为线段AB的中点的横坐标为2,所以=44a 4a2 124a 4a1得a=，所以该抛物线方程x2=16y，则准线方程y=-4.16.已知椭圆x2+y2=1(a>b>0),点F为右焦点，B为上顶点，平行于FB的直线l交椭圆于M,Na2b2(1 1\两点且线段MN的中点为Q--,-t，则椭圆的离心率为(V24)1B.1B.一21C-4D-f【答案】A【详解】设M【详解】设M(x1,y)，N(x2,y2)，直线l的斜率为kx2y2古+石一(x-x)x+x)(y-y)G+y)n_1 2 1 2_+_1 2 1 2-=0x2y2,a 拉+-2-=1、a拉TOC\o"1-5"\h\zy-yy+y b2 (11\ 1所以上一2•茎^2=—-，由线段MN的中点为Q--,--，所以x+x=-1,y+y=--x-xx+x a2 V24) 12 12 212 12kb2 7b所以2kb2 7b所以2=-三,又k=-c所以一=一,又a2=b2+c2，所以b=c,.•.a=2Ccne=—\o"CurrentDocument"2ca2 2.已知双曲线C:x2-==1(a>0,b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P,Q在双曲线上，且a2 b2点M(-2,1)为线段PQ的中点，PQ//BF,双曲线的离心率为e，则e2=(A.v,2+2D.A.v,2+2D.55+1

2【答案】A【详解】解法一：由题意知F(c,0),B(0,b)，则k=k=-b设P(x,y),Q(x,y)PQBFc 1 1 2 2两式相减，=1,J-J得—-2x-两式相减，=1,J-J得—-2x-X1 2；.因为线段PQ的中点为M(一2,1)2=-4，J1+J2J-J、 2x-X

1 2= b -4b2所以——=——c 2a2，整理得a2=2bc所以a4=4b2c2=4c22一a2),即4e4-4e2-1=0解法二：由题意知F(c,0),B(0,b)，则kBF--设直线PQ的方程为J-1=k(x+2)，即cJ=kX+2k+1，代人双曲线方程，得(b2-a2k2)x2-2a2k(2k+1)-a2(2k+1)2-a2b2=0.设P(xjJ1),Q(x2,J2)，则X1+X2=-42a2k(2k+1)所以 =-4,又k=kBF所以一(c即1-+1=-4b2+4a2整理得a2=2bc，所以c2-b2-2bc=02-在-1=0,得c=<2+1,则Ue2b b<2+1 x24.已知椭圆E:一+a2二=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于AB两点，若AB的b2中点坐标为(1，-1),则椭圆E的方程为(X2J2A.—+—=145363627C.x2j2—+—=12718X2J2D.—+—=1189【答案】D【详解】设4x，J)，B【详解】设4x，J)，B(x,J)1 1 2 2，则x1+x2J+J=-2，两式相减得:(X+X)(x-X

―1 21 2a2=0，二kJ-J=i 2ABX-X1 2a2(J+J)-2a25.设椭圆的方程为一+)5.设椭圆的方程为一+)=1,直线AB不经过原点，

a2b2而且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的中点.若7 0+11b2 1b2 1fa2=18、一一.x2 y2又k 01=C，•••—=-，联立1=二，得1・•・椭圆方程为一+—=1AB3—12a22a22[b2=9189c2=a2—b2TOC\o"1-5"\h\z直线AB的斜率为1，则直线OM的斜率不可能是( )4 9 1A.—— B.——— C.—— D.-13 16 4【答案】Dxx+x【解析】设4x1,y1),B(x2,y2)，则M(-^2-.x2y2r—1+-i-=1y+y、a2b2 x2—x2 y2—y2 _1c2)，又1n 2-+1-L=02屋+”=1 a2 b2 ，、a2b2■y2-■y2-y2

x2—x21 2b2 y—y———.故k•k =-1——-2a2 AB OM x—x1 2y+y 22x+x-A 22y2—y2 b2=— 2=——.即k-kx2—x2 a2 ABOM1 2TOC\o"1-5"\h\z,b2 , b2 .又k=1，故k =——，因为a b，故k二一一W—1.AB OMa2 OM a26.已知直线l与圆x2+y2=丫2交于A、B两点，P线段AB的中点，则k-k=-1.试用类比思想，对ABOP椭圆写出结论：.x2y2 b2【答案】若椭圆一+二=1与直线l交于A、B两点，P是线段AB中点，则kk=——a2b2 ABopa2【解析】由类比思想，可知椭圆=+y2=1与直线i交于A、B两点，p是线段AB中点.设点A(x,y)a2b2 11x+xx=-t 2 八0 2 7y—0yB(x,y),(x*x)，中点P(x,y)则1 ,即kp=^—==f,将A(x,y),B(x,y)两2 2 1 2 0 0 y+yOPx—0x 1 1 22,」y=^4―<2 0 0[0 2

(y—y)(y+y) (1 0 1 o——x—x)(x+x)1 O 1 o,vk一 1一V2b2x+x—— .1 2_b2x—— ._0.一b21— • b2-1 2 1 2-,a2所以 1ABx1—x2a2y+y1 2a2y0a2kOPb2a2x2 y2-i-+-i-=1x2 y2-i-+-i-=1.. ，,一x2y2“.a2 b2点代入椭圆一十二=1中，;,a2 b2x2 y2—2+—2=1、a2 b2x2—x2 V2—V2 -上下两式相减得T + ——2=0，即a2 b2即kk=ABOP8.已知AB为抛物线x2=4v的一条长度为8的弦，当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为【答案】±1【详解】由题意得抛物线的准线方程为ly=—1，过a作A^,1于。，过b作BB1,1于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM111于M1，则21MM1|=|AA1I+BB1I，设抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|21ABi，即|丝|+BB卜IAFI+|BF|-8（当且仅当A，B，F三点共线时等号成立），所以|AA1I+|BB1|=2MM1|-8，解得IMM1|-4，即弦AB的中点到x轴的最短距离为：4—1=3，所以点M的纵坐标为（x,3），A（x,V），B（x,V），F（0,1），x2=4y，x2=4y0 1 1 2 2 112 2TOC\o"1-5"\h\z7y—yx+xx3—1 _・••所以直线AB的斜率k=丁=2=t2=才=-―-,Ax=±2，此时k=±1x—x4 2x—0 01 2 0当弦AB的中点离x轴最近时，直线AB的斜率为±19