2022-2023学年河北省保定市曲阳县高一下学期5月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省保定市曲阳县2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是行合题目要求的.1.已知复数，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：.故选：D.2.的内角的对边分别为，若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故选：D.3.光明社区老年合唱队中，60～70岁的有30人，71～75岁的有15人，76岁及以上的有10人．若用分层抽样的方法抽取位老人参加某项活动，已知从71～75岁的老人中抽取了3人，则的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由题意可知：从71～75岁的老人中抽取的人数为，解得.故选：C.4.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或，故A错误；对于B，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，故B错误；对于C，若，则m垂直于平面内的任意一条直线，，故C正确；对于D，若，则与不一定垂直，故D错误.故选：C.5.某公司用随机数法从公司的500名员工中抽取了20人了解其对烧烤的喜欢程度．先将这500名员工按001，002，…，500进行编号，然后从随机数第3行第3列的数开始向右读，则选出的第7个编号是（注：下面为随机数的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由随机数法抽样规则，从随机数第3行第3列的数开始向右读，依次选出的编号是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以选出的第7个编号是320.故选：B.6.已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，，所以，解得或，又与反向，则时，向量与同向，不合舍去，故，此时，，，则向量在向量上的投影向量为，.故选：D.7.在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中点K，连接、，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，因为底面是菱形，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以异面直与所成角的余弦值为.故选：B.8.某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，与的交点为G，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接，，设，的交点为H，，的交点为I，由于O是和的中心，所以O在上，H为的中点，因为O为的重心，所以.由题意得，则，即，所以，得.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）AB.的虚部为C.为纯虚数D.是方程的一个复数根〖答案〗ABD〖解析〗因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以，所以，故A正确；的虚部为，故B正确；不是纯虚数，故C错误；因为，所以是方程的一个复数根，故D正确.故选：ABD.10.下列说法错误的是（）A.过球心的截面是半径等于球的半径的圆面B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱C.正四棱锥的侧面都是正三角形D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：根据球的性质可知过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确；对于选项B：满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能时两个棱柱拼接而成，如图所示，故B错误；对于选项C：正四棱锥的底面为正方形，侧棱长相等，但无法确定底面边长与侧棱长是否相等，所以只可得正四棱锥的侧面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C错误；对于选项D：因为无法确定侧棱是否交于一点，故满足条件的几何体不一定是棱台，故D错误.故选：BCD.11.若向量满足，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，解得，当时，，，A正确；当时，，解得或，C错误；易得，则，解得，当且仅当时，等号成立，由，得，所以，B正确；易得，则，解得，D正确.故选：ABD.12.在四棱锥中，底面，，，，且二面角为60°，则（）A.B.二面角为60°C.三棱锥的外接球的表而积为D.三棱锥的内切球的半径为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知：是以边长为2的等边三角形，取的中点，连接，则，因为平面，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，则，所以二面角的平面角为，则，在中，由余弦定理可得：，即，则，即，对于选项A：因为，所以，故A错误；对于选项B：因为，，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角为，又因为，且为锐角，则，所以二面角为60°，故B正确；对于选项C：设的中心为（即为外接圆圆心），则，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，连接，则，且//，可得，所以三棱锥的外接球的表而积为，故C正确；对于选项D：因为三棱锥的体积，三棱锥的表面积：，所以三棱锥的内切球的半径，故D正确.故选：BCD.三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.某7位小伙伴1分钟的跳组个数（単位：个）分别为180，182，173，175，，178，176，已知这7位小伙伴1分钟跳绳个数的平均数为178，则______．〖答案〗〖解析〗依题意，，解得.故〖答案〗为：.14.某“星舰”可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中，分别是上、下底面圆的圆心，若米，米，底面圆的直径为9米，则该“星舰”的表面积是______平方米．〖答案〗〖解析〗由题意可知：该“星舰”的表面分为三个部分：圆锥的侧面、圆柱的侧面和圆柱的底面圆，因为圆锥的母线长米，则其侧面积平方米，圆柱的高米，则其侧面积平方米，底面圆的面积平方米，所以该“星舰”的表面积是平方米.故〖答案〗为：.15.长度为的线段两个端点到平面的距离分别为和，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，设线段两个端点在平面的投影分别为，连接，则，在线段上取点，使得，连接，因为//，，则为平行四边形，可得//，，则线段所在直线与平面所成角的即为线段所在直线与平面所成角，所以这条线段所在直线与平面所成角的正弦值.故〖答案〗为：.16.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗由题意可知：，则，所以，将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点，则的最小值为点A到边的距离，因为，所以，即的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量的夹角为，且，，．（1）求；（2）当时，求的值．解：（1）由，得．（2）由题设得，则，解得．18.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面平面，，且，分别是的中点．（1）证明：∥平面；（2）证明：平面．解：（1）连接，如图所示：因为是矩形，是的中点，所以是的中点因为是的中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因为，且，所以所以，因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，且平面，平面，所以平面．19.如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．（1）在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；（2）若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．解：（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；与轴平行，则与轴平行，且；与轴重合，则与轴重合，且；连接，即可得四边形.（2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，故体积为.20.已知正方体．（1）证明：平面面．（2）若正方体的棱长为4，平面α，当平面α经过BC的中点时，求平面α截正方体所得截面的周长．解：（1）在正方体中，AB⊥平面，因为平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）连接DC1，因为AD⊥平面又平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以，由（1）知平面，平面，则，又，平面，所以平面，因为平面α，所以平面α∥平面，分别取BC，CD，，，，中点E，F，G，H，M，N，连接各点，则多边形EF－GHMN即平面α截正方体所得的截面，又，所以平面α截正方体所得的截面的周长为．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若D为边上一点，，且，求面积的最小值.解：（1）由余弦定理得，得，即，则，，.（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由题意得，因为，所以，得，得，即为的角平分线，由，得，得，所以，当且仅当时，等号成立，则的面积为，即面积的最小值为；综上，，面积的最小值为.22.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．（1）证明：平面//平面．（2）若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式．（3）在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．解：（1）由题意可得：，//，则为平行四边形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中点，连接，因为分别为的中点，则//，又因为，//，则为平行四边形，可得//，，且//，，则//，，可得为平行四边形，则//，故//，且平面，平面，所以//平面，，平面，所以平面//平面.（2）因为平面，平面，则，且//平面，则，可得，且//，则平面，平面，可得，且，平面，所以平面，又因为平面//平面，则平面，平面，则，设，因为//，则，即，所以三棱锥的体积为.（3）由（2）可知，当，即时，取到最大值.河北省保定市曲阳县2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是行合题目要求的.1.已知复数，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：.故选：D.2.的内角的对边分别为，若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故选：D.3.光明社区老年合唱队中，60～70岁的有30人，71～75岁的有15人，76岁及以上的有10人．若用分层抽样的方法抽取位老人参加某项活动，已知从71～75岁的老人中抽取了3人，则的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由题意可知：从71～75岁的老人中抽取的人数为，解得.故选：C.4.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，，则或，故A错误；对于B，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，故B错误；对于C，若，则m垂直于平面内的任意一条直线，，故C正确；对于D，若，则与不一定垂直，故D错误.故选：C.5.某公司用随机数法从公司的500名员工中抽取了20人了解其对烧烤的喜欢程度．先将这500名员工按001，002，…，500进行编号，然后从随机数第3行第3列的数开始向右读，则选出的第7个编号是（注：下面为随机数的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由随机数法抽样规则，从随机数第3行第3列的数开始向右读，依次选出的编号是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以选出的第7个编号是320.故选：B.6.已知向量，，若与反向，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，，所以，解得或，又与反向，则时，向量与同向，不合舍去，故，此时，，，则向量在向量上的投影向量为，.故选：D.7.在平行六面体中，底面是菱形，，与底面垂直，，分别在和上，且，，，，则异面直与所成角余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中点K，连接、，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成角为或其补角，因为底面是菱形，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以异面直与所成角的余弦值为.故选：B.8.某六芒星项链如图1所示，其平面图如图2所示，该六芒星由正和正组合而成，且，，，和的中心均为O，与的交点为G，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接，，设，的交点为H，，的交点为I，由于O是和的中心，所以O在上，H为的中点，因为O为的重心，所以.由题意得，则，即，所以，得.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（）AB.的虚部为C.为纯虚数D.是方程的一个复数根〖答案〗ABD〖解析〗因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以，所以，故A正确；的虚部为，故B正确；不是纯虚数，故C错误；因为，所以是方程的一个复数根，故D正确.故选：ABD.10.下列说法错误的是（）A.过球心的截面是半径等于球的半径的圆面B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱C.正四棱锥的侧面都是正三角形D.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：根据球的性质可知过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确；对于选项B：满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能时两个棱柱拼接而成，如图所示，故B错误；对于选项C：正四棱锥的底面为正方形，侧棱长相等，但无法确定底面边长与侧棱长是否相等，所以只可得正四棱锥的侧面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C错误；对于选项D：因为无法确定侧棱是否交于一点，故满足条件的几何体不一定是棱台，故D错误.故选：BCD.11.若向量满足，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，解得，当时，，，A正确；当时，，解得或，C错误；易得，则，解得，当且仅当时，等号成立，由，得，所以，B正确；易得，则，解得，D正确.故选：ABD.12.在四棱锥中，底面，，，，且二面角为60°，则（）A.B.二面角为60°C.三棱锥的外接球的表而积为D.三棱锥的内切球的半径为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知：是以边长为2的等边三角形，取的中点，连接，则，因为平面，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，则，所以二面角的平面角为，则，在中，由余弦定理可得：，即，则，即，对于选项A：因为，所以，故A错误；对于选项B：因为，，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角为，又因为，且为锐角，则，所以二面角为60°，故B正确；对于选项C：设的中心为（即为外接圆圆心），则，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，连接，则，且//，可得，所以三棱锥的外接球的表而积为，故C正确；对于选项D：因为三棱锥的体积，三棱锥的表面积：，所以三棱锥的内切球的半径，故D正确.故选：BCD.三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.某7位小伙伴1分钟的跳组个数（単位：个）分别为180，182，173，175，，178，176，已知这7位小伙伴1分钟跳绳个数的平均数为178，则______．〖答案〗〖解析〗依题意，，解得.故〖答案〗为：.14.某“星舰”可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图所示，其中，分别是上、下底面圆的圆心，若米，米，底面圆的直径为9米，则该“星舰”的表面积是______平方米．〖答案〗〖解析〗由题意可知：该“星舰”的表面分为三个部分：圆锥的侧面、圆柱的侧面和圆柱的底面圆，因为圆锥的母线长米，则其侧面积平方米，圆柱的高米，则其侧面积平方米，底面圆的面积平方米，所以该“星舰”的表面积是平方米.故〖答案〗为：.15.长度为的线段两个端点到平面的距离分别为和，且这两个端点都在平面的同一侧，则这条线段所在直线与平面所成角的正弦值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，设线段两个端点在平面的投影分别为，连接，则，在线段上取点，使得，连接，因为//，，则为平行四边形，可得//，，则线段所在直线与平面所成角的即为线段所在直线与平面所成角，所以这条线段所在直线与平面所成角的正弦值.故〖答案〗为：.16.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗由题意可知：，则，所以，将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点，则的最小值为点A到边的距离，因为，所以，即的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量的夹角为，且，，．（1）求；（2）当时，求的值．解：（1）由，得．（2）由题设得，则，解得．18.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面平面，，且，分别是的中点．（1）证明：∥平面；（2）证明：平面．解：（1）连接，如图所示：因为是矩形，是的中点，所以是的中点因为是的中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因为，且，所以所以，因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又，且平面，平面，所以平面．19.如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．（1）在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；（2）若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．解：（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；与轴平行，则与轴平行，且