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6.2.1课时2导数与函数的单调性的综合一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

在某个区间(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

注

意能用导数确定函数的单调区间；能解决导函数与原函数的图像关系问题.

l

单调递增单调递减单调递增

归纳总结第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.判断函数y=f(x)的单调性的步骤：

注意：不要忽略函数的定义域.

注意：函数中含有参数时，要对参数进行讨论.探究：观察对数函数y=lnx

与幂函数y=x3的图像，说说函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?

xyOy=lnx

y

=x3xyO探究：观察对数函数y=lnx

与幂函数y=x3的图像，说说函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系?y

=x3xyO

y′=3x2(2)y

=x3：因为y′=3x2

，在(-∞，0)和(0，+∞)上，y′＞0，当x=0时，y′=0，所以y=x3在R上单调递增；在(-∞，0)上，当x

越来越大时，y′越来越小，函数y=x3递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.在(0，+∞)上，当x

越来越大时，y′越来越大，函数y=x3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”.归纳总结函数增减的快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.

xtO（2）（1）xtO

xtO（2）（1）xtO解：物种数量的增加比较慢表示曲线在对应点的切线斜率比较小，增加越来越快表示曲线在对应点的切线斜率越来越大，因此图(2)能近似的表示上述规律.快慢快慢快慢

B2.证明函数

在区间

上单调递减.证明：函数

的定义域为.当

时，，因此函数

区间

上单调递减.对

求导数，得

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