HaoR奥数读本-数列基础版

第一部分少数数列

【学习目标】

⑴掌握数列概念;

⑵掌握数列排列的一般规律;

⑶培养对多个数字之间相互关系的敏感力，根据掌握的知识快速找到数列的主要特征。

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列，数列中的每一项叫做这个数列的项。比如1、

2、3、4、5、6、7、8、9、10,这就是一个数列，1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21

这也是一个数列，这两个数列中都有规律，数列的项都是整数，1、3、5、7、9、11、13、15、

17、19、21这个数列的项都是单数，2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,这个数列中的项

都是双数，而3、6、9、12、15、18、21、24、27,这个数列中的数字也有规律，就是它们都是

3的倍数，等等，还有很多很多，比如一个数列中的数字是这样的：5、15、20、25、30、35、

40,这个数列中的数字排列规律是什么？我们发现数列中的数字都是5的倍数并且后面的数字

总是比前面的数字大5。

我们观察和研究数列是为了通过分析和判断发现所给出数字之间隐含的变化规律。

数列的排列规律，主要从相邻两数的和、差、积、商来考虑，更复杂的情况要考虑相邻的

三个甚至四个数。

【技巧总结】

规律1:该类数列前后数字之间是简单的递增或递减关系，并且差值是固定的。

这个数列也叫等差数列，我们后面要学习。

例如:5,8,11,14,(),(),【规律】后面的数字比前面一个数字多3。

基础练习1：

⑴2,4,6,8,(),()

⑵4,7,10,13,(),()

⑶28,23,18,13,(),()

24,20,16,12,(),)

⑸32,27,22,17,),()

规律2：该类数列前后数字之间是简单的乘除关系，并且倍数或者商是固定的。

这个数列也叫等比数列。

例如:2,4,8,16,(),(),【规律】后面的数字是前面一个数字乘以2。

基础练习2：

(1)3,6,12,24,(),()

(2)5,10,20,40,(),()

(3)7,21,63,189,(),()

(4)320,160,80,40,(),()

⑸243,81,27,9,(),()

规律3：该数列的每一项的值都与序号相关。

基础练习3：

(1)4,9,16,(),(),49

(2)81,(),49,36,()

(3)1,2,4,8,(),()

规律4：该类数列前后数字之间是简单的递增或递减关系，但是差值也是逐渐增加或者递减的(也

是一个有规律的数列)。

例如：1,2,5,10,(),(),【规律】后面的数字比前面的数字大，并且这个大的

数字是逐渐增加的。

拓展提高1：

(1)4,5,1,10,(),()

(2)0,5,15,30,(),()

(3)0,3,9,18,(),()

(4)27,21,16,12,(),()

(5)50,41,33,26,(),()

规律5：该数列从第三个数字起，每一项数字都是前面两个数字的和。

由此可以看出数列可以编排得很复杂，认真想一想，是不是会有很多的变化呢？

拓展提高2：

(1)0,1,1,2,3,5,8,(),()

(2)2,2,4,6,10,16,(),()

(3)1,2,2,4,8,32,(),()

(4)1,4,5,9,14,(),()

(5)(),89,(),34,21,13,8,5,3,2,1

规律6：该数列由两个数列组成，就是单数位置上是一个数列，双数位置上是另外的一个数列。

拓展提高3：

(1)3,2,6,4,12,6,(),()

(2)2,5,4,5,6,5,8,5,(),()

(3)3,1,5,2,7,3,9,5,(),()

(4)1,2,2,4,3,8,4,16,(),()

(5)1,1,2,2,3,3,5,4,8,(),()

规律7：该数列特殊在于从第2项开始，单数位置和双数位置上的不一样，只于前一项相关。

拓展提高4：

(1)30,15,14,7,6,(),()

(2)1,2,4,5,10,(),()

(3)3,6,5,10,9,(),()

上面我们练习总结了四年级以下小学奥数可能遇到的7类数列的规律，实际做题时，我们可

以依据上面的总结规律在做题，耐心、仔细地按上面的7条依次寻找数列中数字项目的规律。

当然，你的悟性比较强大的话，学到这里，你可能会自己设计数列了，比如：规律5是数列

从第三个数字起，每一项数字都是前面两个数字的和，那么也可以变化成如下规律：

1、从第四个数字起，每一项数字都是前面三个数字的和。

2、从第二个数字起，每一项数字都是前面一个数字与后面一个数字乘以2的和。

3、从第二个数字起，每一项数字都是前面一个数字加上1与后面一个数字加1的和。

还可以有很多……

你可以设计很复杂的数列。

第二部分多数数列

【学习目标】

⑴掌握数列的一般表示方法;

⑵掌握多数数列的排列规律;

有时候，数列中的数字项很多，比如一个数列，它当中的数字是从1到100,那么怎么把

这个数列写出来呢？

是像下面这么写吗？

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,

23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,

44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,

65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,

86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100o

按照这么写的话，如果要列出一个数列，它的数字项是1到600,是不是要写满整整一页？

如果中间写错了怎么办？

如果数列的数字项是从1到100000呢？！你写一个上午也写不完啊！

前面，我们已经学习了有规律的数列，知道了这些数列的数字项都是前后有一定关系的,

只要我们沿用这些规律或者关系，就可以用简单方法来表示数字项有很多的数列了。

比如上面列出的1到100的数列，我们就可以简单书写如下：

1,2,3,4,....,100

可能的变换形式是：

1,2,3,…，99,100o

1,2,3,ooo,99,100

1,2,3,4,oooooo,100

一般的书写方式：

列出前面的3或者4项，通过这3项或者4项可以表示这个数列数字项的排列规律，中间

的可以用“…”或者”……”【用的也有“。。。”或者“。。。。。。”】来表示，最后的一项必须写上。

对于数列，我们可以用｛｝这个符号来把这个数列包起来，注意不是0,也不是口。

有了上面的书写规范，我们就可以轻松表示多项数列了。

2,4,6,…，98,100相当于｛2,4,6,…，98,100｝

表示一个数列，这个数列中的数字项从2开始，都是双数（也叫偶数），后一项总是比前

一项多2,一直到100。

1,3,5,……,99相当于｛1,3,5,……,99｝

表示一个数列，这个数列中的数字项从1开始，都是单数（也叫奇数），后一项总是比前

一项多2,一直到99。

1,1,2,3,5,8,13,，1597相当于{1,1,2,3,5,8,13,，1597}

表示一个数列，这个数列中的数字项从1开始，数字项的规律是：从第3项开始，后一项

总是前两项的和，一直到1597结束。

有了上面对于多数数列的表示方法，我们还可以用它来表示其他涉及多项运算的情况。

比如：要表示从1加到100可以这样表示：

1+2+3+4+……+100,注意：这里就不能写成｛1+2+3+4+……+100｝。

再比如，要表示从2加到98,其中数列中的每一项都是前一项加2：

24-4+6+8+....+98

这里需要弄明白一个问题，你怎么知道这里面有多少项呢？

我们发现：这数列中的数字都是双数，第一项是2,就是1X2,第二项是4,就是2X2,

第三项是6,也就是3X2,也就是说，这数列中的数字实际上是它的序号乘以2,那么一直到98,

就是49X2,所以数列总共有49项。

下面的数列有多少项呢？

1+3+5+7+....+99

通过对前面两个数列的分析，我们知道如果要知道数列有多少项关键在于弄明白数字项的

数值和它所在序号之间的关系，比如1+2+3+4+……+100,这个数列中的数字项的值就是等

于它的序号，而2+4+6+8+……+98这个数列中的数字项的值等于序号乘以2,所以弄明白

了序号与数字项的值之间的关系，得到数列有多少项就很轻松了。

在1+3+5+7+……+99这个数列中，我们通过观察发现，数字项的值等于序号乘以2

再减1,比如1=1X2T,3=2X2-1,5=3X2-1,7=4X2-1,,一直到99=50义2-〈所以,这

个数列有50项。

这一部分，我们主要学习了多数数列的表示方法，前面我们讲解的少数数列的7个规律，

也同样适合多数数列。

第三部分等差数列

【学习目标】

⑴掌握等差数列的概念；

⑵掌握等差数列的通项公式、求和公式、项数公式；

⑶学习等差数列的一些应用。

前面我们学习了少数数列和多数数列，我们知道了数列就是按照一定的顺序排列的数。

数列有很多种，比如有限数列和无限数列，有限数列就是数列中的项数是有限的，也叫有

穷数列，无限数列是指数列中的项数是无穷多的数列；单数数列和双数数列，数列里的项的值

为单数的数列叫单数数列，也叫奇数数列，数列里项的值为双数的数列叫双数数列，也叫偶数

数列；还有自然数数列和整数数列，数列里的项为自然数的数列叫自然数数列，数列里的项为

整数的数列叫整数数列等等。

数列知识在日常生活中有很多的应用，比如我们知道了楼梯每一级的高度就可以计算出楼

房的高度，选择一定的存款方式就可以计算出一定时间后自己能有多少的利息，我们根据数列

知识可以很快计算出超市货架的货物数量，如果你观察过植物花朵的瓣数，你可能会发现花朵

的瓣是个神奇的数字，花瓣的数字就是1、2、3、5、8、13、……,这其实是个数列，在数学上

是有专有名称的，叫裴波那契数列（又叫黄金分割数列），植物会数学吗？它们不会的，可是为

什么它们的花瓣数就是这些神奇的数字呢？！说明数学就蕴藏在日常生活中，等待我们去发现

和运用。

数列中的每一项叫作数列的项，排列在第一个位置上的数叫作数列的第一项，也叫首项，

排列在第二个位置上的数叫作数列的第二项，排列在第三个位置上的数叫作数列的第三

项，……，排列在第十九个位置上的数叫作数列的第十九项，数列中的最后一项叫末项，也叫

尾项，数列中总共有的项的个数叫做项数。

如果数列项很多，这样的表述是不是比较繁琐？

下面我们就要学习数列的规范表述方式。

通常情况下，为了方便表达和运用，我们把数列的第一项用小表示，第二项用&表示，第

三项用包表示，……，第十九项用小表示，如果这个数列有很多但不确定有多少的时候我们会

说这个数列有n项，相应地第n项就用烝表示了。

是不是觉得有点陌生？这样的数学表述方式比较简便，以后会慢慢习惯的，随着习惯这样

的表述后，你会接纳到更多的数学知识。

今天我们学习的数列叫等差数列，我们前面也有过接触，比如2,4,6,8,10,12,14,

还有4,7,10,13,16,19,22等，等差数列有什么特征呢？就是从第二项起，每一项与它的

前一项的差等于一个固定的值，这个固定的值我们叫常数，也叫公差，我们用d来表示，等差

数列的和用心来表示。

我们学习等差数列有什么用处呢？

第一：我们根据等差数列的特征可以很快计算出数列的和，无论是整个数列或者是一个范

围段的数字项的和。

第二：给出数列的特征后，我们可以确定数列中的其他项。

熟悉上面两项后，对于更复杂多变的数列你会有得心应手的处理。

当然，首要的也是最关键的是我们要学习和掌握等差数列的规律和特征。

我们知道，等差数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么有没

有一个方式来表示这样的描述呢？

有的，那就是等差数列的每一项都可以用一个或几个数学符号来表示，因为具有普遍性并

且适合数列中的每一项，我们称它为公式，相对于数列则有个确定的称谓，叫通项公式。

它的具体表述是这样的：

如果一个等差数列的第一项为为,这个数列的差为d,有N项话，那么它的第N项的值就等

于a,+(n-1)Xdo

也就是：a0=a1+(n-1)Xd

末项=首项+公差X(项数T)

这是我们学习的第一个公式。

先举个简单点的例子：

比如:一个等差数列是2,4,6,8,10,12,14,……，我们根据通项公式,a1=2,d=2,

那么an=a,+(n-1)Xd=2+(n-1)X2=2+nX2-1X2=nX2,所以你可以很快地计算

出199项是多少了，/99=199X2=398。

再比如：如果一个等差数列的前4项依次是4,7,10,13,你知道它的第100项是多少吗？

根据上面的公式，第一项是4,这个等差数列的差是3,第100项应该是4+(100-l)X3=301o

我们再来看等差数列的求和。

求和:1+2+3+........+99+100o

一般我们用的是首尾相加法,就是1+2+3+……+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……+

(50+51)=101+101+101+........+101=101X50=5050

这是个等差数列，它的等差数是1,为了计算它的和我们应用了首尾相加法，我们知道它有

100项,刚好有50个101,所以和等于5050。

想一想，现在只是计算到100,如果计算到100000呢？如果等差的值是其他的数呢？是不

是每次我们都要这么计算呢？！

数学是让人聪慧的学科，等差数列太多了，我们应该根据等差数列的特征来推导出计算和

的简便方法。

先看简单的，求和：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13。

前面我们用的是首尾相加法来计算，这个方法有个弊端，就是要考虑项数，如果项数是单

数的话首尾相加法不够明了，比如：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)

+7=14+14+14+14++14+14+7=14X6+7=84+7=91

或者

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)

+13=13+13+13+13+13+13+13=13X7=91

是不是不够利索？！

下面我们用倒序相加法来做就比较简单了。

看下图：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

就相当于求上面的蓝色球的个数。

而我们把球的堆叠方式换一下，

是不是求和问题就简单了呢？

每一行都等于14,总共有13行，球数是13X14=182,而正常的球数应该是它的一半，就

是91。

我们用数字来表示，假设和为I

S13=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

S|3=13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

Si3+Si3=S13X2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+(7+7)+(8+6)+(9+5)+(10+4)

+(11+3)+(12+2)+(13+1)=14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14+14=14X13=182

所以Si3=91

图示的方法理解了吗？是不是不用考虑项数的单数还是双数的问题了？