2017-2018学年北师大版高中数学必修2全册同步课时作业【含解析】

2017-2018学年北师大版高中数学必修2

全册同步课时作业

目录

＞课时作业11.1简单几何体

＞课时作业21.2直观图

＞课时作业31.3三视图

＞课时作业41.4空间图形的基本关系与公理1

＞课时作业51.4空间图形的基本关系与公理2

＞课时作业61.5平行关系1

＞课时作业71.5平行关系2

＞课时作业81.6垂直关系1

＞课时作业91.6垂直关系2

＞课时作业101.6垂直关系3

＞课时作业111.7简单几何体的面积和体积1

＞课时作业121.7简单几何体的面积和体积2

＞课时作业131.7简单几何体的面积和体积3

＞课时作业142.1直线与直线的方程1

＞课时作业152.1直线与直线的方程2

＞课时作业162.1直线与直线的方程3

＞课时作业172.1直线与直线的方程4

＞课时作业182.1直线与直线的方程5

＞课时作业192.1直线与直线的方程6

＞课时作业202.2圆与圆的方程1

＞课时作业212.2圆与圆的方程2

＞课时作业222.2圆与圆的方程3

＞课时作业232.2圆与圆的方程4

＞课时作业242.3空间直角坐标系

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

课时作业1简单几何体

|基础巩固1（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.下面的几何体中是棱柱的有（

>0w

A.3个B.4个

C.5个D.6个

解析：棱柱有三个特征：（D有两个面相互平行；（2）其余各面是四边形；（3）侧棱相互

平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.

答案：C

2.下面图形中，为棱锥的是（）

A.①③B.①③④

C.①②④D.①②

解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故

答案：C

3.下列图形中，是棱台的是（

解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不

平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.

答案：C

4.给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体

1

20172018学年高中数学必修2课时作业

是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、

圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽（长和宽不相等）所在直线为旋转轴，旋转一周而

得的两个圆柱是两个不同的圆柱.其中正确说法的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转--周所得的旋转体才是圆锥,

若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误;

以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的

边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的.

答案：B

5.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）

㊁

D

解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离.故

正确答案为B.

答案：B

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是.

解析:等腰梯形的对称轴为两底中点的连线，此线把等腰梯形分成两个全等的直角梯形，

旋转后形成圆台.

答案：圆台

7.已知正四棱锥4?切，底面面积为16,一条侧棱长为2/,则它的斜高为.

解析：由S底=16,知底面边长为4,又侧棱长为2的1,故斜高〃=yl2y[Ti2-22

=2班.

答案：2班

8.下列说法正确的有个.

①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

②正棱锥的侧面是等边三角形.

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

解析：

2

20172018学年高中数学必修2课时作业

①不正确.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形,

由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是

有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体满足此说法，但它不是

棱锥，理由是△力龙和△灰尸无公共顶点.

②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.

③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图

所示的三棱锥中有AB=AgBD=BC=CD.满足底面/XBCD为等边三角形.三个侧面△46〃，

XABC,△/切都是等腰三角形，但〃1长度不一定，三个侧面不一定全等.

答案：0

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗？如

果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？

解析：图（1）、（2）旋转一周得到的几何体是圆锥；

图（3）旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体.

图（4）旋转180。是两个半圆锥的组合体.

10.

如图所示为长方体4四尸4B'CD',当用平面比能把这个长方体分成两部分后，

各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由：如果是，指出底面及侧棱.

解析：截面加叨上方部分是棱柱仍'E-CCF,其中平面图'£和平面CT尸是其底

3

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

面，加；B'C,必是其侧棱.截面比叨下方部分是棱柱ABEA'-DCFD',其中平面ABEA'

和平面比7沙是其底面，AD,BC,EF,A'D'是其侧棱.

I能力提升1（20分钟,40分）

11.有下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是（）

A.①②B.②③

C.①③D.②④

解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④

由母线的定义知正确.

答案：D

12.如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点〃与点C重合；

②点〃与点M与点"重合；

③点6与点。重合；

④点A与点S重合.

其中正确命题的序号是.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

解析：还原成正方体考虑.

答案：②④

13.

如图所示是一个三棱台ABC-A'B'C,试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使

每一部分都是一个三棱锥.

4

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

解析：过,6,「三点作一个平面，再过4',B,C'作一个平面，就把三棱台小

-A'B'C分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A'-ABC,B-A'B'C,A'-

BCC.（答案不唯一）

14.

如图所示的直角梯形4?切，ABLBC,绕着徵所在直线，旋转一周形成一个几何体，试

说明该几何体的结构特征.

解析：如图所示，过4,6分别作力。，/,B0.V1,垂足分别为。，“，

则RtAC6步绕1旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形。/能绕1旋转一周所形

成的几何体是圆台，口△〃6M绕/旋转一周所形成的几何体是圆锥.

B

综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底

面的圆锥.

5

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

课时作业2直观图

|基础巩固1（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.关于直观图画法的说法中，不正确的是（）

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于/轴，其长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于V轴，其长度不变

C.画与坐标系X（加对应的坐标系0'_/时，4x'O'y'可画成135°

D.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同

解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确.

答案：B

2.用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,

则原来的图形是（）

解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为地，所以原图形为平行四边形，位

于y轴上的对角线的长为

答案：A

3.（2017•太原高一期末）如图所示的用斜二测法画的直观图，其平面图形的面积为

()

A.3B.平

6

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

C.6D.372

解析：该直观图的原图为直角三角形，两条直角边分别为4和3,所以平面图形的面积

为^X3X4=6.

答案：C

4.已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边

长为4,则原正方形的面积是（）

A.16B.64

C.16或64D.以上都不对

解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的

一半，于是直观图中长为4的边如果平行于/轴，则正方形的边长为4,面积为16；长为

4的边如果平行于/轴，则正方形的边长为8,面积为64.

答案：C

5.若用斜二测画法把一个高为10cm的圆柱的底面画在X，O'y'平面上，则该圆柱

的高应画成（）

A.平行于z'轴且长度为10cm

B.平行于z'轴且长度为5cm

C.与z'轴成45°且长度为10cm

D.与z'轴成45°且长度为5cm

解析：平行于z轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A.

答案：A

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.已知正三角形/花的边长为2,那么△/仇7的直观图△/'B'C的面积为.

解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图.

从图②可知，A'B'=AB=2,

CD'=0'Csin45°=^X^=^.

所以&,，〃c=5'B'-CD'=^X2X,=乎.

7

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

答案:平

7.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD,如图所示，N48C=45°,AB

=4g,DCLBC,则这个平面图形的面积为—

P

/

-CA

且上底为1,下底为平+1,高为2,故面

解析：由直观图，可知原图形为直角梯形

积为gx（1+乎+1）X2=2+喙

答案：苧

8.一条边在“轴上的正方形的面积是4,按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边

形，则这个平行四边形的面积是

解析：正方形的面积为4,则边长为2,由斜二测画法的规则,知平行四边形的底为2,

高为乎，故面积为

答案：木

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.将图中所给水平放置的直观图绘出原形.

/（TA'x'

解析：

C1«

1A

10.画棱长为2cm的正方体的直观图.

解析：（1）作水平放置的正方形的直观图力比〃使/胡445°,AB=2cm,AD=1cm.

（2）过点力作轴，使N掰，=90°,分别过点4B,C,D,沿z'轴的正方向取

=BB\=CC\=DD\=2cm.

8

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

（3）连接4A,BC,CD,44如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的

图形如下图②就是所求的正方体的直观图.

I能力提升1（20分钟，40分）

11.如图所示是水平放置三角形的直观图，点〃是△4比的6c,边中点，AB,比分别与

V轴、/轴平行，则三条线段48,AD,“'中（）

A.最长的是48,最短的是4c

B.最长的是/G最短的是AB

C.最长的是/反最短的是49

D.最长的是/G最短的是49

解析：由条件知，原平面图形中从而4欣4K4C

答案：B

12.如图为△460水平放置的直观图B'0',由图判断△46。中，AB,BO,BD,OD

由小到大的顺序是..

解析：由题图可知，△"0中，勿=2,加=4,AS=y/17,B0=2邓.

答案：0IKBIKAB<B0

13.

用斜二测画法画出图中水平放置的的直观图.

解析：（1）在已知图中，以。为坐标原点，以如所在的直线及垂直于阳的直线分别为

9

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

A"轴与y轴建立平面直角坐标系，过点力作4"垂直x轴于点M,如图1.另选一平面画直观

图，任取一点。'，画出相应的/轴、V轴，使NPO'y'=45°.

(2)在/轴上取点6,，"，使0'B'=0B,。'犷=0M,过点犷作〃A'Uy'

轴，取"A'=3四.连接O'A',B'A',如图2.

(3)擦去辅助线，则A'B'为水平放置的△曲6的直观图.

14.画正六棱柱的直观图.

解析：画法如下:

(1)画轴：画/轴、y'轴、z'轴，使Nx'O'y'=45°,Nx'O'z'=90°；

(2)画底面：画正六边形的直观图力阅宏尸(O'为正六边形的中心);

(3)画侧棱：过4B,C,D,E,尸各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截

取AA',BB',C。，DD',EF,印，使加'=BB'=CC'=DD'=EE'=FF；

(4)连线成图：连接HB',B'C,CD',D'E',E'F1,PA',并加以整理

(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱B'CffE'P,

如图所示.

10

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

课时作业3三视图

|基础巩固1（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

工

解析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图

下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A,B,C,都可

能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩

形.

答案：D

2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（）

OAo

俯视图俯视图俯视图

甲乙丙

①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.

A.④③②B.①@②

C.①②③D.④②③

解析：由于甲中的俯视图是圆，则甲对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩

形，所以该几何体是圆柱；易知乙对应的几何体是三棱锥；由丙中的俯视图，可知丙对应的

几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，所以该几何体是圆锥.

答案：A

3.（2016•河北名师俱乐部3月模拟）某几何体的三视图如图所示，记/为此几何体所

有棱的长度构成的集合，贝I"）

11

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

俯视图

A.36JB.5G/1

C.2#GAD.4/G4

解析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，//江

平面4况》,AF//DE,4F=2,DE=4,可求得以■的长为4项，跖的长为24，哥'的长为24,

的长为4镜，故选D.

答案：D

4.如图为某组合体的三视图，则俯视图中的长和宽分别为（）

俯视图

A.10,4B.10,8

C.8,4D.10,5

解析：根据三视图中的“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”，

可知俯视图的长和主视图的长相等，为2+6+2=10,俯视图的宽与左视图的宽相等，为1

+2+1=4,所以选A.

答案：A

5.（2016•东北四市联考（二））如图，在正方体/比》一/史G〃中，〃是线段切的中点,

则三棱锥P—ABA的侧视图为（）

12

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

正视

ABCD

解析：如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥。一4846（。点均消失了，其

余各点均在，从而其侧视图为D.

答案：D

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.桌上放着一个半球，如图所示60,则在它的三视图及右面看到的图形中，有三

个图相同，这个不同的图应该是.

解析：俯视图为圆，主视图与左视图均为半圆.

答案：俯视图

7.

如图，已知正三棱柱ABC-A^G的底面边长为2,高为3,则其左视图的面积为.

解析：由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°

=/，高为3,...面积5=3m.

答案：3^3

8.（2016•山东安丘市高二上期末）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长

为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是.

13

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

正视图侧视图

俯视图

解析:

根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是正方形，侧棱相等，所以这是一个正

四棱锥.其侧视图与正视图是完全一样的正三角形.故其面积为乎xT=4.

答案：小

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.

试画出如图所示的正四棱台的三视图.

主视图左视图

俯视图

解析：由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由上面一个正四棱台和下面

一个正方体组合而成的，它的实物草图如图所示.

14

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

I能力提升1（20分钟,40分）

11.（2016•广东省台山市华侨中学高二上期末）定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂

直的三棱柱叫做正三棱柱.将正三棱柱截去一个角（如图1所示，也N分别是故的中

点）得到几何体如图2,则该儿何体按图2所示方向的侧视图为（）

解析：川的投影是C,材的投影是4。的中点.对照各图.选D.

答案：D

12.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的

（填入所有可能的几何体前的编号）.

①三棱锥；②四棱锥：③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.

解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面,

底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三

角形.

答案：①②③⑤

13.如图所示,是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图（单

位：cm）.请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图.

15

20172018学年高中数学必修2课时作业

解析：依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图.

14.某建筑由相同的若干房间组成，该楼房的三视图如图所示，问:

主视图左视图

俯视图

(1)该楼房有几层？从前往后最多要经过几个房间？

(2)最高一层的房间在什么位置？请画出此楼房的大致形状.

解析：(1)由主视图和左视图可以知道，该楼房有3层：由俯视图知道，从前往后最多

要经过3个房间；

(2)从主视图和左视图可以知道，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间.楼房大致

形状如图所示.

16

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

课时作业4公理1、公理2、公理3及应用

|基础巩固1（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.点尸在直线/上，而直线/在平面。内，用符号表示为（）

A.PU7（zaB.PRISa

C.puleaD.PGIUa

解析：直线和平面可看作点的集合，点是基本元素.故选D.

答案：D

2.已知a、8是异面直线，直线c〃直线a,那么。与从）

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

解析：若Z）〃c,；a〃c,二a〃方，这与a、。异面矛盾，其余情况均有可能.

答案：C

3.（2017•安庆市石化一中高二上期中）若直线a平行于平面a,则下列结论错误的是

（）

A.a平行于a内的所有直线

B.。内有无数条直线与a平行

C.直线a上的点到平面a的距离相等

D.a内存在无数条直线与a成90°角

解析：因为直线a平行于平面。，所以a与平面。内的直线平行或异面，故A错误；

。内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面。的距离相等，故C正确；

。内存在无数条直线与a成90°角，故D正确.故选A.

答案：A

4.一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是（）

A.异面

B.平行

C.相交

D.可能相交、平行、也可能异面

解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、

相交、异面，如下图所示.

17

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

答案：D

5.（2015•广东卷）若直线上和人是异面直线，上在平面a内，人在平面B内，/是

平面。与平面£的交线，则下列命题正确的是（）

A.1与h,人都不相交

B.1与人,一都相交

C./至多与心中的一条相交

D.，至少与4中的一条相交

解析：由直线人和4是异面直线可知上与A不平行，故九右中至少有一条与/相交.

答案：D

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.设平面a与平面£相交于直线1,直线aUa,直线bu8,aAb—M,则点材与1

的位置关系为.

解析：因为a0a,b0所以废a,旌£.又平面a与平面£相交

于直线/,所以点"在直线/上，即ME/.

答案：，废/

7.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的

直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个

平面.其中正确命题的个数是.

解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线

相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，

也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面,

故④错.

答案：0

8.

如图，在正方体力犯9—45G〃中，M”分别为棱G4,GC的中点，有以下四个结论:

①直线4V与CQ是相交直线：

18

20172018学年高中数学必修2课时作业

②直线4M与民V'是平行直线;

③直线BN与眼是异面直线;

④直线4"与能是异面直线.

其中正确的结论为.(注：把你认为正确的结论的序号都填上)

解析：直线4"与CG是异面直线，直线川/与氏V也是异面直线，所以①②错误.点6,

台，/V在平面缈4C中，点M在此平面外，所以氏V,,奶是异面直线.同理4”，如也是异面

直线.

答案：③④

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.完成下列各题：

(1)将下列文字语言转换为符号语言.

①点/在平面a内，但不在平面£内；

②直线a经过平面a外一点M；

③直线，在平面a内，又在平面£内(即平面a和平面£相交于直线/).

(2)将下列符号语言转换为图形语言.

①aUa,/>na=A,廨a；

②aC£=c,aCa,buB,a//c,AAc—P.

解析：⑴①力Wa,第£.

②历6a,廨a.

③aC£=1.

⑵①

10.如图所示，正方体46(力-45GO中，以"分别是/山、5G的中点，问:

(1)/步和0：是否是异面直线？说明理由;

(2)46和8是否是异面直线？说明理由.

19

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

解析：（D不是异面直线，理由：连结秘％4G、AC,如图，因为以"分别是/山、BG

的中点，所以朗V'〃4G.又因为4/触队D糠CC所以四边形/MCG为平行

四边形，所以4G〃/C,故也V〃4G〃zlG所以4、以N、。在同一个平面内，故加和GV

不是异面直线.

（2）是异面直线，证明如下：假设48与CG在同一个平面可〃内，则6G平面CCM,C&

平面久儿所以优仁平面少见这显然是不正确的，所以假设不成立，故〃6与比;是异

面直线.

I能力提升1（20分钟，40分）

11.下列说法中正确的个数是（）

①平面。与平面£,7都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a,8是两

条直线，a//b,那么a平行于经过6的任何一个平面；③直线a不平行于平面。，则a不

平行于a内任何一条直线；④如果。〃£,a//a,那么a〃£.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：①中，交线也可能是1条；②a也可能在过。的平面内；③中a不平行于平面。，

则a可能在平面。内，平面。内有与a平行的直线；④中，a可能在£内.故四个命题

都是错误的，选A.

答案：A

12.如图所示，G,H,M,"分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线做J郊

是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.

解析：图（1）中，直线（WJ保

图（2）中，G,〃，/V三点共面，但,姆平面67加，因此直线67/与.，加异面;

图⑶中，连接账，HN,GM//HN,因此〃与腑共面；

图（4）中，G,M,/V共面，

20

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

但/用平面GMN,因此"与也V异面.

所以图(2),(4)中引/与助V异面.

答案：⑵⑷

13.求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

证明：(1)如图所示，设直线a、b、c相交于点。，直线d和a、b、c分别相交于4、B、

C三点，直线d和点。确定平面a,由平面a,平面a,0G直线a,力£直线a,

知直线au平面a.同理，6U平面a,cU平面a,故直线a、b、c、d共面于a.

(2)如图所示，设直线a、b、c、d两两相交，且任何三线不共点，交点分别是双仙P、

。、R、G.

由直线an6=M,知直线a和6确定平面。.由aCc=从bHc=Q,知点凡0都在平

面。内.

故C0%同理可证"0。.所以直线a、b、c、d共面于a.

由(1)(2)可知，两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

14.如图所示，在正方体40—45G4中，£为46的中点，尸为44的中点.求证:

CE,D\F,物三线交于一点.

证明：连接峪DxC,AB

因为6为用的中点，尸为的中点,

所以EF*A£

21

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

又因为4尻触〃G

所以原触会心

所以笈F,4,C四点共面，

可设〃

又〃尸U平面4〃以，龙U平面4a9，

所以点P为平面ADDA与平面4?切的公共点.

又因为平面4。为C平面ABCD^DA,

所以据公理3可得产6物，即出状F,如三线交于一点.

22

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

课时作业5公理4及定理

|基础巩固1（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.若直线a〃方，6Dc=4则a与c的位置关系是（）

A.异面B.相交

C.平行D.异面或相交

解析：a与c不可能平行，否则由a〃方，得6〃c与6rI矛盾.故选D.

答案：D

2.若NAOB=NAOB1,且如〃Q4,物与。4方向相同，则下列结论正确的是（）

A.缈〃。笈且方向相同

B.OB//O\Bx,方向可能不同

C.OB与Q8不平行

D.仍与不一定平行

解析：在空间中两角相等，角的两边不一定平行，即定理的逆命题不一定成立.故选

D.

答案：D

3.（2017•安徽宿州十三校联考）在正方体4644的所有面对角线中，与AB\成

异面直线且与N8成60°的有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：

如图，△4AC是等边三角形，所以每个内角都为60。，所以面对角线中，所有与&C

平行或与/C平行的直线都与48成60°角.所以异面的有2条.

又也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D.

答案：D

4.如图，在四面体S一/回中，G,G分别是△弘6和△弘，的重心，则直线GG与8c

的位置关系是（）

23

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

A.相交B.平行

C.异面D.以上都有可能

解析：连接SG,SG并延长，分别与/氏4C交于点M,N,连接助V；则也N分别为/民

然的中点,由重心的性质，知1r标，.MG//脑又M"分别为初然的中点，...岬/阳

再由平行公理可得GG〃a；故选B.

答案：B

5.如图所示，在三棱柱中，44_L底面/驼AB=BC=AA\,NABC=90°,

点昆/分别是棱/昆班的中点，则直线旗和附所成的角是（）

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析：连接加，易知胡〃即连接6C,笈C与因交于点G,取4C的中点〃，连接67/,

、历

则GH//ABJ/EF.设AB=BC=AA尸a,连接IIB,在三角形GHB中,易知GH=HB=GB=^a

故所求的两直线所成的角即为/侬=60°.

答案：B

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.不共面的四点可以确定个平面.

解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面.

答案：4

7.用一个平面去截一个正方体，截面可能是.

24

20172018学年高中数学必修2课时作业

①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.

解析：

（注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形）

答案：①②③④

8.如图，在正方体/G中，与5〃所成角的余弦值是

解析：因为瓜6〃44所以/能〃就是异面直线44与6”所成的角，连接做

在Rt△8初中，设棱长为1,则A片4.

BB\1#

cosBBiD—„„=r--„.

B\D433

答案:乎

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.在三棱柱4%1-45G中，M,N,尸分别为4G,然和49的中点.求证：4PNA\=4BCM.

证明：因为R川分别为/C的中点，

所以月V〃宛①

25

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

又因为弘川分别为4G,/C的中点，

所以4M触AC

所以四边形4/忆¥为平行四边形，

于是44〃，必②

由①②及N月第与N6©/对应边方向相同，得/⑶4=N6（皴

10.在正方体力6。9一4644中，

⑴求/C与4〃所成角的大小；

（2）若其厂分别为46,4〃的中点，求4G与“'所成角的大小.

解析：（1）如图所示，连接6C,m,由〃是正方体,

易知4〃〃6C,从而8c与/C所成的角就是熊与4〃所成的角.

■:AB\=AC=BC

.♦.N6G=60°.

即4〃与然所成的角为60°.

（2）如图所示，连接加，在正方体4%/一464〃中，

ACVBD,AC//Ai

■:E,尸分别为4?,49的中点，

：.EF//BD,：.EFVAC.

：.EFLAxCx.

即4G与所■所成的角为90°.

I能力提升1（20分钟，40分）

11.（2017•江西师大附中月考）已知a和8是成60°角的两条异面直线，则过空间一

点且与a、方都成60°角的直线共有（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析：把a平移至a'与。相交，其夹角为60°.

60°角的补角的平分线c与a、3成60°角.

过空间这一点作直线c的平行线即满足条件.

又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，选C.

26

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

答案：C

12.（2017•江西新余一中月考）如图所示，在空间四边形4版中，E,H分别为AB,AD

「Fcr9

的中点，凡G分别是密切上的点，且左=音=不，若劭=6cm,梯形鳍G〃的面积为28cm二

则平行线掰曲间的距离为

2

解析：EH=3,户6=6义鼻=4,

设以尸G间的距离为人

EH+FGh/口/、

则Snt,ntCKH=2=28,得/7=8（cm）.

答案：8cm

13.在如图所示的正方体46al46K4中，E,F,&,£分别是棱46,AD,RG,

的中点，

求证：⑴夕嘴^£舟

②4EA\F=NEKR.

证明：（1）连接加，BD,

在△4®中，

因为反尸分别为46,49的中点,

所以EF^BD.

同理，E、F*&仄

27

2017_2018学年高中数学必修2课时作业

在正方体ABCD-A^CM中，

因为4/触44触〃〃所以56触

所以四边形即5是平行四边形，所以故^方凡

所以秒'触£；£.

(2)取46的中点材，连接用/,F、M.

因为扬；触用G,BK缺BC,所以班触比

所以四边形8m"是平行四边形.所以