2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练（附答案）

2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练（附答案）

1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线互相垂直D.对角线互相垂直平分

2.下列说法正确的是（）

A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

B.一组邻边相等的平行四边形是矩形

C.菱形有四条对称轴

D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形

3.下列说法正确的是（）

A.平行四边形对角线相等

B.矩形的对角线互相垂直

C.菱形的四个角都相等

D.正方形的对角线互相平分

4.对角线互相垂直且相等四边形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定

5.下列说法中错误的是（）

A.对角线互相平分的四边形是菱形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.菱形的对角线互相垂直

D.对角线长为L的正方形的面积是工a2

28a

6.如图，已知正方形ABC。的边长为4,点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度

沿BC、CZ）向终点C、£＞运动，连接AM、BN,交于点P,连接PC,则PC长的最小值

C.375-1D.2娓

7.如图，正方形ABC。中，点E是对角线AC上的一点，且AE=4B,连接BE,DE,则N

CDE的度数为（）

A.20°B.22.5°C.25°D.30°

8.如图所示，正方形A8CZ）的边长为2,AB在x轴的正半轴上，以4（1,0）为圆心，AC

为半径作圆交x轴负半轴于点P,则点P的横坐标是（）

9.如图，在边长为6的正方形A8c。中，点M为对角线8。上一动点，于E,MF

_LC£）于凡则EF的最小值为（）

E

A.3A/2B.6A/2C.3D.2

10.如图，四边形OBCZ）是正方形，O,。两点的坐标分别是（0,0）,（0,6）,点C在第

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

11.如图，等边△48C与正方形。EFG重叠，其中。、E两点分别在AB、8C上，且

BE.若AB=6,DE=2,则的面积为（）

13.如图，P为正方形ABC。的对角线8。上任一点，过点P作PE_L8C于点E,PFA.CD

于点凡连接E凡给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（）

①△FPC是等腰直角三角形；②AP=EF=PC：®AD=PD；④NPFE=NBAP.

14.如图，在正方形ABC。中，B/UCE于点F,交AC于点G,则下列结论错误的是（）

A.ABCG^ACDfB.AG=BEC./OBG=NOCED.ZABG^ZAGB

15.如图，正方形A8C0和正方形。EFO的顶点A,E,。在同一直线/上，且

48=3,给出下列结论：①/CO£>=45°,@AE=5,®CF=BD=VT?>④△COF的面

积S«OF=3,其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如图，正方形A8C。的面积为36,点E、F分别在AB,AD上，若CE=3娓,S.ZECF

C5工D・唠

~3~

17.如图，在正方形48C。中，点。是对角线AC的中点，点E是8c边上的一个动点,

OEA.OF交AB边于点尸，点G,H分别是点E,F关于直线AC的对称点，点E从点C

运动到点8时，图中阴影部分的面积大小变化情况是（）

A.先增大后减小B.先减小后增大

C.一直不变D.不确定

18.如图，将正方形。砂G放在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点E的坐标为（1,3）,

则点F的坐标为

19.如图，将正方形0A8C放在平面直角坐标系中，。是原点，A的坐标为（1,遥），则

点C的坐标为.

20.正方形A8C£）,点尸为正方形内一点，且满足出=3,尸8=2正，PC=5,则/AP8的

度数为度.

21.如图，正方形A8C。的对角线80上有一点E,且BE=3DE,点F在AB的延长线上，

连接E凡过点E作EG_LEF,交BC的延长线于点G,连接G尸并延长，交。B的延长

22.如图，四边形ABCZXAEFG都是正方形，且NBAE=45°,连接BE并延长交。G于

点、H,若AB=4,AE=M，则线段的长是.

23.已知正方形ABC。的边长为1,P为射线AO上的动点（不与点A重合），点A关于直

线BP的对称点为E,连接PE,BE,CE,DE.当△CDE是等腰三角形时，AP的值

为

24.如图,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形4OE,连接BE,则NAEB的度数为

25.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，JiAE=AB,则NBEA的度数是

度.

26.如图，在正方形ABCC中，对角线AC、BD交于O,E点在8c上，EGA.OB,EFVOC,

27.在正方形A8CD中，E是BC边延长线上的一点，且CE=B£>,则NAEC=

28.如图，正方形A8CO中，点E、尸分别在边8C、CD上，连接4E、EF、AF,S.ZEAF

=45°,下列结论:

①△ABE丝"。尸；

③正方形ABC。的周长=2Z\CEF的周长；

④SZ\ABE+SA4DF=SZ\CEF,其中正确的是.（只填写序号）

29.如图，ABC。为正方形，NC48的角平分线交8c于点E,过点C作CF_LAE交AE的

延长线于点G,CF与AB的延长线交于点F,连接BG、DG、与AC相交于点H,则下

列结论：①△48E丝△C8尸；②GF=CG；③BG_LOG；@DH=(&-1)AE,其中正

确的是.

30.如图，在正方形ABCO中，E是边CO上一点，4凡LAE交C8的延长线于点凡连接

DF,分别交AE、4B于点G、P.

求证：AE=AF.

31.如图，在矩形A8C。中，A£>=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩

形ABC£>的边AB,CD,DA±,A〃=2,DG=2.求证：四边形EFGH为正方形.

32.如图，正方形48co中，点P是对角线AC上一点，连接PB,边作PE_LPB交4。边

于于点E,且点E不与点A,O重合，作PMLAO,PNLAB,垂足分别为点M和N.

(1)求证：PM=PN；

(2)求证：EM=BN.

33.如图，在。A8CD中，对角线AC、8。交于点O,E是8D延长线上的点，且aACE是

等边三角形.

(1)求证：四边形ABC。是菱形.

(2)若NAEO=2/E4。，求证：四边形A8CD是正方形.

34.已知：如图，菱形ABC。的对角线AC与8。相交于点0,若NCAO=NDBC.

(1)求证：四边形ABC。是正方形.

(2)E是0B上一点，DHLCE,垂足为4,Z)H与0C相交于点F,求证：0E=0F.

35.如图，已知正方形A8c。，尸是对角线AC上任意一点，PMLAD,PNLAB,垂足分别

为点M和N,PE上PB交AD于点、E.

(1)求证：四边形M4VP是正方形；

(2)求证：EM=BN.

DC

M

E

B

36.己知，如图，矩形ABC。中，AD=6,DC=1,菱形EFGH的三个顶点E,G,"分别

在矩形ABC。的边4B,CD,D4上，AH=2,连接CE

(1)若DG=2,求证四边形EFGH为正方形；

(2)若。G=6,求△FCG的面积；

(3)当。G为何值时，△尸CG的面积最小.

37.如图，在。BCFQ中，点E是。F的中点，连接CE并延长，与BO的延长线相交于点A,

连接CD,AF.

(1)求证：四边形AOC尸是平行四边形；

(2)若CA=CB,贝gAOCF为(填矩形、菱形、正方形中的一个).

38.如图，在正方形ABCO中，点E是对角线AC上一点，且CE=C£>,过点E作EFJ_AC

交AO于点凡连接8E.

(1)求证：DF=AE；

(2)当A8=2时，求AF的值.

39.如图，已知正方形ABC。的边长为连接AC、B。交于点O,CE平分NACD交BD

于点E,

(1)求。E的长；

(2)过点E作ERLCE,交A8于点凡求B尸的长；

(3)过点E作EG_LCE,交CO于点G,求OG的长.

40.在边长为5的正方形ABC。中，点E在边C。所在直线上，连接BE,以BE为边,在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点。重合时，BG=;AG=;

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

(3)若AG=请直接写出此时OE的长.

2

参考答案

1.解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；

8、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；

C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；

。、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误.

故选：A.

2.解：4.因等腰梯形满足“一组对边相等，另一组对边平行”，但它不是平行四边形，故

此选项说法错误；

B.一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故此选项说法错误；

C.菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，因此菱形只有两条对称轴，故此选项错误；

D.因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，若再加上对角线互相垂直条件，则矩形

便转化为正方形，所以对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确；

故选：D.

3.解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；

8、矩形的对角线相等，错误；

C、菱形的四条边都相等，错误；

。、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；

故选：D.

4.解：对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故A选项不符合题意；

对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B选项不符合题意；

对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，故C选项不符合题意；

故。选项正确.

故选：D.

5.解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误，符合题意；

因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以8选项正确，不符合题意；

因为菱形的对角线互相垂直，所以C选项正确，不符合题意；

因为对角线长为L的正方形的面积是：所以。选项正确，不符

22228

合题意.

故选:A.

6.解：由题意得：BM=CN,

•..四边形ABC。是正方形，

：.ZABM^ZBCN=90a,AB=BC=4,

在△48M和△8CN中，AB=BC,NABM=ZBCN,MB=CN,

.'△ABM丝Z\BCN(SAS),

:.NBAM=ZCBN,

'：ZABP+ZCBN=90°,

NABP+NBA例=90°,

AZAPB=9Q°,

•••点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O,运动路径一条弧衣，是这个圆的工,

4

如图所示：

连接OC交圆。于P,此时PC最小，

VAB=4,

：.OP=OB=2,

由勾股定理得：。。=62+42=2泥,

:.PC=OC-OP=2遥-2；

故选：A.

7.解：・・,四边形ABCZ）是正方形，

：.AB=AD,ZADC=90Q,ZDAC=45Q,

•・・AE=A8,

：.AD=AEf

：.ZADE=ZAED=61.5°,

AZCD£=90°-67.5°=22.5

故选:B.

8.解：•••四边形ABC。是边长为2的正方形，

.♦.AB=BC=2,

AC=2"\/2>

•.•以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P,

AP=AC=2"\/2>

又；点A(1,0),

：.OP=242-b

:.点P(1-2亚,0),

故选：D.

9.解：连接MC,如图所示：

；四边形ABC3是正方形，

.\ZC=90°,ZDBC=45",

8c于E,MF_LC£>于F

四边形"EC尸为矩形，

：.EF=MC,

当MCI.BD时，MC取得最小值,

此时△BCM是等腰直角三角形，

:.MC=®BC=AX—=372,

22

.•.EF的最小值为3圾；

故选：A.

B

E

10.解：,・,四边形O8CO是正方形，

：.OB=BC=CD=OD,ZCDO=ZCBO=90°,

VO,。两点的坐标分别是(0,0),(0,6),

：・OD=6,

：・OB=BC=CD=6,

：.C(6,6).

故选：D.

11.解：过尸作bQJLBC于Q,则NH2E=90°,

:△ABC是等边三角形，AB=6f

：.BC=AB=6,ZB=60°,去

•；BD=BE,DE=2,/\

••.△BE。是等边三角形，且边长为2,D/^\\

:・BE=DE=2,NBED=6U0,

BECC

；・CE=BC-BE=4,M

•・♦四边形OEFG是正方形，DE=2,

,EF=DE=2,ZDEF=90°,

AZFEC=180°-60°-90°=30°,

：.QF=1.EF=\,

2

.♦.△ETC的面积为•|■XCEXFQ="^X4X1=2，

故选：B.

12.解：•.•四边形ABC。是正方形，

.•./A£>C=90°,AD=DC,

：是等边三角形，

：.DE=DC,NE£)C=60°,

AZADE=900+60°=150°,AD=ED,

：.ZDAE=ZDEA=A(180°-ZADE)=15°,

2

故选：B.

13.解：•••尸为正方形ABC。的对角线BO上任一点,

：.PA=PC,ZBCD=90a,

,/过点P作PE_LBC于点E,PFX.CD,

AZPEC=ZDFP=ZPFC=ZC=90°,

...四边形PECF是矩形，

：.PC=EF,

：.PA=EF,故②正确，

YBD是正方形ABCD的对角线，

:./ABD=NBDC=NDBC=45°,

VZPFC=ZBCr>=90°,

：.PF//BC,

：.ZDPF=ZDBC=45°,

:NDFP=90°,

...△FP。是等腰直角三角形，故①正确，

在和△PCB中，

'AB=CB

・PA=PC>

BP=BP

.,.△BAB丝△PCBCSSS),

:.NBAP=NBCP,

在矩形PECF中，ZPFE=NFPC=NBCP,

:.NPFE=NBAP.故④正确，

；点P是正方形对角线BD上任意一点，

：.AD不一定等于PD,

只有/84P=22.5°时，AD=PD,故③错误，

故选：C.

14.解：A.：四边形ABC。是正方形，

AZBCD=90°,NBCG=NCDE=45°,BC=CD,

,：HFICE,

...NBFC=90°,

:.NCBG+NBCF=NBCF+NDCE=90°,

：.NCBG=NDCE,

:.△BCG义ACDE(ASA),

故A正确；

B.一△BCGECDE,

：.CG=DE,

•.•正方形ABC。中，AC=BD,

J.AG^BE,

故B正确；

C.,:XBCG经4CDE,

：.NCBG=NDCE,

・••正方形ABC£>中NOBC=NOC£>=45°,

:.NOBG=NOCE,

故C正确；

E是O。上的任意一点，

.•.当8EW8C时，有AB/BE,

"：AG=BE,

J.AB^AG,

：.ZABG^ZAGB,

故。错误；

故选：D.

15.解：①•.•/AOC=90°,ZDOE=45°,

AZCOD=180°-ZAOC-ZDOE=45°,

故正确；

②•;EF=血,

：.OE=2,

；AO=A8=3,

二AE=AO+OE=2+3=5,

故正确；

③作DHVAB于H,作FGLCO交CO的延长线于G,

则FG=\,

CF=VFG2<G2=Vl2+(3+l)2=A/n,

BH=3-1=2,

0H=3+1=4,

8D=庐”=2粕，

故错误；

④△C0F的面积&COF=2X3XI=3,

22

故错误；

16.解：：正方形A8CO的面积为36,

：.BC=AB=6,

如图，延长尸。到G,使。G=BE；

连接CG、EF；

•.,四边形ABC。为正方形，

CB=CD

在△BCE与△CCG中，■ZCBE=ZCDG，

BE=DG

：./\BCE^/\DCG(SAS),

:.CG=CE,NDCG=NBCE,

.♦.NGCF=45°,

rGC=EC

在△GCF与△£(#中，，NGCF=NECF，

CF=CF

.,.△GCF^AECF(SAS),

：.GF=EF,

,:CE=38CB=6,

.•.BE=3,

：.AE=3,

设AF=x,贝ij。尸=6-x,G尸=3+(6-x)=9-x,

••衣=〃12+乂2=4？'

:.(9-x)2=9+7,

Ax=4,

即Ab=4,

ADF=6-4=2,

CF=YCD2+DF2=462+22=2715,

故选：A.

17.解:连接B£>,

•.•四边形ABC。是正方形，

.♦.N8OC=90°,

：.ZBOE+ZEOC=90Q,

'：OE±OF,

.../BOE+/FOB=90°,

：.ZFOB=ZEOC,

在△FOB和△EOC中，

rZF0B=ZE0C

>0B=0C，

ZFB0=ZEC0=45°

：./\FOB^/\EOC,

同理，AHOD^AGOC,

图中阴影部分的面积=△ABD的面积=上义正方形ABCD的面积,

故选：C.

HD

18.解：如图，过点E作x轴的垂线E”，垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为例,

连接GE、尸。交于点.

•.•四边形OEFG是正方形，

：.OG=EO,NGOM=NOEH,NOGM=NEOH,

"ZOGM=ZEOH

在△OGAf与△EOH中，＜OG=EO，

ZG0M=Z0EH

.♦.△OGM丝△EOH(ASA)

：.GM=OH^\,0M=EH=3,

：.G(-3,1).

：.O'(-1,2).

；点尸与点O关于点O'对称，

...点尸的坐标为(-2,4).

故答案是:(-2,4).

•；四边形ABC。是正方形，

：.OA=OC,ZAOC=90°=ZEOF,

.'.ZCOE^ZAOF,

在△40尸和△<%>£中，

，ZAF0=ZCE0

'ZA0F=ZC0E>

A0=C0

AAA0F^AC0£（A4S）,

：.AF=CE=l,0E=0F=娓,

.•.点c（-诟1）,

故答案为：（-1）.

20.解：将AAPB绕点B旋转90°得到△3P'C,则NP2P'=90°,BP=BP',AP=P'

C,NAPB=NCP'B,

,:PB=2近,

:.BP'=2&,

：.PP'=4,ZBP'P=45°,

•.,勿=3,PC=5,

：.P'C=3,

:PP'2+P'C2=42+32=52=PC2,

.♦.△PPC是直角三角形，ZPP'C=90°,

：.ZBP1C=/BP'P+ZPP'C=135°,

AZAPB=\35°,

故答案为：135.

21.解：如图，作EN_LAB于N,EM_LBC于M,PHLCB于H.

AD

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=DC=CB=AB=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,NABD=NCBD=

NADB=NCDB=45°,

:・EN=EM=BN=BM,

•:BE=3DE,

:・BN=3AN,所以AN=1,BN=3,

・•・EM=EN=BM=BN=3,

VEF±EG,

：.ZFEG=90°,

VZNEM=90°,

，/NEF=/MEG,

在和△MEG中：

<ZFNE=ZGME

<NE=ME

ZNEF=ZMFG

：.ANEFQAMEG(ASA),

:・MG=NF,EG=EF,

VBF=1,

:.NF=NB+BF=4,

・・・MG=4,

：・BG=BM+MG=7,

9：ZPBF=ZABD=45°,

：.ZPBG=135°,

：・NPBH=45°,

AZHPB=45°,

:・BH=PH,PB=MPH,

设BH=PH=x,则PB=@,GH=BH+BG=x+7,

得》=工，

6

所以PB=2叵,

6

又因为BE=&BN=3®

所以EP=EB+BP=旦!2.

6

22.解：连接GE交A。于点N,连接DE,如图,

'：ZBAE=45°,

尸与EG互相垂直平分，且A尸在上，

,:AE=近,

:.AN=GN=\,

:.DN=A-\=3,

在RtZ\£WG中，£>G=^DN2+CN2=A/TO；

由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AG。,

：.DG=BE=y[]X),

•：SADEG=LGE・ND=LDG・HE,

22

V105_

BH=BE+HE=K&+Ri=囚迅

55

故答案是：曲叵.

5

23.解：①如图1,当CE=CD,且点P在线段A。上时，

由题意知，LBEC为等边三角形,

过点E作BC的垂线，分别交AO,8C于点例，N,

则EN=y^.BE=X^-,

22

-返，

2

在四边形A8EP中，

ZABE=30°,NA=NPEB=90°,

.♦./APE=150°,

；./MPE=180°-/APE=30°,

在RtZXPEM中，

PE=2ME=2-弧,

：.AP=PE^2-5/3；

②如图2,当CE=CD,且点尸在线段AO的延长线上时，

由题意知，ABCE为等边三角形,

过点E作BC的垂线，交BC于N,交AO于M，

贝I]NE=®CE=®,

22

：.ME=l+叵,

2

在四边形ABE尸中，

/A=NBEP=90°,ZABE^ZABC+ZEBC=150°,

：.ZAPE=30°,

在RtZXPME中，

PE=2ME=2+M，

：.AP=PE=2+y/3i

③如图3,当EO=EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在A8的垂直平分线上,

：.AE=BE,

又"：AB=EB,

.♦.△ABE为等边三角形，

/.ZABE=60°,

：.ZABP=ZEBP=30°,

在Rt/\ABP中，

AP=®1B=返，

33

综上所述，AP的值为2-相或2+«或返.

3

24.解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE,

/.ZBA£=90°+60°=150°,

AZA£B=(180°-150°)4-2=15°.

故答案为：15°

25.解：：四边形ABC。是正方形，

：.ZBAC=45°,

9

\AE=ABf

・・・N8E4=NA8E=180、Y5。=67.5°.

2

故答案为：67.5.

26.解：•・•四边形A8co是正方形，AC=10,

：.AC±BD,BO=OC=5,

〈EG上OB,£F±OC,

S^BOE+S^COE=SMOC，

.•」WEG+九・OC・EFT・OB・OC,

222

.".AX5X£G+AX5XEF=JLX5X5,

222

：.EG+EF=5.

故答案为5.

27.解：连接AC,则正方形ABC。中，AC=BD

'：CE=BD

：.AC=EC

：.ZE=ZCAF

'：AD//EC

：.ZE=ZDAF

：.ZCAF=ZDAF

・・・NC4O=45°

・•・ZCAF=ZDAF=22.5°

：.NAEC=22.5°

28.解：①当E、尸不分别是8c和CD的中点时，BEWDF,则△A8E注八4£下不成立，故

①错误；

②延长CO至G,使得DG=BE,如图1,

*：AB=ADfZABE=ZADG=90°,

•・.△ABE四△AOG(SAS),

:・/BAE=/DAG,/AEB=/G,AE=AGf

VZBAD=90°,NE4尸=45°,

AZBAE+ZDAF=45°,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=45°,

：.AEAF=ZFAG,

VAF=AF,

A/XAEF^^AGF(5AS),

JNAEF=/G,

・,.ZAEB=NAEF,

故②正确；

G

图1

③：AAEF^AAGF,

，EF=GF=DG+DF=BE+DF,

：.ACEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC,

•:正方形ABC。的周长=4BC,

...正方形ABCD的周长=2△CEF的周长，

故③正确；

④；/\ABE^/\ADG,

-'•S&ABE=S&ADG>

S^ABE+S^DF—S&\GF，

,:GF=EF>CF,AD,CE,

.,/F・AD〉看:F・CE，即S&4GF〉SACEF，

/•S&ABE+S八ADFWSMEF，

故④错误;

故答案为：②③.

29.解：①四边形ABCZ）为正方形,

：.AB=CB,ZABC=ZCBF=90Q,

\'AG±CF,

：.ZAGF=90°,

AZGAF+ZF=90°,

VZBCF+ZF=90°,

：.ZGAF=ZBCF,

:.△ABE—CBF(ASA),

故此小题结论正确;

②;AG是NCA8的角平分线,

：.ZBAG=ZCAGf

VZAGF=ZAGC=90°,AG=AG,

AAAFG^AACG(ASA),

:,FG=CG,

故此小题结论正确；

③•・・NC3b=90°,FG=CG,

：・BG=CG,

:./CBG=/BCG,

VZABC=ZDCB=9G0,

:.NABG=/DCG,

•；AB=DC,

AAABG^ADCG(SAS),

・・・NAGB=/DGC,

VZDGC+ZAGD=ZAGC=90°,

・・・NAG5+NAGD—90°,

：.BGA.DG,

故此小题结论正确；

@VAABG名/\DCG,

：.ZCDG=NBAG=ZCAG,

■:/DCH=NACE,

券AE'

故此小题结论错误.

由上可知，正确的结论是①②③，

故答案为：①②③.

DC

30.证明：I•四边形A2C£>为正方形，

：.AB=AD,ZABC^ZBAD^ZA£>C=90°,

'：AFLAE,

/.ZEAF=90°,即NMB+NEAB=90°,

而NE4O+NEAB=90°,

：.ZFAB^ZEAD,

在△ABF和△ADE中，

，ZFAB=ZEAD

,AB=AD，

ZABF=ZADE

A/XABF^/XADE(ASA),

：.AE=AF.

31.解：•.•四边形4BCO为矩形，四边形"EFG为菱形,

.".ZD=ZA=90°,HG=HE,

又AH=DG=2,

：.Rt/\AHE^Rt/^,DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

'：ZAHE+ZHEA=90°,

NAHE+/£»HG=90°,

：.ZEHG=90°,

四边形HEFG为正方形.

32.证明：(1)•••四边形A8CO为正方形，

；.AC平分NBAO,

又；PMLAD,PN1AB,

：.PM=PN.

(2)'：PM1AD,PNA.AB,ZMAN=90<>,PM=PN,

•••四边形PM4V为正方形，

：.ZMPN=90°,即NMPE+NEPN=90°.

；PE±PB,

：.NEPN+NNPB=90°,

：.ZMPE=ZNPB.

'JPMLAD,PNLAB,

：.NPME=ZPNB=90°.

fZMPE=ZNPB

在△「〃£■和△/WB中，＜PM=PN,

ZPME=ZPNB

:.XPME迫丛PNB(ASA),

：.EM=BN.

33.证明：(1)'：°ABCD,

：.AO=OC,

•••△ACE是等边三角形，

：.EOLAC(三线合一)

即BD1AC,

，。ABC。是菱形；

(2):△ACE是等边三角形，NE4C=60°

由(1)知，EOLAC,AO=OC

/4E0=NOEC=30°,ZkAOE是直角三角形

...NEAO=60°,

ZAED=2ZEAD,

：.ZEAD=\5°,

：.ZDAO^ZEAO-ZEAD=45°,

是菱形,

：.ZBAD=2ZDAO=90°,

二菱形ABC。是正方形.

34.(1)证明：•.•四边形ABC。是菱形，

J.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,NABC=2NDBC,

：.ZBAD+ZABC=ISO°,

'：ZCAD^ZDBC,

：.NBAD=NABC,

/.2ZBAD=180°,/.ZBAD=90Q,

四边形ABC。是正方形；

(2)证明：I•四边形ABC。是正方形，

：.AC±BD,AC=BD,CO=Lc,DO=^BD,

22

.../COB=N£>OC=90°,CO=DO,

"：DH1CE,垂足为"，

•：NDHE=90°,ZEDH+ZDEH=90°,

；NECO+NDEH=90°,

：.ZECO^ZEDH,

'/ECO=/EDH

在和△FQ。中，<CO=DO，

ZCOE=ZDOF

.♦.△EC。丝△EDO(ASA),

：.OE=OF.

35.证明：(1)•.•四边形ABC。是正方形，

AZDAB=90°,AC平分NZMB,

,：PM1AD,PNLAB,

.•./PM4=NPM4=90°,

二四边形MANP是矩形，

平分NDAB,PMA.AD,PNLAB,

：.PM=PN,(3分)

二四边形MANP是正方形；

(2)•.,四边形ABC。是正方形，

:.PM=PN,NMPN=9G°,

VZEPB=90°,

二NMPE+NEPN=ZNPB+ZEPN=90°,

：.ZMPE=ZNPB,

在△E/W和△BPN中，

，ZPMA=ZPNB=90°

PM=PN，

ZMPE=ZNPB

:.△EPM%/\BPN(ASA),

：.EM=BN.

36.解：(1)：四边形ABC。为矩形，四边形HEFG为菱形，

；./£>=/A=90°,HG=HE,又AH=QG=2,

/.Rt/\AHE^Rt/\DGH(HL),

：.ZDHG=ZHEA,

'：ZAHE+ZHEA=90°,

/.ZAHE+ZDHG=90Q,

：.ZEHG=90°,

，四边形”E尸G为正方形；

(2)过下作FM_L£>C,交。C延长线于M,连接GE,

'JAB//CD,

：.NAEG=ZMGE,

"：HE//GF,

：.NHEG=ZFGE,

：.NAEH=/MGF,

在△?!〃£：和△MFG中，/A=/M=90°,HE=FG,

：.△AHaXMFG,

：.FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2,

因此SzkFCG"fxFMXGcVx2X(7-6)=1；

(3)设。G=x,则由第(2)小题得，SMCG=I-x,在中，AEW48=7,

.,.HE1^53,

.•./+16W53,

：・xW后,

:.S&FCG的最小值为7-病，止匕时DG-V37-

...当£>G=幅时，△FCG的面积最小为(7-病).

37.解：(1)在平行四边形BCFC中，

DE//BC,

TE是。尸的中点，

：.DE=^BC,

2

.♦.OE是△A8C的中位线，

.♦