2022-2023学年高中数学模块综合测评湘教版选择性必修第一册

模块综合测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2022湖南长沙开福高二期中）过点（1,T）且方向向量为（-2,3）的直线的方程为（）

A.3x-2y-5=0B.2x~3y-5=0

C.3x+2y-l=0D.2x+3y+l=0

2.（2022天津静海一中高二期中）若直线1:ax-y+l=0与1:x-ayT=0平行，则1与1之间的距离为

1212

（）

虎

TVsV2

A.B.C.D.2

i

3.已知数列｛a｝的通项公式a=，则它的前n项和$是（）

nnn

叶1/

V白而了

A.B.C.D.

4.（2022湖北宜昌等四市高二期末）某县现招录了5名大学生，其中3名男生,2名女生，计划全部派

遣到A,B,C三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣1名大学生，乡镇A只派2名男生.则不

同的派遣方法总数为（）

A.9B.18C.36D.54

5.（2022黑龙江八校高二期中）过点（1,3）作圆出+卵=10的切线，则切线方程为（）

A.x+3y-10=0

B.x=l或3x-y-10=0

C.3x-y-10=0

D.y=3或x+3y-10=0

6.（2022江苏徐州高二期中）已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图

V1O

2是其中截面最细附近处的部分图象上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20m,上底

1

面直径CD=20m,AB与CD间的距离为80m,与上下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分

的直径为(

-------1-------

图2

A.20mB.10mC.10mD.10m

369

7.(2022河北邯郸八校高二期中)如图,把椭圆C:=1的长轴AB分成6等份,过每个分点作x轴

的垂线交椭圆的上半部分于点P,P,P,P,P,F是椭圆C的右焦点，则

12345

|PF|+1PF|+1PF|+1PFI+1PFI=()

A.20B.15C.36D.30

8.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为1,过点F的直线交抛物线C于此N两点,交直线1于点P,

港=石

且，则I则=(

16

r

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

2

9.设等差数列｛a｝的前n项和为S.若S=0,a=8,则()

nn34

A.S=2n2-6nB.S=n2-3n

nn

C.a=4n-8D.a=2n

nn

10.(2022浙江宁波效实中学高二期中)以下说法正确的是()

A.若A(1,2),B⑶4),则以线段AB为直径的圆的方程是(xT)(x-2)+(y-3)(y-4)=0

B.已知A(1,2),B(3,4),则线段AB的垂直平分线方程为x+y-5=0

5E

C.抛物线yz=2x上任意一点到P,0，'的最小值为

??.

病

D.双曲线C：=1的焦点到渐近线的距离为

11.(2022浙江A9协作体高二期中)点P在圆C:X2+y2=l上，点Q在圆C:xz+警-6x+8y”0上,则

12

()

A.两圆有且仅有两条公切线

B.|PQ|的最大值为10

q

3

C.两个圆心所在直线的斜率为-

D.两个圆相交弦所在直线方程为3x-4y-5=0

手十至

12.已知椭圆C:=l(a>b>0)与圆C:X2+yz=bz,若在椭圆C上存在点P,使得由点P所作的圆C的

1212

两条切线相互垂直,则椭圆C的离心率可以是()

1

市/14

~25-25

A.B.C.D.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

5

(了)

13.在x-♦n的展开式中,所有项的系数和为64,则n=---------.

3

14.（2022江苏常州三中等六校高二期中）若方程xz+yz+Xxy+kx畛y+%+入=0表示圆，则k的取值范

围是•

15.（2022江苏海安高二期中）已知等比数列｛a｝的首项为-2,公比为q.试写出一个实数q=，使

n

得a<'

n

16.已知双曲线,'=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F,F,过F作圆研丫2="的切线，交双曲线左

122

支于点M,若NFMF=45。，则双曲线的渐近线方程为

12

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2022福建三明三地三校高二期中）在（2XL'I的展开式中，第3项的二项式系数为28.

（1）求第5项的系数（要算出具体数值）.

（2）展开式中是否含有常数项?若有，请求出来;若没有，说明理由.

18.（12分）在①已知数列｛a｝满足:a-2a=0,a甩②等比数列｛a｝的公比q=2,数列｛a｝的前5项和

nn+1n3nn

S为62这两个条件中任选一个，并解答下列问题.（注:若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计

n

分）

⑴求数列｛a｝的通项公式;

n

4

⑵设b二•，数列｛b｝的前n项和为T,若2T>nr2022对n£N*恒成立，求正整数m的最大值.

5

19.(12分)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线Lx-y-2=0的距离为.

⑴求抛物线的标准方程；

⑵设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.

6

7

20.（12分）已知曲线C:x2-yz=l和直线l:y=kxT.

（1）若直线1与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围；

近

⑵若直线1与曲线c交于A,B两点,0是坐标原点,且AAOB的面积为，求实数k的值.

石T花

21.（12分）（2022重庆名校联盟高二联考）已知双曲线C与椭圆=1有相同的焦点,PL3,）是

双曲线C上一点.

⑴求双曲线C的方程；

⑵记双曲线C的右顶点为M,与x轴平行的直线1与C交于A,B两点求证:以AB为直径的圆过点

M.

8

22.(12分)已知数列｛a｝的前n项和为S,a=2,+2,neN.

nn1n+

⑴证明：数列｛S+1｝为等比数列；

n

⑵已知曲线c:X2+(19-a)yz=l,若C为椭圆，求n的值；

nnn

a3口.

⑶若b=5xiog(Z)，求数列｛b｝的前n项和T.

n3nn

9

参考答案

模块综合测评

5

2

1.C过点（1,T）且方向向量为（-2,3）的直线方程为y+为-（X-1）,整理得3x+2y-点0.故选C.

2.C当a=0时，直线1:尸1,直线1:x=l,显然不平行.当aWO时，由直线1:ax-y+l=0与1:x-ay-

1212

a__1

1=0平行，可得WT,解得a=l,

所以直线1:x-y+l=O与1:x-yT=O,所以1与1之间的距离d=,故选C.

1212

1=1_111_1_1__a

»一，.’,刀［/1）a一2231/1JJ+1JTTL

3.B因为数列｛a｝的通项公式a=，所以S=l-+…+=1-.故选B.

nnn

的C/

4.B依题意分两步，第一步，乡镇A派2名男生有=3种;第二步，剩下3人派给乡镇B,C有=6

种，由分步乘法计数原理可知共有3X6=18种派遣方法,故选B.

5.A因为12+32=10,所以点（1,3）在圆xz+y^lO上.由切线与圆心（0,0）和点（1,3）的连线垂直,可得

11

33

切线的斜率为一，则切线的方程为y-3=-（x-l）,即x+3yT0=0.故选A.

6.A建立如图的坐标系，

10

设双曲线方程为/“=1,a>0,b>0,

*200如o一

丁一产，

10005600T

'解得a2=100,b2=400,

|EF|=2a=20.故选A.

7.D由题意可知P与P,P与P分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为F,则

15241

|PF|+|PF|=|PF|+|PF|=2a,同理|PF|+1PF|=2a,而|PF|=a,

15111243

所以|PF|+|PF|+|PF|+|PF|+|PF|=5a=30.故选D.

12345

8.D如图所示，过点M作曲垂直于准线1,由抛物线定义得=

PF=FiV3

因为，所以|PM|=2|MD|,所以/DPM=30°,则直线MN方程为x=(y-1),

pr=

联立4"消去X得3y2Toy+3=0,A=(T0)2-4X3X3=64>0,设M(x,y),N(x,y),所以

y+y：

12

1016

3g

所以|MN|二y+y丑=+2=，故选D.

12

11

3可+3占Oj

9.AC设公差为d,依题意1匈=8,'1可+3户8,解得如=4,所以a=4n-8,S=丁•n=2m-6n.故

nn

选AC.

10.BCD对于A,以线段AB为直径的圆的圆心为(2,3),半径r=(AB|="，故圆的方程为(x-2”+(y-

3"=2,故A错误.

<1-2

对于B,直线AB的斜率为=1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为T.又线段AB中点为(2,3),所以

线段AB的垂直平分线方程为y-3=-(x-2),整理得x+y-5=0,故B正确.

对于C,设抛物线y?=2x上任意一点P

_,/~加炉+1■而_小产24贯+10。_>(9-4尸~4

3/犷-2短+100V21

，所以|PM|=&'，故C正确.

当yz=时，（）=2,

对于D,由双曲线方程可得a=2,b=,根据双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴的长可知D正确.

故选BCD.

11.BC根据题意，圆C:X2+y2=l,其圆心C(0,0),半径R=l,

11

圆C:X2+y2-6x+8y+9=0,即(x-3)z+(y+4)衿16,其圆心C(3,-4),半径r=4,圆心距

(-4)2+32

ICC|==5=4+1,两个圆相外切，两圆有且仅有3条公切线，所以A错误；|PQ|的最大值为

1+5+4=10,所以B正确;

7-0

而

对于C,圆心C(0,0),圆心C(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-，所以C正确;对于D,因

12

为两圆外切，所以不存在公共弦，所以D错误.故选BC.

12.AD设两切点分别为A,B,连接0A,OB,0P,依题意,0,P,A,B四点共圆.

12

VZAPB=90°，，四边形OAPB为正方形,

V2V2

|OP|=b,.•.b〈|0P|Wa,即b〈bWa,

:鸿

2b2^a2,BP2(32-C2)Wa2,「・a2W2c2,gpe=.

13.6令x=l,可得所有项系数之和为(-2)传64,解得n=6.

z

14.(-o°,1)U(9,+°°)由方程X2+yz+Xxy+kxH3y+k+入=0表示圆可知人=0,

5*5159

2(W)(5)I5公

因止匕X2+yz+Xxy+kx*y+k+人=0化为x+2+y+2-k2-k+,

159

42?

所以k2-k+>0,解得k〈l或k>9,即k的取值范围为(-8,1)u(9,+8).

15.(答案不唯一,满足0<q<l即可)依题意等比数列｛a｝的首项为-2,公比为q.Va<，，数列

2

｛a｝为递增数列，；.a〈a,.•「2q〈-2q2,解得0<q<l,则q可以取.答案不唯一,满足0<q<l即可.

n23

我

16.y=±x如图所示，设切点为A,连接0A,作FBLMF,垂足为B.

13

由|OA|=a，且0A为4FFB的中位线,可得|FB|=2a,|FA|=^"^=b,即|FB|=2b,

12122

在直角三角形BMF中，因为NFMB=45°,所以|MF|=2堂|MF|=2b+2a,

1112

由双曲线的定义可得IMF|-|MF|=2b+2a-2%=2a,可得b=^a,即双曲线的渐近线方程为y=±迎

21

17.解（1）因为（2X2-也）„的展开式第3项的二项式系数为28.

~2-

可,即二28,

解得n=8或n=-7（舍去）,故n的值为8.

第5项的系数为•24•(-1)4-1120.

11

⑵没有.理由如下，因为9X2-人的展开式中，二项展开式的通项T=•（2X2）8-r.U/r=（~

r+1

16--

l)r**28-r•,

1r"

FT

当16-=0时，解得r=N,所以展开式中没有常数项.

口aH

18.解⑴选择条件①：由a-2a=0得、=2,｛a｝为等比数列，公比q=2,所以a=a-=2n.

n+1nnn3

选择条件②，数列｛a｝的前5项和S=-12=62,解得@=2,所以@=251=2'.

n51n1

14

⑵b="2,则T金+2X0)2+…+n•［匚.)

，=(2)2+2*0)3+…+(n-1)•O+n.(?)叫

n

11111引人占11

两式相减得%J+(z)2+…+(2)n-n・0)n+尸W-n・(2)叫即T=2-(2+n)(2)

因为T-T=(n+1)(')n+i>0,

2

所以数列｛T｝为递增数列，最小值为T=f

n1

2T>m-2022对neN*恒成立，即m<2T+2022对neN*恒成立，所以m<2023,m的最大值是2022.

nn

(。图

19.(1)解因为xz=2py的焦点坐标为,

卜闷_3或

由点到直线的距离公式可得2,

解得p=2或p=-10(舍去)，

所以抛物线的标准方程是xz=4y.

1T)

⑵证明设圆心C的坐标为，半径为r,

又圆C在x轴上截得的弦长为4,

SY闯

所以r?=4+，所以圆C的标准方程为(x-x)2+'

0

(令

化简得-2xx+(X2+y2-4)=0,

15

,上尸6

'-2x=0,

对于任意的XeR,上述方程均成立,故有3+/=4,解得x=o,y=2,所以圆C恒过定点（0,2）.

0

fjp-y2=1

20.解⑴联立br'消去y,得（l-k2）xz+2kx-2=0.

•.,直线1与双曲线C有两个不同的交点，

[1-#壬0,

(di2+8(1-^)>0,啦啦

/.'解得-〈k〈，且kW±l,

/.实数k的取值范围为(-"1)U(-1,1)U(1,)历

⑵设A(x,y),B(x,y).

1122

_2i_-Z

1-Pl-V

由⑴可知X+x=-',XX二,

1212

口钊）（87产）

Ivudi十承■J(-

|AB|=Ix-x

12

...点o到直线1的距离d=而,sJ•|AB|•d/JiT”-近

△AOB

恒

T

艮132k4—3k2=0,.•.k=0或k=土.

西恒

T~2

实数k的值为0,.

21.（1）解设双曲线C的方程为=l（a〉0,b〉0）,

95??

京一审F-7

由已知得a?+b2=12-6=6,且=1,解得球=丘=3,双曲线C