二重积分的概念与性质

第九章重积分

第一节二重积分的概念与性质

教学目的：深刻理解二重积分的概念、性质、方法和基本技巧.

教学重点：利用二重积分的性质计算.

教学难点：二重积分的几何意义.

教学内容：

一、二重积分的概念

1.曲顶柱体的体积

设有一空间立体Q,它的底是xoy面上的有界区域。，它的侧面是以。的边界曲线为

准线,而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面2=f(x.y).

当(x,y)c。时，/(xj)在。上连续且/(xj)20,以后称这种立体为曲顶柱体.

曲顶柱体的体积P可以这样来计算：

(1)用任意一组曲线网将区域。分成〃个小区域45，A(T2,…，Acr„,以这些小区

域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Q分划成〃个

小曲顶柱体△%,AQ,,AQ„.

(假设所对应的小曲顶柱体为AQ,,这里八0既代表第i个小区域,又表示它的面积值,

AQ,既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)

图9-1-1

从而P=£AC,(将Q化整为零).

Z=1

(2)由于/(xj)连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大.因此可以将小曲顶

柱体近似地看作小平顶柱体,于是

△Q,=/(。，7Ms,(V(^.,z;,)GACT,).

(以不变之高代替变高,求AQ,的近似值)

(3)整个曲顶柱体的体积近似值为

%=£M^,)Acr,.

/=1

(4)为得到夕的精确值,只需让这〃个小区域越来越小，即让每个小区域向某点收缩.为

此,我们引入区域直径的概念：

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者.

所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的直径趋向于零.

设〃个小区域直径中的最大者为4,则

P=处这,v©,如€.

?=1

2.平面薄片的质量

设有一平面薄片占有X。y面上的区域。，它在(xj)处的面密度为p(xj),这里

p(x/)20,而且p(xj)在。上连续,现计算该平面薄片的质量M.

图9-1-2

将。分成〃个小区域△0,402广,。5,，用4记45的直径，八5既代表第，个小区

域又代表它的面积.

当4=max{4}很小时，由于p(xj)连续，每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,

那么第i小块区域的近似质量可取为

PC,，7)A5VACT,

于是MBa风却,％)巴，

/=1

i=l

两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题.因此,有必要撇开这

类极限问题的实际背景，给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分.

3.二重积分的定义

设/(x,_y)是闭区域。上的有界函数，将区域。分成个小区域

其中，ACT,既表示第，个小区域，也表示它的面积，4表示它的直径.

2=max{4jVACT,.

\<i<n'

作乘积(i=l,2…⑼,

作和式

i=i

若极限limZ/(0，〃,)A5存在，则称此极限值为函数/(xj)在区域。上的二重积分,记

/=1

作JJ7(x/)db.即

D

dcr=燃£/©，7)49

D/=1

其中：/(XJ)称之为被积函数，/(xj)d<T称之为被积表达式，dcr称之为面积元素，

x,歹称之为积分变量，。称之为积分区域，石/(。，7)40称之为积分和式.

/=]

4.几个事实

(1)二重积分的存在定理

若/(x,y)在闭区域。上连续,则/(x,y)在。上的二重积分存在.

注在以后的讨论中，我们总假定在闭区域上的二重积分存在.

(2)(xj)do中的面积元素do象征着积分和式中的Ab,.

dx

图9-1-3

由于二重积分的定义中对区域。的划分是任意的，若用一组平行于坐标轴的直线来划

分区域。，那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可

以将"CT记作为力(并称必:力为直角坐标系下的面积元素)，二重积分也可表示成为

\\fkx,y)da.

(3)若/(xj)20,二重积分表示以/(xj)为曲顶,以。为底的曲顶柱体的体积.

二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质

性质1(线性性)

0[。/(羽田+/?g(xM]do=adcr+£JJg(x,y)do

其中：a,尸是常数.

性质2(对区域的可加性)

若区域。分为两个部分区域4,0?,则

JJ7(x/)db=JJ7(xj)db+/j./'(x,y)d。

性质3若在。上，/(xj)三1,er为区域。的面积，则

DD

几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.

性质4若在。上，/(x/)W0(x,y),则有不等式

JJ7(x/)do<08(x/)da

DD

特别地,由于一有

JJ7(x,y)dcrwJJ|/(")|dcr

DD

性质5(估值不等式)

设”与加分别是/(XJ)在闭区域。上最大值和最小值，(7是〃的面积,则

m(7<IJ/'(x,y)<7cr<M(J

D

性质6(二重积分的中值定理)

设函数/(x,y)在闭区域D上连续，<7是。的面积,则在D上至少存在一点©〃)，使

得

D

例1估计二重积分“(/+”2+9)47的值，。是圆域*2+/<4.

D

解求被积函数/(国7)=/+纣2+9在区域。上可能的最值

a-/

=2%=0,

ax

3-/

ay

(0,0)是驻点,且/(0,0)=9；

在边界上，/(x,y)=犬+4(4-Y)+9=25-3x2(-2<x<2),

13</(x,y)<25

/nax=25,7mM=9,

于是有

36〃=9•44</<25•4%=100万

小结：二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的儿何意义（曲顶柱体的体积）；二重积

分的性质.

第二节二重积分的计算法

教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧.

教学重点：熟练掌握二重积分计算.

教学难点：二重积分在极坐标下的计算.

教学内容：

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的，二重积分的计算是通过两个定

积分的计算(即二次积分)来实现的.

一、利用直角坐标计算二重积分

我们用几何观点来讨论二重积分do的计算问题.

D

讨论中，我们假定/(x,y)>0；假定积分区域。可用不等式

a<x<bW“2(x)表示，其中必(x),@(力在［。,可上连续.

图9-2-1图9-2-2

据二重积分的几何意义可知，07(xj)dcr的值等于以。为底，以曲面z=/(x,y)

D

图9-2-3

在区间可上任意取定一个点不，作平行于WZ面的平面x=x0,这平面截曲顶柱体

所得截面是一个以区间［©(%)，%(%)］为底，曲线z=/(x0,N)为曲边的曲边梯形，其面

积为

A

M=r^f{x0,y)dy.

一般地,过区间可上任一点X且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

v=[“(》)为="「：/('))4]决

从而有

JJ7(xj)db=fC")力心⑴

上述积分叫做先对y,后对x的二次积分，即先把%看作常数，/(X,力只看作y的函

数,对f(x,y)计算从q(x)到6(x)的定积分,然后把所得的结果(它是X的函数)再对x从

。到人计算定积分.

这个先对y,后对x的二次积分也常记作

\[f{x,y)d(y^[dx^f[x,y)dy.

在上述讨论中，假定了/(x,y)>0,利用二重积分的几何意义，导出了二重积分的计算

公式(1).但实际上，公式⑴并不受此条件限制，对一般的/(xj)(在。上连续)，公式⑴总

是成立的.

例1计算[卜阳。,其中。是由直线y=l,x=2及^=x所围成的闭区域..

D

解：画出区域D

解法1可把。看成是不一型区域：1#x2,l#yx,于是

\\xyd(y^"fxydy\dx='[x-^\\dx=^『(x3-x)dx=1[y-y]?=|.

D

注积分还可以写成/卜#/(7=fc/rf邛6=fwJv力.

D

解法2也可把。看成是y一型区域：l#y2,2,于是

口中4°=^[^xydxYly=/口.苧渺=『0号）力=[/一会.

D

（1）积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点：

对于I型（或II型）区域,用平行于丁轴（X轴）的直线穿过区域内部,直线与区域的边界

相交不多于两点.

如果积分区域不满足这•一条件时，可对区域进行剖分，化归为I型（或II型）区域的并

集.

（2）积分限的确定

二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的

方法一几何法.

画出积分区域。的图形（假设的图形如F）

在可上任取一点x,过x作平行于歹轴的直线，该直线穿过区域。，与区域。的边

界有两个交点（x，8i（x））与（x,%（x））,这里的/（X）、（%（x）就是将x,看作常数而对y积分

时的下限和上限；又因x是在区间上任意取的，所以再将x看作变量而对x积分时，积

分的下限为上限为6.

例2.计算口以/1+》2—俨"。,其中D是由直线歹=l,x=-1及夕=x所围成的闭

D

区域.

解画出区域。，可把。看成是A型区域：-1,x#y1,于是

22223

伽11+/一j2dg^dxtyy/Ux-ydy=~£[(1+x-yy^xdx=~£(|x|-l)6&

D.

冶伍T)V

也可。看成是y—型区域：・1h-i#xy,于是

^yyj\+x2-y2d(y=^ydy£y]l+x2-y2dx.

D

例3计算淇中。是由直线y=x-2及抛物线y=x所围成的闭区域.

D

解积分区域可以表示为。=。+。2,

其中A：0<x<l,-4x<y<4x;Z)2:l<x<4,2<y<4x.于是

^xyd(y=(公孙4+「^ydy.

D

积分区域也可以表示为。：-12,/#xy+2,于是

务州r=^dy^xydx=j号畔?力=/£[^(y+2)2-/]t/r

耳目+2产右i=5看.

讨论积分次序的选择.

例4求两个底圆半径都等于p的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解设这两个圆柱面的方程分别为

X2+y2=p2及+z2=p2

利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积匕，然后再乘以8就行

了.

第一卦限部分是以。=卜))0VA2-X2,0#XR)为底,以

z=ylR2f2顶的曲顶柱体.于是

V=8JW?2_x2dcr=8.dx^R2~'y/R2-x2dy=8/[-JR2-x2y]^R'~x2dx

D

=S^(R2-x2)dx=yR3.

二、利用极坐标计算二重积分

1.变换公式

按照二重积分的定义有

JJ7(x/)de=lim^f&R2d

Di=l

图9-2-9

现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

用以极点O为中心的一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线0=常数，将D

剖分成个小闭区域.

除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积可如下计算

ACT,=；(0+纣)244=；(2,+维

1,1,1

AcTy=—();+=—(2,+Az;

J+(;+%一=ri△/△反

其中，弓表示相邻两圆弧半径的平均值.

在小区域ACT,.上取点(可，设该点直角坐标为据直角坐标与极坐标的关系

有

。=八cosa,q=/sin0-

于是

UmfM，功MS=lim之f(rtcos瓦"sina)式△必g

A―>0.,A—>0.,

/=!2=1

即

JJ/'(x,y)do=j|/'(rcos0,rsinO}rdrdO

DD

由于“/(xMdb也常记作必迫，因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性

DD

的形式

dxdy=cos6/sin6)4/46⑴

DD

(i)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中，，/力e就是极

坐标中的面积元素.

(1)式的记忆方法:

x—>rcosO

\\f{x,y}dxdy^><y—>rsin^=>|j/'(rcos0,rsin0)rdrdO

Ddxdy—»rdrdO

2.极坐标下的二重积分计算法

极坐标系中的二重积分，同样可以化归为二次积分来计算.

⑴积分区域。可表示成下述形式/(6)4尸4牡(6)其中函数

%⑻，仍⑻在［氏身上连续.则

图9-2-10

jj/(rcosO.rsin3)rdrd3=/dOin0)rdr

D

显然,这只是(l)的特殊形式6(e)三o(即极点在积分区域的边界上).故

⑻

||/(rcos0,rsin0)rdrd6-/(rcos0,rsin3)rdr

D

(3)积分区域。为下述形式

图9-2-12

显然，这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域。的内部)，。可剖分成。

与。2,而

D,:O<0<^,O<r<0(。)D:^<0<27T,O<r<叭0)

2

故。:0<0<27T,0<r<(p^)，则

cos6,rsinO^rdrdO=Jcos仇rsinOydr

D

由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在于:将积

分区域。用极坐标变量r,e表示成如下形式

a&9&。£r£6(6)

3.使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；

(2)被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含(x2+/r，a为实数).

例5计算J，*-//力，其中。是由中心在原点、半径为。的圆周所围成的闭区域.

D

解在极坐标系中，闭区域。可表示为06Z,O#02乃，

于是\\e-x2-y2dxdy^\\e-P2pdpd6=0［［之3即］〃"。［一上才朋。

DD

右〜-列：扪=乃(1-e-i).

注此处积分**产烝办也常写成^e-xl-y2dxdy.

Dx2+y2<a2

例如利用升*一产去力=加_6-6计算广义积分「e*必:：

x2+y2<a2

222222

设A={(x,y)\x+y<R,x>0,y>0},D2^{(x,y)\x+y<2R,x>0,y>0}

S={(x,y)|OWxW火,显然々uSu•由于0-1一产>0,则在这些闭区域上

的二重积分之间有不等式

'~y2dxdy<^e~x2~y2dxdy<dxdy.

D]SD2

因为J,''公办二/e~x2dx-/e~y2dy=(^e~x2dx)2,

s

又应用上面已得的结果有

^e~x2~y2dxdy=^（\-e~R^,^e~xl~yldxdy=^（\-e~2R^,

A2

于是上面的不等式可写成和一小玲＜（卜，词2＜和一夕2相）.

令R?，上式两端趋于同一极限?，从而二e-好治=#.

例6求球体/+/+z24〃被圆柱面f+/=2ax所截得的（含在圆柱面内的

部分）立体的体积.

解由对称性，立体体积为第一卦限部分的四倍.

V=4Jjj4q2_工2-y2dxdy,

D

其中D为半圆周y=yl2ax-x2及x轴所围成的闭区域.在极坐标系中D可表示为

jr

0</7<2t7COSO,Q<0<—.

于是/=4J^4a2-p2pdpd0-^VdOos6>^c^-p2pdp

D

=y«2f(1-sin39咦足紧飞.

小结：二重积分计算公式

直角坐标系下^f[x,y)dxdy=f省A型

D

\\f(x,y)dxdy=dy^f(x,y)dxj型

极坐标系下jj/(尸cosarsini9)rdrd»=("4]：)/(rcos^/sin»)dr

D

第三节三重积分

教学目的：深刻理解三重积分的概念、计算方法，掌握三重积分的计算.

教学重点：熟练掌握三重积分的计算，熟练掌握三重积分在柱面坐标和球面坐标

下的计算.

教学难点：计算三重积分时坐标系的选择.

教学内容：

一、三重积分的定义

设f(x,y,z)是空间闭区域W上的有界函数，将W任意地分划成〃个小区域

AV,,AV2,---,AV„,其中D匕表示第，个小区域，也表示它的体积.在每个小区域D匕上任取

一点©，7，)，作乘积△匕，作和式△匕，以4记这〃个小区域

/=1

直径的最大者,若极限lim△匕存在，则称此极限值为函数/(x/,z)在区域

1=1

。上的三重积分,记作j]j7(x,_y,zWv,

即乂z)dv=Hm£q,。心匕.

Qi=l

其中小叫体积元素.

自然地,体积元素在直角坐标系卜也可记作成必力法.

二、三重积分的存在定理

定理若函数在区域上连续，则三重积分存在.

三、三重积分的物理意义

如果/(x,KZ)表示某物体在(x,%z)处的质量密度，W是该物体所占有的空间区域,且

/(x/,z)在W上连续，则和式名/(。，7<)△匕就是物体质量加的近似值，该和式当

4―0时的极限值就是该物体的质量相.

特别地,当f(x,y,z)=l时，JJJZn=Q的体积.

四、三重积分的计算法

1.利用直角坐标计算三重积分

假设积分区域W的形状如下图所示.

W在xoy面上的投影区域为0V、,，过。▽上任意一点，作平行于z轴的直线穿过W

内部，与W边界曲面相交不多于两点.亦即，W的边界曲面可分为上、下两片部分曲面.

Sl:z=zl(x,y),S2:z=z2(x,y)

其中冢巷历后仁历在与上连续,并且Z](x,y)《Z2(x,y).

图9-4-1

如何计算三重积分小呢？

不妨先考虑特殊情况/(x,弘z)=1,则

川正=\\\dxdydz=jj[z2(x,^)-7,(%,

cc%

即啊=MC；/

Q%

一般情况下,类似地有

附=2C，乂Z)龙.

C%

显然积分「f(x,y,z)dz只是把f(x,y,z)看作z的函数在区间区(x,y),z,(x,y)]上对

七(x,y)

Z求定积分，因此，其结果应是的函数，记

尸(x/)=『"：7(x,y,z)dz,

那么J，/(x,y,z)dn=^F(x,y)dxdy.

如上图所示，区域0n，可表示为

a<x<b,y^x)<y<y2(x)

从而||F(x,y)dxdy=f公]1^F(x,y)dy

Dxy

综上讨论，若积分区域W可表示成

a<x<b,yt(x)<y<y2(x),zx(x,y}<z<z2(x,y}

则肋'(”,Z)小=[%R：dyf(x,y,z)dz

这就是三重积分的计算公式，它将三重积分化成先对积分变量Z,次对y,最后对x的

三次积分.

如果平行于z轴且穿过W内部的直线与边界曲面的交点多于两个，可仿照二重积分计

算中所采用的方法，将W剖分成若干个部分，(如。”。2),使在W上的三重积分化为各部分

区域(。”。2)上的三重积分，当然各部分区域应适合对区域的要求.

例1计算三重积分JJ卜小外龙，其中W为三个坐标面及平面x+2y+z=l所围成的

a

闭区域.

解作图，区域W可表示为：04zWl—x-2%0Wywg(l—x),04x<l

\\\Xdxdydz=[dX^dy[-x-2y

于是xaz

Q

=fx&FQ-x-2y)力

=1

-4

讨论：其它类型区域呢？

有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分.设空

间闭区域。={(x,y,z)l(x,y)sD:,cx<z<c2],其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区

域W所得到的一个平面闭区域，则有

J]J7(X，弘Z0V=『Qzy,z)dxdy.

Q12

例2计算三重积分\\\z2dxdydz其中w是由椭球面手•+g+|=l所围成的空间闭

Q

区域.

解空间区域W可表为:

于是^z2dxdydz=^z2dz^dxdy=的近(\-^)z2dz=—7iabci.

c

CDZc15

2.利用柱面坐标计算三重积分

(1)柱面坐标

定义设/(x/,z)为空间的一点，该点在xoy面上的投影为p,p点的极坐标为r,e,

则r,e,z三个数称作点M的柱面坐标.

规定尸,e,z的取值范围是

0<F<4-00,0<0<2%,一8<Z<4-00

柱面坐标系的三组坐标面分别为

r=常数，即以z轴为轴的圆柱面；

8=常数，即过z轴的半平面；

z二常数,即与xoy面平行的平面.

点〃的直角坐标与柱面坐标之间有关系式

x=rcos0

<y=rsin0(1)

z=z

(2)三重积分“J/(x,%z)dn在柱面坐标系中的计算公式

用三组坐标面r=常数，6=常数，z=常数，将W分割成许多小区域,除了含W的边界点

的一些不规则小区域外，这种小闭区域都是柱体.

考察山尸,e,z各取得微小增量出,de,龙所成的柱体,该柱体是底面积为rdrde,高为

dz的柱体,其体积为dv=rdrdOdz这便是柱面坐标系下的体积元素，并注意到（1）式有

y,z）dv=||/（rcos0,rsin9,z）rdrdOdz（2）

QD

（2）式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式.

（2）式右端的三重积分计算，也可化为关于积分变量匕e,z的三次积分，其积分限要由

八az在w中的变化情况来确定.

（3）用柱面坐标r,e,z表示积分区域W的方法

1）找出W在xoy面上的投影区域。W，并用极坐标变量r,8表示之；

2）在内任取一点（尸,6）,过此点作平行于z轴的直线穿过区域，此直线与W边界曲

面的两交点之竖坐标（将此竖坐标表示成的函数）即为z的变化范围.

例3利用柱面坐标计算三重积分JJJz必Mr龙，其中W是由曲面2=/+/与平面

z=4所围成的闭区域.

解闭区域W可表示为:

p2<z<4,0<p<2,0<^<2^-.

于是^zdxdydz=^zpdpdOdz

QQ

=rgtpdpLZa=3『48『P（16-p'）dp

号叫8P2_看咻=等.

3、利用球坐标计算三重积分

(1)球面坐标

如图所示,空间任意一点〃(x,%z)也可用三个数八°,e唯一表示.

Z

、尸sin夕

、

)M(x,y,z)

XP(x,y,0)

图9-5-3

其中：

r为原点。到点切的距离；

。为有向线段两与z轴正向所成夹角；

6为从正z轴来看自x轴依逆时针方向转到有向线段丽的角度，而点p是点“在

xoy面上的投影点.

规定尸,。,6的取值范围为

0Wr<+8,0v，0W。W2万

不难看出，点N的直角坐标与球面坐标间的关系为

x=rsin9cos。

<y=rsin^sine⑶

z—rcos（p

(2)球面坐标系的特点

r=常数,是以原点为心的球面；

。=常数，是以原点为顶，z轴为轴的圆锥面;

。=常数,是过z轴的半平面.

粗略地讲,变量r刻划点M到原点的距离,即“远近”；变量。刻划点M在空间的上下

位置，即“上下”；变量e刻划点"在水平面上的方位，即“水平面上方位”.

(3)三重积分在球面坐标系下的计算公式

用三组坐标面r=常数，。=常数，。=常数，将C分划成许多小区域,考虑当r,。,6各

取微小增量改,"6所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,其体

积近似值为

dv-r2sin(pdrd(pdO

这就是球面坐标系下的体积元素.

图9-5-4

由直角坐标与球面坐标的关系式⑶有

y,z)dv-0J/(rsin8cosarsin°sine/cos9)rahye(4)

aa

(4)式就是三重积分在球面坐标系下的计算公式.

(4)式右端的三重积分可化为关于积分变量匕0,6的三次积分来实现其计算，当然，这

需要将积分区域。用球面坐标匕。,6加以表示.

(4)积分区域的球面坐标表示法

积分区域用球面坐标加以表示较复杂,一般需要参照的几何形状,并依据球坐标变量的

特点来决定.

实际中经常遇到的积分区域Q是这样的，Q是包围原点的立体，其边界曲面是包

国原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程r=r（夕,6）,据球面坐标变量的

特点有

’0W"2〃

Q:<Q<（p<K

0<r<r（（p,e）

例如若Q是球体x2+/+z2<“2伍>0）,则Q的球坐标表示形式为

曲面V+y2+z2^a2的球坐标方程为

(rsin9cos6)2+(rsin^sin^)2+(rcos(p)2-a2

于是Ql:O<0<27r,O<(p<7V,O<r<a,

例4求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积.

解该立体所占区域。国表示为:

0<r<2ocos(p,Q<(p<a,Q<6<2K.

于是所求立体的体积为

P=C以&=JJj'sin幽rd加6=『dgjVr2s\n(pdr

2433

=2%fsin^p%^=萼j^cos3^sin^^»=(1-COS4<7).

3

提示：球面的方程为一+^+仁一^了二片，g|J222在球面坐标下此球面

x+y+Z=2aZ.

的方程为，=2arcos°,B|Jr=2acos(p.

小结：三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分），对于某些三重积分，由于积分区

域和被积函数的特点，往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算

柱面坐标

三重积分换元法4H,L-!柱面坐标的体积兀素乃效流=八办48必；球面坐标的体积兀

球面坐标

素dxdydz=r2sin(pdrdOd(p.

第四节二重积分的应用

教学目的：掌握二重积分的几何和物理方面的应用.

教学重点：利用二重积分的解决实际问题.

教学难点：二重积分的思想如何用于实际问题.

教学内容：

定积分应用的元素法也可推广到二重积分，使用该方法需满足以下条件：

1.所要计算的某个量。对于闭区域。具有可加性(即：当闭区域。分成许多小闭区域

da时，所求量U相应地分成许多部分量,且。=£AU.

2.在。内任取一个直径充分小的小闭区域4。时，相应的部分量△。可近似地表示为

/(xj)dcr,其中(x/)e/九称/(x/)dcr为所求量AU的元素,并记作.

3.所求量U可表示成积分形式U=jj/(x,y)t/cr

D

一、曲面的面积

设曲面S由方程z=/(x,y)给出，为曲面S在xoy面上的投影区域，函数f(x,y)

在上具有连续偏导数人(x,y)和fy(x,y)，现计算曲面的面积A.

图9-3-1

在闭区域。旷上任取一直径很小的闭区域da(它的面积也记作dcr),在dcr内取一点

p(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T.以小区

域4。的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平

面T上截下一小片平面，由于dcr的直径很小，那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面

面积.

曲面S在点用处的法线向量(指向朝上的那个)为

"=（一<（x，N），-/；O

它与Z轴正向所成夹角7的方向余弦为

cos/=

而刃="-,所以血=

cos/

这就是曲面s的面积元素，故

A=JJJ1+J2(X,y)+<2(x,y)d(T

%

即

/=JJ1+（当）2+（当2小方

oxoy

分

例1求半径为4的球的表面积.

解上半球面方程为2="火2一/一/，遂+yJ火2.因为z对x和对y的偏导数在

。：》2+/4火2上无界，所以上半球面面积不能直接求出.因此先求在区域

£>,:X2+/<a2（a<R）上的部分球面面积，然后取极限.

nj二上,小，年75一麻寻.

一+"“24爪—X-y7K-r

于是上半球面面积为lim2成（火-痛f）=2成2.整个球面面积为/=24=4兀史

CJTR

提不：

近一X近r鼠往）2|卢）2—R

2222

*y/R-"ylR-x-yVa”yl^_x2_y2

另解球面的面积A为上半球面面积的两倍.上半球面的方程为z=y/R2_x2_y2，而

dz=tdz=―一

由一[R2_x2_y2，dy~^R2_x2_y2'

所以

=2ff,Rdxdy=2RdOf.即

e+理〃R2f2—y2-J)J)乒7

/R

--47rRy]R2-p2/4成2.

例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h=36000^/M,运行的角速度

与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径

R=6400km).

解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星中心的连线为z轴,建立坐标系.

通讯卫星覆盖的曲面£是上半球面被半顶角为a的圆锥面所截得的部分.E的方程为

z=y]R2-x2-y2,x2+y2<R2sin2a.

于是通讯卫星的覆盖面积为

一加+韵+第派力“防二一厂办.

2222

其中Dxy={(x,y)\x+y<Rsina\是曲面X在xoy面上的投影区域.

利用极坐标，得

社式/^sinaRfRsinan

A—fdOf—i-pdp—ITTRf-i-dp—27rR~(1—cosa).

』J，y]R2-p2,)y]R2-p2

由于cosa=/y，代入上式得

R+h

A=2^?2(1—-^-)=2版-^.

R+hR+h

由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为

盛2(32%06=425%

由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之•以上的面积，故使用三颗相隔,乃角度的

通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.

二、平面薄片的质心

1.平面上的质点系的质心

设在xoy平面上有〃个质点，它们分别位于点(和凹),(马,力),…,(x”,y“)处,质量分别

为犯，加2,…由力学知道,该质点系的质点的坐标为

-M.介内_乂工研

x=--=—....,y=--=------，

mS777S

(=1)=1

2,平面薄片的质心

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定

p(xj)在。上连续,如何确定该薄片的质心坐标(反歹).

在闭区域。上任取一直径很小的闭区域d£T,(xj)是这小闭区域内的一点，由于dcr

的直径很小，且0(x,y)在。上连续，所以薄片中相应于d。的部分的质量近似等于

p(x,y)da,于是静矩元素dMx,dMy为

M=JJ蚱(xj)d5%=JJxp(x,y)dcr

DD

又平面薄片的总质量为加=JJp(x/)dcr,从而，薄片的质心坐标为