三角函数的的图像与性质

关于三角函数的的图像与性质121.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解A、ω、φ的物理意义.2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的变换关系.3.会由函数y=Asin(ωx+φ)的图象或图象特征求函数的解析式.第2页,共38页，2024年2月25日，星期天3

1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.

0

-A

0

A

0

x0第3页,共38页，2024年2月25日，星期天42.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)

的图象的步骤如下:各点的纵坐标变为原来的A倍第4页,共38页，2024年2月25日，星期天5各点的纵坐标变为原来的A倍第5页,共38页，2024年2月25日，星期天6以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))

表示一个振动时，A叫做

，叫做

，叫做

，ωx+φ叫做

，

φ叫做

.振幅周期相位初相频率第6页,共38页，2024年2月25日，星期天74.三角函数模型的应用

(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.第7页,共38页，2024年2月25日，星期天8题型一作y=Asin(ωx+φ)的图象已知函数

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.(3)只要看清由谁变换得到谁即可.题型分类深度剖析第8页,共38页，2024年2月25日，星期天9解（1）的振幅A=2,周期XX“五点法作图”应抓住四条：①化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式；②求出振幅A和周期T=;③列出一个周期内的五个特殊点；④作出指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点.第9页,共38页，2024年2月25日，星期天10方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到的图象,再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.第10页,共38页，2024年2月25日，星期天11方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.第11页,共38页，2024年2月25日，星期天12（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位.第12页,共38页，2024年2月25日，星期天13题型二求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.

首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sinx的图象），所以A<0；若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sinx的图象），所以A>0.而可由相位来确定.第13页,共38页，2024年2月25日，星期天14解

方法一以N为第一个零点，方法二由图象知A=，①②第14页,共38页，2024年2月25日，星期天15

(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.第15页,共38页，2024年2月25日，星期天16（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象曲线的最低点）为；“第五点”为ωx+φ=2π.第16页,共38页，2024年2月25日，星期天17

1.如图是y=Asin(ωx+φ)的图象的一段，试确定其解析式.知能迁移第17页,共38页，2024年2月25日，星期天18因为A=,ω>0,T=16ω=.所以y=2sin(x+φ).将N(6,0)视为“五点法”中的第一点，所以×6+φ=0φ=-,所以y=sin(x-).给出图象确定解析式，A由最值确定，ω由周期确定，φ由最高或最低点确定，当由平衡位置点确定时，根据变化趋势确定“五点中的第一点”，简化运算.第18页,共38页，2024年2月25日，星期天192.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<）的一段图象如图所示.

（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位，得到y=g(x)的图象，求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.第19页,共38页，2024年2月25日，星期天20解（1）由题图知A=2，T=π，于是将y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=2sin(2x+φ)的图象.第20页,共38页，2024年2月25日，星期天21第21页,共38页，2024年2月25日，星期天22题型三函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用（12分）在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),

x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为

(1)求f(x)的解析式；

(2)当时，求f(x)的值域.

易知T=π，A=2，利用点M在曲线上可求φ，第（2）问由函数图象易解，关键是将

ωx+φ看成一个整体.第22页,共38页，2024年2月25日，星期天23解1分3分5分6分第23页,共38页，2024年2月25日，星期天24认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转化成ωx+φ的范围.即把ωx+φ看作一个整体.8分10分12分第24页,共38页，2024年2月25日，星期天25方法与技巧1.五点法作函数图象及函数图象变换问题

(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.思想方法感悟提高第25页,共38页，2024年2月25日，星期天262.由图象确定函数解析式由函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定A、ω、φ

的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.3.对称问题函数y=Asin（ωx+φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)

的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离）.第26页,共38页，2024年2月25日，星期天27失误与防范1.由函数y=sinx(x∈R)的图象经过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x

前面的系数提取出来.2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等.第27页,共38页，2024年2月25日，星期天283.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看做一个整体.

在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.第28页,共38页，2024年2月25日，星期天291.为了得到函数x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）基础自测第29页,共38页，2024年2月25日，星期天30解析将y=2sinx的图象向左平移个单位得到y=2sin的图象，将y=2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的图象，故选C.答案

C第30页,共38页，2024年2月25日，星期天312.将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin(4x+φ)的图象，则φ等于（）

A.B.C.D.

解析将函数y=sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为C第31页,共38页，2024年2月25日，星期天323.为了得到函数y=sin(2x-)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()DA.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度第32页,共38页，2024年2月25日，星期天33

y=cos2x=sin(2x+)=sin［2(x+)］，而y=sin(2x-)=sin［2(x-)］,此时(x+)-=x-，所以只需将y=cos2x的图象向右平移+=个单位长度.第33页,共38页，2024年2月25日，星期天344.（2009·山东文，3）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.

D.y=cos2x

解析将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数

即的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y