微积分不定积分教案

关于微积分不定积分教案12例第一节不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.

本章所讲的内容就是导数的逆运算。第2页,共93页，2024年2月25日，星期天3原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否存在？(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数

。(但原函数不一定是初等函数)

第3页,共93页，2024年2月25日，星期天4唯一性？第4页,共93页，2024年2月25日，星期天5任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量记为定义

第5页,共93页，2024年2月25日，星期天6例1求解解例2求第6页,共93页，2024年2月25日，星期天7由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.或或第7页,共93页，2024年2月25日，星期天8实例启示能否根据求导公式得出积分公式？二、基本积分表第8页,共93页，2024年2月25日，星期天9基本积分表

(k是常数);说明：第9页,共93页，2024年2月25日，星期天10基本积分表

(k是常数);第10页,共93页，2024年2月25日，星期天11基本积分表

第11页,共93页，2024年2月25日，星期天12例3求积分解根据积分公式（2）第12页,共93页，2024年2月25日，星期天13例4设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为-2-1O12x-2-112

yy

x2+2y

x2(1,3)

．第13页,共93页，2024年2月25日，星期天14证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第二节不定积分的运算法则第14页,共93页，2024年2月25日，星期天15例1例2例3直接积分法第15页,共93页，2024年2月25日，星期天16例4例5第16页,共93页，2024年2月25日，星期天17例8例9例10第17页,共93页，2024年2月25日，星期天18问题？第三节换元积分法一、第一类换元法(凑微分法)凑微分第18页,共93页，2024年2月25日，星期天19

凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.第19页,共93页，2024年2月25日，星期天20例1例2

运用d(x+k)=dx第20页,共93页，2024年2月25日，星期天21例3

运用d(ax+b)=adx第21页,共93页，2024年2月25日，星期天22例4

运用d(x2)=2xdx第22页,共93页，2024年2月25日，星期天23(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把

dx凑成d

(x).如

(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d

(x).如“凑微分”的方法有:方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！第23页,共93页，2024年2月25日，星期天24常用凑微分公式：等等.第24页,共93页，2024年2月25日，星期天25例5例6例7第25页,共93页，2024年2月25日，星期天26例7例8第26页,共93页，2024年2月25日，星期天27例9例10第27页,共93页，2024年2月25日，星期天28练习一第28页,共93页，2024年2月25日，星期天296.7.8.第29页,共93页，2024年2月25日，星期天30例11另：例12类似地，第30页,共93页，2024年2月25日，星期天31例13练习说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.第31页,共93页，2024年2月25日，星期天32例14例15或解第32页,共93页，2024年2月25日，星期天33例16例17例18第33页,共93页，2024年2月25日，星期天34例19解法1解法2解法3第34页,共93页，2024年2月25日，星期天35例20第35页,共93页，2024年2月25日，星期天36解例21

设求.令第36页,共93页，2024年2月25日，星期天37第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。第37页,共93页，2024年2月25日，星期天38二、第二类换元法回代,得

问题解决方法“根式替换”第38页,共93页，2024年2月25日，星期天39称为第二换元法回代第39页,共93页，2024年2月25日，星期天40例1解“根式替换”第40页,共93页，2024年2月25日，星期天41例2解第41页,共93页，2024年2月25日，星期天42指数替换第42页,共93页，2024年2月25日，星期天43例5

求解令注意：根式替换与指数替换可以结合使用第43页,共93页，2024年2月25日，星期天44例4解三角替换正弦替换第44页,共93页，2024年2月25日，星期天45例5解正切替换第45页,共93页，2024年2月25日，星期天46例6解正割替换第46页,共93页，2024年2月25日，星期天47说明：以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。第47页,共93页，2024年2月25日，星期天48例7解或解：倒数代换第48页,共93页，2024年2月25日，星期天49例8解或解：（练习）第49页,共93页，2024年2月25日，星期天50若被积函数包含根式可考虑如下替换：第50页,共93页，2024年2月25日，星期天51第51页,共93页，2024年2月25日，星期天52基本积分表

第52页,共93页，2024年2月25日，星期天53第53页,共93页，2024年2月25日，星期天54例9例10第54页,共93页，2024年2月25日，星期天55例11例12第55页,共93页，2024年2月25日，星期天56凑微分分部积分公式问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.第四节分部积分法分部积分的过程：

第56页,共93页，2024年2月25日，星期天57

在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为“分部积分法”。分部积分法中先积函数（v′(x)

）的选择，一般可以遵照“指三幂对反”的先积原则，也就是排在前面的函数，作为v′（与dx凑微分后成dv）为好。第57页,共93页，2024年2月25日，星期天58例1注积分更难进行.例2第58页,共93页，2024年2月25日，星期天59例3例4分部积分法可多次使用.第59页,共93页，2024年2月25日，星期天60练习总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)第60页,共93页，2024年2月25日，星期天61例6第61页,共93页，2024年2月25日，星期天62例7例8第62页,共93页，2024年2月25日，星期天63例9例10练习第63页,共93页，2024年2月25日，星期天64例11第64页,共93页，2024年2月25日，星期天65所以例12第65页,共93页，2024年2月25日，星期天66例13解第66页,共93页，2024年2月25日，星期天67例13分部积分法与换元法结合:

解第67页,共93页，2024年2月25日，星期天68例14第68页,共93页，2024年2月25日，星期天69解例15由题意,第69页,共93页，2024年2月25日，星期天70说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,

解出积分后加

C)第70页,共93页，2024年2月25日，星期天71思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得

0=1答:

不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.第71页,共93页，2024年2月25日，星期天72第五节几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分第72页,共93页，2024年2月25日，星期天73假定分子与分母之间没有公因式有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例要点将有理函数化为部分分式之和.以下只考虑真分式的积分.

第73页,共93页，2024年2月25日，星期天74將分母作因式分解，按照多项式的性质得知，得到的因式只可能出現下面四种可能：第74页,共93页，2024年2月25日，星期天75（1）分母中若有因式，则分解后有有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第75页,共93页，2024年2月25日，星期天76（2）分母中若有因式，其中则分解后有特殊地：分解后为第76页,共93页，2024年2月25日，星期天77真分式化为部分分式之和的待定系数法例1第77页,共93页，2024年2月25日，星期天78代入特殊值来确定系数例2第78页,共93页，2024年2月25日，星期天79例3第79页,共93页，2024年2月25日，星期天80真分式可分为以下四种类型的分式之和：

这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.因此,有理函数的原函数都是初等函数.

第80页,共93页，2024年2月25日，星期天81四种典型部分分式的积分:

变分子为再分项积分第81页,共93页，2024年2月25日，星期天82例4例5第82页,共93页，2024年2月25日，星期天83例6例7第83页,共93页，2024年2月25日，星期天84例8.

求解:

原式思考:如何求提示:变形方法同例8,并利用递推公式。第84页,共93页，2024年2月25日，