2019年江苏省淮安市中考数学试卷（解析版）

2019年江苏省淮安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）（2019•淮安）-3的绝对值是（)

A-4B.-3C4D.3

【考点】15：绝对值.

【专题】511：实数.

【分析】利用绝对值的定义求解即可.

【解答】解：-3的绝对值是3.

故选：D.

【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义.

2.（3分）（2019•淮安）计算a•次的结果是（）

A.a，B.crC.3aD.2a2

【考点】46：同底数幕的乘法.

【专题】11：计算题.

【分析】根据同底数嘉的乘法，底数不变指数相加，可得答案.

【解答】解:原式=/+2=。3.

故选：A.

【点评】本题考查了同底数塞的乘法，注意底数不变指数相加.

3.（3分）（2019•淮安）同步卫星在赤道上空大约36000000米处.将36000000用科学记数

法表示应为（）

A.36X106B.0.36X108C.3.6X106D.3.6X107

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（aX10的〃次幕的形式），其中lW|a|<10,

〃表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的”次幕.

【解答】解：36000000=3.6X1（）7,

故选：D.

【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算.科学记数法的表示形式

为aX10"的形式，其中1（同<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.（3分）（2019•淮安）如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图

B.

D.

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫

做俯视图.根据图中正方体摆放的位置判定则可.

【解答】解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行是一个正方体.如图所

小：

故选：C.

【点评】本题考查了三种视图中的主视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一

个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上.

5.（3分）（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）

A.2cm,3cm,4cmB.1cm,2cm,3cm

C.3cm,4cm,5cmD.4cm,5cm,6cm

【考点】K6：三角形三边关系.

【专题】552：三角形.

【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可.

【解答】解：A、2+3>4,能构成三角形，不合题意；

2、1+2=3,不能构成三角形，符合题意；

C、4+3>5,能构成三角形，不合题意；

D、4+5>6,能构成三角形，不合题意.

故选：B.

【点评】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数

的和能否大于第三个数.

6.（3分）（2019•淮安）2019年淮安市“周恩来读书节”活动主题是“阅读，遇见更美好的

自己”.为了解同学们课外阅读情况，王老师对某学习小组10名同学5月份的读书量进

行了统计，结果如下（单位：本）：5,5,3,6,3,6,6,5,4,5,则这组数据的众数

是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】W5：众数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解.

【解答】解：在这一组数据中，5是出现的次数最多，故这组数据的众数是5.

故选：C.

【点评】本题主要考查众数的意义.众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数

可以不止一个.

7.（3分）（2019•淮安）若关于x的一元二次方程/+2x-k=0有两个不相等的实数根，则

k的取值范围是（）

A.k<-1B.k>-1C.k<\D.k>\

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】直接利用根的判别式进而得出左的取值范围.

【解答】解：•关于尤的一元二次方程/+2x-%=0有两个不相等的实数根，

.•.Z?2-4ac=4-4XlX（-k）

=4+4k>0,

：.k>-1.

故选：B.

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键.

8.（3分）（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽龙之间函数关

系的是（）

【考点】GA：反比例函数的应用.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据题意得到孙=矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，

且根据x、y实际意义无、y应>0,其图象在第一象限；于是得到结论.

【解答】解：\•根据题意町=矩形面积（定值），

.,.y是x的反比例函数，（x>0,y>0）.

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,

解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的

象限.

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接

写在答题卡相应位置上）

9.（3分）（2019•淮安）分解因式：1-/=（1+无）（1-）.

【考点】54：因式分解-运用公式法.

【专题】44：因式分解.

【分析】分解因式1中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可.

【解答】解：1-X2—（1+.X）（1-X）.

故答案为：（1+x）（1-X）.

【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的

关键.

10.（3分）（2019•淮安）现有一组数据2,7,6,9,8,则这组数据的中位数是7.

【考点】W4：中位数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】直接利用中位数的求法得出答案.

【解答】解：数据2,7,6,9,8,从小到大排列为：2,6,7,8,9,

故这组数据的中位数是：7.

故答案为：7.

【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键.

11.（3分）（2019•淮安）方程」^=1的解是x=-1.

x+2

【考点】B3：解分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】方程两边都乘以最简公分母，转化成一元一次方程进行解答便可.

【解答】解：方程两边都乘以（x+2）,得l=x+2,

解得，x=-1,

经检验，尤=-1是原方程的解，

故答案为：X--1.

【点评】本题主要考查了解分式方程，是基础题，关键是熟记分式方程的解法和一般步

骤.

12.（3分）（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数是5.

【考点】L3：多边形内角与外角.

【分析】"边形的内角和公式为（n-2）-180°,由此列方程求加

【解答】解：设这个多边形的边数是小

则（n-2）*180°=540°,

解得"=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了多边形外角与内角.此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式

来寻求等量关系，构建方程即可求解.

13.（3分）（2019•淮安）不等式组的解集是x>2.

x>-l

【考点】C3：不等式的解集.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.”这个规律求

出不等式组的解集便可.

【解答】解：根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.”得

原不等式组的解集为：x>2.

故答案为：x>2.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是

解此题的关键.

14.（3分）（2019•淮安）若圆锥的侧面积是15m母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是3.

【考点】MP：圆锥的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】设该圆锥底面圆的半径是为广，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到工X2irXrX

2

5=15m然后解关于r的方程即可.

【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为厂，

根据题意得Lx2irXrX5=15n,解得r=3.

2

即该圆锥底面圆的半径是3.

故答案为3.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

15.（3分）（2019•淮安）如图，h//l2//l3,直线a、b与h、12、/3分别相交于点A、B、C

和点。、E、F.若A8=3,DE=2,BC=6,则EF=4.

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计

算即可得到答案.

【解答】解：'：h//l2//h,

.AB=DE

"BCEF，

又AB=3,DE=2,BC=6,

；.EF=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的

关键.

16.（3分）（2019•淮安）如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=2,H是AB的中点，将4

CBH沿CH折叠,点2落在矩形内点尸处，连接AP,贝Utan/HAP=_&_.

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】连接尸2,交CH于E,依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH

垂直平分BP,ZAPB=90°,即可得至！|AP〃"E,进而得出依据RtA

8cH中，tan/8//C=22=里，即可得出tan//MP=q.

BH33

【解答】解：如图，连接尸8,交CH于E,

由折叠可得，C”垂直平分8P,BH=PH,

又为4B的中点，

：.AH=BH,

：.AH=PH=BH,

:"HAP=4HPA,/HBP=NHPB,

XVZHAP+ZHm+ZHBP+ZHPB=180°,

：.ZAPB=90°,

:./APB=/HEB=90°,

C.AP//HE,

/BAP=ZBHE,

又•.•RtZXBCH中，tanZB//C=^-=A,

BH3

tanZ//AP=—,

3

故答案为：A.

【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属

于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的

关键.

三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）（2019•淮安）计算：

（1）V4-tan45°-（1-a）°；

（2）ab（3。-26）+2。庐

【考点】2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E：零指数累；T5：特殊角的三角函

数值.

【专题】512：整式.

【分析】（1）直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幕的性质分别化

简得出答案;

（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则进而计算得出答案.

【解答】解：（1）F-tan45°-

=2-1-1

=0;

（2）ab（3a-2b）+2ab2

=3缜b-2ab2+2就

=3a2b.

【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式和实数运算，正确掌握相关运算法则是解题

关键.

2

18.（8分）（2019•淮安）先化简，再求值：且二支+（1-2）,其中。=5.

aa

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可.

2

【解答】解：至二1+（1-2.）

aa

=J2-4.4-（A-2.）

aaa

=（a+2）（a-2）.a

aa-2

=a+2,

当a=5时，原式=5+2=7.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

19.（8分）（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

所用火车车皮数量（节）所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）

第一批25130

第二批43218

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?

【考点】9A：二元一次方程组的应用.

【专题】52：方程与不等式.

【分析】设每节火车车皮装物资X吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得（2x+5y=130,

l4x+3y=218

求解即可；

【解答】解：设每节火车车皮装物资X吨，每辆汽车装物资y吨，

根据题意，得俨+5尸130,

[4x+3y=218

.•卜50,

每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；

【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减

消元法解方程组是关键.

20.（8分）（2019•淮安）已知：如图，在。48cD中，点£、/分别是边A。、8c的中点.求

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质.

【专题】14：证明题；555：多边形与平行四边形.

【分析】由四边形A8CZ）是平行四边形，可得AO〃BC,AD=BC,又由点E、尸分别是

04BCQ边AD、8c的中点，可得DE=BF,继而证得四边形是平行四边形，即可

证得结论.

【解答】证明：：四边形A8C。是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

:点、E、尸分别是nABCD边A。、8C的中点,

：.DE=^-AD,BF=LBC,

22

:.DE=BF,

四边形BFDE是平行四边形，

：.BE=DF.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想

的应用.

21.（8分）（2019•淮安）某企业为了解员工安全生产知识掌握情况，随机抽取了部分员工

进行安全生产知识测试，测试试卷满分100分.测试成绩按4、B、C、。四个等级进行

统计，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.（说明：测试成绩取整数，A级：

90分〜100分；8级：75分〜89分；C级：60分〜74分；。级：60分以下）

（1）该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有40人;

（2）补全条形统计图；

（3）若该企业共有员工800人，试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级

的人数.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）用2级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）计算出C级人数，然后补全条形统计图；

（3）用800乘以样本中A级人数所占的百分比即可.

【解答】解:（1）204-50%=40,

所以该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有40人；

故答案为40；

（2）C等级的人数为40-8-20-4=8（人），

（3）800X-L=160,

40

所以估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到A级的人数为160人.

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少

画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出

数据的大小，便于比较.也考查了扇形统计图.

22.（8分）（2019•淮安）在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5、8、8,

现将三张卡片放入一只不透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，

搅匀后再任意摸出一张，记下数字.

（1）用树状图或列表等方法列出所有可能结果；

（2）求两次摸到不同数字的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）画出树状图即可；

（2）共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，由概率公式即可得出结

果.

【解答】解：（1）画树状图如图所示：

所有结果为：（5,5）,（5,8）,（5,8）,（8,5）,（8,8）,（8,8）,（8,5）,（8,8）,（8,

8）；

（2）共有9种等可能的结果，两次摸到不同数字的结果有4个，

两次摸到不同数字的概率为

9

588

小/T\小

588588588

【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；由题意画出树状图是解题的关键.

23.（8分）（2019•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B

都在格点上（两条网格线的交点叫格点）.

（1）将线段A3向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1,点8的对应点为点Bi,

请画出平移后的线段ALBI；

（2）将线段481绕点4按逆时针方向旋转90°,点81的对应点为点比，请画出旋转

后的线段482；

【分析】（1）根据网格结构找出点A1、身的位置，然后顺次连接即可;

（2）根据网格结构找出点心的位置，然后连接即可；

（3）利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解.

【解答】解：（1）线段421如图所示；

（2）线段4B2如图所示;

(3)SAABB-=4X4-Xx2X2--^X2X4--lx2X4=6.

2222

星51

/

\B

因/

\/

A

【点评】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位

置是解题的关键.

24.（10分）（2019•淮安）如图，48是的直径，AC与交于点孔弦4。平分/BAC,

DELAC,垂足为E.

（1）试判断直线。E与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若。。的半径为2,ZBAC=60°,求线段的长.

【考点】KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；

MB：直线与圆的位置关系.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】(1)欲证明是O。的切线，只要证明/OOE=90°即可；

(2)过。作。GLAF于G,得到AP=2AG,根据直角三角形的性质得到AG=LM=1,

2

得到AF=2,推出四边形AODF是菱形，得至/〃04,DF=OA=2,于是得到结论.

【解答】解：(1)直线OE与。。相切，

连结OD.

平分4BAC,

：.ZOAD=ZCAD,

\'OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

J.ZODA^ZCAD,

：.OD//AC,

'：DE±AC,即NA£®=90°,

：.ZODE=90°,BPDELOD,

；.。£是0。的切线；

(2)过。作0G_LAF于G,

：.AF^2AG,

VZBAC=60°,OA=2,

：.AG=^OA=l,

2

：.AF=2,

：.AF=OD,

，四边形AODP是菱形,

J.DF//OA,DF=OA=2,

【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，属于中考常考题型.

25.（10分）（2019•淮安）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且

在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息.设慢车行驶的时间为

x小时，快车行驶的路程为yi千米，慢车行驶的路程为”千米.如图中折线OAEC表示

yi与x之间的函数关系，线段OD表示”与尤之间的函数关系.

请解答下列问题：

（1）求快车和慢车的速度；

（2）求图中线段EC所表示的竺与x之间的函数表达式；

（3）线段。。与线段EC相交于点凡直接写出点P的坐标，并解释点尸的实际意义.

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度;

(2)根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得声与x之间的

函数表达式；

(3)根据图象可知，点厂表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点尸的坐标，

并写出点B的实际意义.

【解答】解：(1)快车的速度为：180+2=90千米/小时，

慢车的速度为：180+3=60千米/小时，

答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；

(2)由题意可得，

点E的横坐标为：2+1.5=35

则点E的坐标为(3.5,180),

快车从点E到点C用的时间为：(360-180)+90=2(小时)，

则点C的坐标为(5.5,360),

设线段EC所表示的声与龙之间的函数表达式是尹=履+"

(3.5k+b=180,得jk=90

15.5k+b=360，4b=-135，

即线段EC所表示的”与x之间的函数表达式是yi=90x-135；

(3)设点E的横坐标为a,

贝ij60a=90a-135,

解得，a=4.5,

则60a=270,

即点尸的坐标为(4.5,270),点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的

路程相等.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

和数形结合的思想解答.

26.(12分)(2019•淮安)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、8两点，。为顶点，

其中点8的坐标为(5,0),点。的坐标为(1,3).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)点E是线段3。上的一点，过点£作.，轴的垂线，垂足为R且ED=EF,求点E

的坐标.

(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BOG的面积的工?

5

若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】153：代数几何综合题；537：函数的综合应用；64：几何直观.

【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求

（2）可通过点8,点。求出线段8。所在的直线关系式，点E在线段8。上，即可设点

E的坐标，利用点与点的关系公式，通过m=瓦）即可求

（3）先求线段所在的直线解析式，当点G在x轴的上方时，过点G作直线AD：3x

-4y+9=0的垂线，交点垂足为0（x,y）,即可求△AOG与ABOG的高，利用三角形面

积公式即可求.当点G在x轴的下方时，由AO：08=3：5,所以当△ADG与△8OG的

高相等时，即存在点G使得SAADG：S&BDG=3：5,此时，OG的直线经过原点，设直线

OG的解析式为y=履，求得与抛物线的交点即可.

【解答】解:

（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x-1）2+3

将点8代入得0=a（5-1）?+3,得。=-，二

16

.•.二次函数的表达式为：>=-且（尤-1）2+3

16

（2）依题意，点2（5,0）,点。（1,3）,设直线8。的解析式为

代入得（°-5k+b,解得《

l3=k+b

..•线段BD所在的直线为y=等+半，

设点E的坐标为：（无，/>x+匹）

44

:.E»=（x-1）2+（-旦-3）2

44

EF=（多号V

,:ED=EF

222

：.（X-1）+（■尤+与-3）=（^|-x+^-）

整理得2X2+5X-25=0

解得尤1=$，％2=-5（舍去）

2

故点E的纵坐标为y=上X—

42F8

.•.点E的坐标为（司，正）

、28;

（3）存在点G,

当点G在无轴的上方时,

设点G的坐标为（m，n）,

:点B的坐标为（5,0）,对称轴尤=1

.,.点A的坐标为（-3,0）

...设AD所在的直线解析式为y=kx+b

代入得K

二直线的解析式为尸件4

的距离为5,

过点G作直线AD3x-4y+9=0的垂线，交点垂足为。（x,y）

得X-ID化简得

3x-4y+9=0

由上式整理得，（32+42）[（x-m）2+（y-〃）2]=（3m-4/1+9）2

•・•3尸后7记正言|1

点G到AD的距离为：力='1n-4"+9,

5

由（2）知直线的解析式为：＞=&+」立，

44

.•.2。的距离为5

同理得点G至BD的距离为：4=3/4n-15

5

cAD♦di七

..'ZIADG12—3m-4n+9—3

整理得6m-32〃+90=0

二•点G在二次函数上，

.39

'〃="VT(mT)+3

16

代入得6m-32[-(m-1)2+3]+90=0

16

整理得6m2-6m=0=>m(m-1)=0

解得m1=0,mi=\(舍去)

此时点G的坐标为(0,9»)

当点G在X轴下方时，如图2所示，

VAO：OB=3：5

.•.当△AOG与△BOG的高相等时，

存在点G使得SzviDG：SABDG=3：5

此时，OG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y=区,

将点。代入得，k=3

故y—3x

y=3x

则有，y=^-(x-l)2+3

整理得，(x-1)(x+15)=0

得X1=1(舍去)，X2=-15

当x=-15时，y=-45

故点G为(-15,-45)

综上所述，点G的坐标为(0,—)或(-15,-45)

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

度，从而求出线段之间的关系.

27.(12分)(2019•淮安)如图①，在△ABC中，A2=AC=3,100°,D是BC

的中点.

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点尸，连接尸丛将线段尸2绕点P按

逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现，随着点

尸在线段上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线的左侧，也可能

在直线AD上，还可能在直线的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

(1)当点E在直线上时，如图②所示.

①/BEP=50°；

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是EC//AB.

(2)请在图③中画出△8PE,使点E在直线A。的右侧，连接CE.试判断直线CE与

直线A8的位置关系，并说明理由.

(3)当点P在线段上运动时，求AE的最小值.

【考点】RB：几何变换综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明/ABC=40°,ZECB=

40°,推出即可.

(2)如图③中，以尸为圆心，PB为半径作OP.利用圆周角定理证明/8以=5/82£

=40°即可解决问题.

(3)因为点E在射线CE上运动，点尸在线段A。上运动，所以当点尸运动到与点A重

合时，AE的值最小，止匕时AE的最小值=A8=3.

【解答】解：(1)①如图②中，

'：ZBPE=80°,PB=PE,

:./PEB=NPBE=50°,

②结论：AB//EC.

理由：'：AB=AC,BD=DC,

：.AD±BC,

：.ZBDE^90°,

：.ZEBD=90°-50°=40°,

TAE垂直平分线段3C,

:・EB=EC,

：.ZECB=ZEBC=40°,

VAB=AC,ZBAC=100°,

/.ZABC=ZACB=40°,

ZABC=ZECB,

J.AB//EC.

故答案为50,AB//EC.

(2)如图③中，以尸为圆心，尸3为半径作OP.

・・・AO垂直平分线段BC,

:・PB=PC,

：.ZBCE=^ZBPE=4Q°,

2

VZABC=40°,

J.AB//EC.

(3)如图④中，作AHJ_CE于H,

:点E在射线CE上运动，点尸在线段上运动,

当点尸运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值=AB=3.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角

定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用

辅助圆解决问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-。；

③当。是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aXIO",其中lWa<10,

w为正整数.1

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.同底数塞的乘法

（1）同底数塞的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

dn,an=am+nCm,〃是正整数）

（2）推广：0m，an,aP=d"+n+PUn,n,p都是正整数）

在应用同底数累的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（次.）3与（/必）

4,（x-y）2与G-y）3等；@a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数累的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

5.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每

一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号.

6.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

完全平方公式:。2±2加户=（q±b）2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符

号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）

的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

7.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

8.零指数嘉

零指数累：J=1(aWO)

由a，“+a，"=l,""~"，=产"=/可推出/=1(60)

注意：O°WL

9.二元一次方程组的应用

(一)、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

10.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=启-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程a/+6x+c=0(a#0)的根与△=&?-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

11.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

12.不等式的解集

（1）不等式的解的定义：

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集.

（3）解不等式的定义：

求不等式的解集的过程叫做解不等式.

（4）不等式的解和解集的区别和联系

不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号

表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.

13.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

14.反比例函数的应用

(1)利用反比例函数解决实际问题

①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数

值的取值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中

说明.

(2)跨学科的反比例函数应用题

要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式.同时体会数学中的转化思

想.

(3)反比例函数中的图表信息题

正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想.

15.二次函数综合题

(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

16.三角形三边关系

(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

(3)三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

17.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

18.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在NAOB的平分线上，Cr>_LO4,CELOB：.CD=CE

19.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+d=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+/=,2的变形有：a=C，仁（2_&2及c=da2+b2.

（4）由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

20.多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（〃-2）780（w23）且w为整数）

此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出（"-3）条对角线，将”边形分割为

（n-2）个三角形，这（〃-2）个三角形的所有内角之和正好是〃边形的内角和.除此方法

之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也

是研究多边形问题常用的方法.

(2)多边形的外角和等于360度.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则九边形取〃个外角，无论边数是几，其外

角和永远为360°.

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和=180°n-(n-2)*180°=360°.

21.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

22.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

23.垂径定理

(1)垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)垂径定理的推论

推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

24.圆周角定理

(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

(3)在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

(4)注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

25.直线与圆的位置关系

(1)直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，

唯一的公共点叫切点.

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.

(2)判断直线和圆的位置关系：设的半径为厂，圆心。到直线/的距离为4.

①直线/和。。相交

②直线/和OO相切=d=r

③直线/和O。相离

26.圆锥的计算

(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.连接顶点与底面圆心的

线段叫圆锥的高.

(2)圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于

圆锥的母线长.

（3）圆锥的侧面积：S«（=—,2iTr,Z=TTz7.

2

（4）圆锥的全面积：S金=5底+5恻

（5）圆锥的体积=1*底面积X高

3

注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等.

②圆锥