异方差时间序列模型

关于异方差时间序列模型Contents第一节问题的提出第二节ARCH模型第三节GARCH模型第四节其他GARCH模型第2页,共49页，2024年2月25日，星期天第一节

问题的提出

在自回归移动平均模型中，我们主要讨论平稳时间序列的建模问题，由于针对平稳序列，实际上假定任一时点的随机误差项的期望值是相同的，一般为0，同时假定任一随机误差项平方的期望值就是随机误差的方差，即同方差。但是在金融市场上，金融资产报酬序列具有这样的特性，大的报酬紧连着大的报酬，小的报酬紧连着小的报酬，称为波动集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波动集群性表明股票报酬波动是时变的，表明是异方差。异方差虽然不会影响回归系数的最小二乘估计的无偏性，但是将影响到回归系数估计的标准差和置信区间。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，第3页,共49页，2024年2月25日，星期天其中ut为白噪声过程。1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。图1日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)

图2日元兑美元汇率差分序列(收益)D(JPY)第4页,共49页，2024年2月25日，星期天图3收益绝对值序列(1995-2000)图4D(JPY)的平方(1995-2000)

这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。图6给出一个高峰厚尾分布实例。第5页,共49页，2024年2月25日，星期天第6页,共49页，2024年2月25日，星期天显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。第7页,共49页，2024年2月25日，星期天为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：由于yt的均值近似等于式（1）的估计值，所以式（1）也称为均值方程。(1)(2)第8页,共49页，2024年2月25日，星期天假设在时刻(t1)所有信息已知的条件下，扰动项ut的条件分布是：

也就是，ut遵循以0为均值，(

0+1u2t-1

)为方差的正态分布。由于(3)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：(3)通常用极大似然估计得到参数

0,

1,

2,

,

k,

0,

1的有效估计。第9页,共49页，2024年2月25日，星期天第二节ARCH模型一、ARCH模型的定义若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，（1）（2）则称ut

服从q阶的ARCH过程，记作ut

ARCH(q)。其中(1)式称作均值方程，(2)式称作ARCH方程。第10页,共49页，2024年2月25日，星期天(1)和(2)式还应满足如下条件。对于(1)式，为保证平稳性，特征方程的根应在单位圆之外。xt的条件期望是xt

的无条件期望（T

时）是对于(2)式，由于

的非负性，对

i应有如下约束，当全部

i=0,i=1,2,…,q时，条件方差

。因为方差是非负的，所以要求

0>0。为保证

是一个平稳过程，(2)式的特征方程第11页,共49页，2024年2月25日，星期天的根应在单位圆之外。对

i,i=1,2,…,q的另一个约束是对（2）式求期望的：则无条件方差为：可见若保证是一个平稳过程，应该有约束0

(

1+

2+…+

q)<1。因为Var(xt)=Var(ut)=

，所以上式可以用来预测xt的方差。当T→∞时：第12页,共49页，2024年2月25日，星期天

二、ARCH模型的极大似然估计ARCH模型经常应用在回归模型中。其中

=(

0

1,…,

k-1)‘,xt=(1x1,…,xk-1)’（xt的分量也可以包括yt的滞后变量），ut

ARCH(q)。为计算方便，假定已知yt,xt的T+q组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T。ut

ARCH(q)可以表示为：其中vt

IID(0,1)，vt与xt相互独立，所以有

，E(ut)=0。yt服从正态分布，概率密度函数为第13页,共49页，2024年2月25日，星期天其中：用参数

和

=(

0

1

2…

q)'组成参数向量

，对数似然函数是:求

的极大似然估计量就是求使logL(

)在

=处获得极大值。求logL(

)对

的偏导数，第14页,共49页，2024年2月25日，星期天第15页,共49页，2024年2月25日，星期天在上式为零条件下求到的即是

的极大似然估计量。具有一致性。第16页,共49页，2024年2月25日，星期天

三、ARCH模型检验在均值方程（回归模型或时间序列模型）的误差项中是否存在自回归条件异方差应该进行假设检验。检验ARCH可以使用F、LM、LR、W统计量。下面介绍F、LM检验。1、自回归条件异方差的LM检验。①建立原假设H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）H1：

1,

2,…,

q不全为零在原假设成立条件下，OLS估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS估计量是一致的，但不是有效的。先介绍使用LM统计量检验H0。因为计算LM统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是：第17页,共49页，2024年2月25日，星期天②估计，求，计算。③估计辅助回归式④用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM=TR2。其中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有若LM<，接受H0。若LM>

，接受H1。注意：辅助回归式中要有常数项

0。第18页,共49页，2024年2月25日，星期天2、自回归条件异方差的F检验。①建立原假设

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全为零②估计yt=xt‘

+ut，求，计算。③用估计2个辅助回归式④构造F统计量，在原假设成立条件下有注意：辅助回归式中要有常数项

0。

若F<F,(q,T–q-1)，接受H0。若F>F,(q,T-q-1)，接受H1。（约束模型，同方差）（非约束模型，存在ARCH）第19页,共49页，2024年2月25日，星期天3、自回归条件异方差的LR检验。①建立原假设

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全为零②估计yt=xt‘

+ut，求，计算。③用估计2个辅助回归式，并计算极大似然函数值LogLr和LogLu④用LogLr和LogLu构造LR统计量，在原假设成立条件下有（约束模型，同方差）（非约束模型，存在ARCH）

若，接受H0。若，接受H1。如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可采用t检验。第20页,共49页，2024年2月25日，星期天4、自回归条件异方差的Q检验。残差平方意味着方差，若存在自相关，说明存在自回归条件异方差。第21页,共49页，2024年2月25日，星期天四、ARCH模型检验（EViews操作案例）1995.1-2000.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY）见图。极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY显然是一个非平稳序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，见图9.2。因为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。第22页,共49页，2024年2月25日，星期天通过相关图和偏自相关图分析，应该建立AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：(2.0)(-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.6第23页,共49页，2024年2月25日，星期天

方法1：通过Q检验考察AR(3)模型中是否存在自回归条件异方差。第24页,共49页，2024年2月25日，星期天

方法2：ARCH的LM检验。在均值方程估计窗口，选ARCH的LM检验。用1阶检验式检验。(9.4)(9.9)R2=0.0643,T=1423第25页,共49页，2024年2月25日，星期天

方法3、4：自回归条件异方差的F检验和LR检验。用参差平方序列1阶自回归检验式做参数约束的F检验和LR检验第26页,共49页，2024年2月25日，星期天

例中国CPI模型的ARCH检验

本例建立CPI模型，因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为cpit；解释变量选择货币政策变量：狭义货币供应量M1的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月～2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对cpit和m1rt进行了调整，结果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99对数似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12第27页,共49页，2024年2月25日，星期天

这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。第28页,共49页，2024年2月25日，星期天

从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=1时的ARCHLM检验结果：

因此计算残差平方ût2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：第29页,共49页，2024年2月25日，星期天

从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99对数似然值=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。第30页,共49页，2024年2月25日，星期天

再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果：此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了残差序列的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为：自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。

第31页,共49页，2024年2月25日，星期天第三节GARCH模型一、GARCH模型定义扰动项ut的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。因此必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方差方程不过是

t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个

t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroscedasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。第32页,共49页，2024年2月25日，星期天

在标准化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：方差方程：其中：xt是(k+1)×1维外生变量向量，

是(k+1)×1维系数向量。均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于

t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，也被称作条件方差方程。第33页,共49页，2024年2月25日，星期天条件方差方程是下面三项的函数：

1．常数项（均值）：

2．用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut-12（ARCH项）。

3．上一期的预测方差：

t2-1

（GARCH项）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差

t2-1的说明。第34页,共49页，2024年2月25日，星期天

在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t时期的对数似然函数为：其中这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。第35页,共49页，2024年2月25日，星期天

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：

1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代方差方程的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。第36页,共49页，2024年2月25日，星期天2．设vt=ut2

t2。用其替代方差方程中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是

加

的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。第37页,共49页，2024年2月25日，星期天

高阶GARCH(p,q)模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(p,q)。其方差表示为：

这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数，p>0并且,

(L)和

(L)是滞后算子多项式。第38页,共49页，2024年2月25日，星期天

为了使GARCH(q,p)模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH(∞)模型的所有系数都必须是正数。只要

(L)和

(L)没有相同的根并且

(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当

0=

0/(1-

(L))，

(L)=

(L)/(1-

(L))的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1,1)模型这些条件要求所有的3个参数都是非负数。第39页,共49页，2024年2月25日，星期天

GARCH模型的检验当原假设H0是ARCH(0)时，显然备择假设H1有两个。一个是ARCH(r)，一个是GARCH(r,0)。若原假设H0是ARCH(1)，则备择假设H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假设H0是ARCH(q)，备择假设H1可以有两个。ARCH(q+r)和GARCH(r,q)。LM统计量无法区别这两个备择假设。但仍然可以做LM检验。在实际应用中，备择假设既可以是ARCH，也可以是GARCH。对于q值很大的ARCH模型，建议使用GARCH模型。在实际应用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以满足对自回归条件异方差的描述。第40页,共49页，2024年2月25日，星期天第四节

其他GARCH模型一、IGARCH模型

对于ARCH(p)

模型和GARCH(p,q)

模型，在实际应用中，条件有时不能得到满足。下面以GARCH(1,1)模型为例进行讨论。（保证可以转换成无限阶的ARCH过程）（保证GARCH过程平稳）第41页,共49页，2024年2月25日，星期天用分别表示对

1,

1的估计。有时会出现甚至，。例如Engle-Chowdury（1992）对IBM收益率序列估计时，得如下结果，第42页,共49页，2024年2月25日，星期天2．回推在计算GARCH模型的回推初始方差时，首先用系数值来计算均值方程中的残差，然后计算初始值的指数平滑算子（6.1.30）其中：是来自均值方程的残差，是无条件方差的估计：（6.1.31）平滑参数λ为0.1至1之间的数值。也可以使用无条件方差来初始化GARCH过程：（6.1.32）第43页,共49页，2024年2月25日，星期天6.1.6GARCH模型的残差分布假设在实践中我们注意到，许多时间序列，特别是金融时间序列的无条件分布往往具有比正态分布更宽的尾部。为了更精确地描述这些时间序列分布的尾部特征，还需要对误差项ut的分布进行假设。GARCH模型中的扰动项的分布，一般会有3个假设：正态（高斯）分布、学生t-分布和广义误差分布（GED）。给定一个分布假设，GARCH模型常常使用极大似然估计法进行估计。下面分别介绍这3种分布，其中的

代表参数向量。

1．对于扰动项服从正态分布的GARCH(1,1)模型，它的对数似然函数为（6.1.33）这里的

t2是ut的条件方差。第44页,共49页，2024年2月25日，星期天2．如果扰动项服从学生t分布，GARCH(1,1)模型的对数似然函数的形式就是

（6.1.34）这样，参数的估计就变成了在自由度k>2的约束下使对数似然函数（6.1.34）最大化的问题。当k

时，学生t-分布接近于正态分布。