不定积分凑微分法和换元法

关于不定积分凑微分法和换元法问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令1、第一换元积分法第2页,共47页，2024年2月25日，星期天在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第3页,共47页，2024年2月25日，星期天第一类换元公式（凑微分法）说明:使用此公式的关键在于将化为左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理7.2.1第4页,共47页，2024年2月25日，星期天例1求解第5页,共47页，2024年2月25日，星期天例2解第6页,共47页，2024年2月25日，星期天求解第7页,共47页，2024年2月25日，星期天例3求解第8页,共47页，2024年2月25日，星期天求解（一）解（二）解（三）第9页,共47页，2024年2月25日，星期天例4

求解一般地第10页,共47页，2024年2月25日，星期天书中例4

求解第11页,共47页，2024年2月25日，星期天求解第12页,共47页，2024年2月25日，星期天例5

求解说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分.第13页,共47页，2024年2月25日，星期天附例求解第14页,共47页，2024年2月25日，星期天例6

求解第15页,共47页，2024年2月25日，星期天例7

求解（一）（使用了三角函数恒等变形）第16页,共47页，2024年2月25日，星期天解（二）类似地可推出第17页,共47页，2024年2月25日，星期天例8

求解第18页,共47页，2024年2月25日，星期天例9

求解第19页,共47页，2024年2月25日，星期天解例10

设求.令第20页,共47页，2024年2月25日，星期天例11

求解第21页,共47页，2024年2月25日，星期天例12

求解第22页,共47页，2024年2月25日，星期天例13

求解：原式第23页,共47页，2024年2月25日，星期天例14

求解第24页,共47页，2024年2月25日，星期天作业第25页,共47页，2024年2月25日，星期天问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）2、第二换元积分法第26页,共47页，2024年2月25日，星期天定理7.2.2（第二换元积分法）第27页,共47页，2024年2月25日，星期天证明证毕第28页,共47页，2024年2月25日，星期天例15

书中例7求解令第29页,共47页，2024年2月25日，星期天例16书中例8

求解第30页,共47页，2024年2月25日，星期天例17

求解令第31页,共47页，2024年2月25日，星期天例18

求解令第32页,共47页，2024年2月25日，星期天说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第33页,共47页，2024年2月25日，星期天说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令第34页,共47页，2024年2月25日，星期天

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例求（三角代换很繁琐）令解第35页,共47页，2024年2月25日，星期天例19

求解令第36页,共47页，2024年2月25日，星期天说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例20

求令解第37页,共47页，2024年2月25日，星期天例21

求解令（分母的阶较高）第38页,共47页，2024年2月25日，星期天第39页,共47页，2024年2月25日，星期天说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例22

求解令第40页,共47页，2024年2月25日，星期天第41页,共47页，2024年2月25日，星期天基本积分表

第42页,共47页，2024年2月25日，星期天第43页,共47页，2024年2月25日，星期天三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)第44页,共47页，2024年2