高中数学平面向量22223向量数乘运算及其几何意义练习新人教A版必修4

2.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有()(1)a与－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确．答案：B2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→))＝0.则()A.eq\o(AO,\s\up11(→))＝2eq\o(OD,\s\up11(→)) B.eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→))C.eq\o(AO,\s\up11(→))＝3eq\o(OD,\s\up11(→)) D．2AO＝eq\o(OD,\s\up11(→))解析：因为D为BC的中点，所以eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→))＝2eq\o(OD,\s\up11(→))，所以2eq\o(OA,\s\up11(→))＋2eq\o(OD,\s\up11(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up11(→))＝－eq\o(OD,\s\up11(→))，所以eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→)).答案：B3．化简eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的结果是()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a－b解析：原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(6b－3a)＝2b－a.答案：B4．正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up11(→))＝a，eq\o(AC,\s\up11(→))＝c，eq\o(BC,\s\up11(→))＝b，则|a＋b＋c|的值为()A．0B.eq\r(2)C．3D．2eq\r(2)解析：a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝eq\o(AC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝2eq\o(AC,\s\up11(→))，所以|a＋b＋c|＝|2eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2eq\r(2).答案：D5．设四边形ABCD中，有eq\o(DC,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up11(→))且|eq\o(AD,\s\up11(→))|＝|eq\o(BC,\s\up11(→))|，则这个四边形是()A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：因为eq\o(DC,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up11(→))，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四边形ABCD是梯形，又|eq\o(AD,\s\up11(→))|＝|eq\o(BC,\s\up11(→))|，所以四边形ABCD是等腰梯形．答案：C二、填空题6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，又方向相反，所以a＝－eq\f(5,7)b.答案：－eq\f(5,7)7．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.答案：－2三、解答题9．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up11(→))＝xeq\o(OA,\s\up11(→))＋yeq\o(OB,\s\up11(→))，求x＋y的值．解：设eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\o(BP,\s\up11(→))，则eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＋a(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))＝eq\o(OB,\s\up11(→))(1＋a)－aeq\o(OA,\s\up11(→))所以x＋y＝1＋a－a＝1.10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up11(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up11(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up11(→))＝－5e－3f.(1)将eq\o(AD,\s\up11(→))用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为eq\o(AD,\s\up11(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up11(→))，所以eq\o(AD,\s\up11(→))与eq\o(BC,\s\up11(→))同向，且eq\o(AD,\s\up11(→))的长度为eq\o(BC,\s\up11(→))长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．B级能力提升1．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：因为eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0所以eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝0从而有eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝－3eq\o(MA,\s\up11(→))＝3eq\o(AM,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))，故有m＝3.答案：B2．若eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝________(用eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OB,\s\up11(→))表示)．解析：eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))，eq\o(OP,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝t(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))，eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))－teq\o(OA,\s\up11(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→)).答案：(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))3.如图所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OD,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up11(→))，AD与BC相交于点M，设eq\o(OA,\s\up11(→))＝a，eq\o(OB,\s\up11(→))＝b.试用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up11(→)).解：设eq\o(OM,\s\up11(→))＝ma＋nb，则eq\o(AM,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.又因为A，M，D三点共线，所以eq\o(AM,\s\up11(→))与eq\o(AD,\s\up11(→))共线．所以存在实数t，使得eq\o(AM,\s\up11(→))＝teq\o(AD,\s\up11(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)).所以(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又因为eq\o(CM,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又因为C，M，B三点共线，所以eq\o(CM,\s\up11(→))与eq\o(CB,\s\up11(→))共线．所以存在实数t1，使得eq\o(CM,\s\up11(→))＝t1eq\