对“几何直观”概念的几点辨析

PAGEPAGE5对“几何直观”概念的几点辨析浙江省海盐县实验小学教育集团顾志能在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，“几何直观”是课程目标的核心概念。《标准》提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想……要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”而在《义务教育数学课程标准（实验稿）》中，“几何直观”却并不是课程目标的核心概念，这预示着，几何直观将成为数学教学研究中的一个新的关注点。在这个时候，理解几何直观的含义，了解与相关概念的区别，对小学数学教师而言，就显得非常必要和迫切。为此，笔者从自己的困惑出发，结合所看到的相关资料，谈一些粗浅的认识，供老师们讨论。一、几何直观的含义《标准》：“几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[1]也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”[2]从这些描述中，我们可有以下的认识：◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力[3]，或者说一种解决数学问题的思维方式。◆这种能力可外化成为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其它方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义。◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义。如三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解。此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图1）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，直观地解决问题，并理解了“分子相同的分数，分母小的反而大”的原理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可说学生有几何直观的能力。图1图1二、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中，老师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在以前，我们一直是视为这是用数形结合思想来解决问题的典型。而如今，这样的观念要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？近期，在笔者参与的或了解到的一些以几何直观为话题的教研活动，都呈现出了一个共同之处：教师呈现的所谓几何直观的例子，都是以前所讲的数形结合的例子。教师们更有这样的认识：几何直观，无非是数形结合的“同名词”，或者可能只是数形结合的“升级版”而已。教师们对此的不解，甚至于表现为“用到了几何图形，就是体现了几何直观”这样的想法。当然，笔者所言的这些教研活动，大多是很基层的，或许只是代表了部分一线普通教师的认识。但是，这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的。什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略。它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数”，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。[4]数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形”。如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数”。而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转），或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形”。“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形”，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形”，让“形”先得说空间观念。所谓空间观念，可以看成是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象（周玉仁语）。在《标准》中，是从四个方面来具体描述空间观念特征的。发展空间观念的有效途径，经典理论认为，那就是在几何学习时多用经验、观察、操作、想象、交流等手段。以这样的论述对比几何直观的概念，我们可以有两点认识：一，空间观念，是几何教学领域中的一个专用名词，是几何教学的一个重要目标。而几何直观，却并非是限于几何领域内的一个名词，它尽管是借助了几何，但它却跳出了几何，适用到了更宽广的领域。二，相对而言，空间观念更多地体现为教学的结果，目标性特征比较明显，而几何直观作为一种思维的方式和能力，过程性特征更加凸显。也许正是两者具有这些差异，《标准》就从实验稿课标对空间观念的描述中剥离出一项，提升成为另一个核心的概念——几何直观。（当然，将两者做为两个能力目标区别看待，并不是新生事物，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》早已这样提出。）同时，我们不难想到，由于共同元素“几何”的存在，两者之间想要毫无瓜葛那也是不现实的。明显地，要清晰表象、发展空间观念，宜借助图形，采用观察、想象等直观手段，但这样的过程中就已经隐含了运用几何直观方法的元素。反之，在运用几何直观方法思考问题、解决问题的时候，观察、想象等手段也必定相伴而行，空间观念自然也在潜移默化地得到发展。因此，如果将它们两者做个比喻的话，是否有“同饮一江水，风情两相宜”的意境呢？五、题外话尽管笔者以较长的篇幅谈了对几何直观的粗浅思考，但事实上，对于几何直观这个《标准》中新提的名词，笔者和大多数小学数学教师一样，除了文中谈及的几个话题之外，还有很多的不明之处、疑惑之处。如，小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容具体有哪些？我们如何教学，才可以说是正确地展现了几何直观的方法？培养学生的几何直观能力到底有哪些可借鉴的策略？……再如，对于小学中的几何直观，《标准》只在第二学段提了一句“感受几何直观的作用”（在第二学段“学段目标”中的“数学思考”部分）。而“感受”是一个描述过程目标的行为动词，这是否意味着，小学阶段的几何直观，只需要感受即可？这是否就是史宁中教授所言的“空间观念主要是对小学来说的，几何直观是对初中来说的[9]”含义呢？等等类似的疑问还有不少，但在我们见到的《标准》中，对这方面的阐述却很少，涉及到小学阶段的具体论述和相应案例更是没有出现。目前我们所看到的一些解读材料，也更多地是在以中学的教学内容为例说事。这对小学教师的学习、实践而言，都造成了一定的障碍。为此，笔者和老师们一样，有一种强烈的愿望：当一个新的名词（教学要求）提出来的时候，我们希望尽早见到权威部门对此作非常详尽地解读，而不是由一线教师自己作茫然地思考或资料的找寻。参考文献：[1]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）[2]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学中的作用[J].数学教育学报，1997（4）[3]刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析[J].中国数学教育，2012（1,2）[4]顾泠沅.数学思想方法[M].北京：中央广播电视大学出版社，2004[5]刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透[J].小学教学，2008（5）[6]