定积分的计算和应用

PAGEPAGE2定积分的计算与应用见涛（阜阳师范学院附属中学，514063917@）摘要：定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念，也是积分学的基本运算之一.本文主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结，并较为深入地探讨了定积分在几何，物理，经济等领域都有着非常广泛的应用.关键词：定积分；计算；应用众所周知，微积分的两大部分是微分与积分．微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.实际上，积分还可以分为两部分.第一种是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若的导数是，那么(是常量)的导数也是，也就是说，把积分不一定能得到，因为的导数也是，是无穷无尽的常数，所以积分的结果有无数个，是不确定的．我们一律用代替，这就称为不定积.而相对于不定积分，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的.为定义在上的函数，为求由所围图形的面积，采用古希腊人的穷举法，先在小范围内以直代曲，求出的近似值，再取极限得到所求面积，为此，先将分成等份：，取，记，则为的近似值，当→+∞时，的极限应可作为面积.把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念定义：对于定义在上的函数，作分划，若存在一个与分划及的取法都无关的常数，使得(1)则称为在上的定积分，记作，称为积分区间，称为被积函数，分别称为积分的下限和上限.当的原函数存在时，定积分的计算可转化为求的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.我们还可以看到，定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系，那么，为什么定积分写成积分的形式呢？定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式．定理（牛顿—莱布尼兹公式）设函数在闭区间上连续，且是它在该区间上的一个原函数，则=也常写成=(2)此公式用文字表述就是说一个定积分式的值.就等于上限在原函数的值与下限在原函数的值的差，且这个差值是确定的，是一个数，而不是一个函数.正因为这个理论揭示了积分与定积分本质的联系，可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿—莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.一、定积分的计算方法（一）几种基本的定积分计算方法由牛顿—莱布尼兹公式知，计算连续函数的定积分，关键是求⒈平面图形的面积解这类问题一般应用微元法例10计算椭圆所围成的平面图形的面积解由于椭圆关于轴与轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积,然后乘以4就得到所求平面图形的面积.由，现选择为积分变量（也可选择为积分变量，难易程度相当）它的变化区间为，于是，令,则，当时，；.所以=，特别地当时，得圆的面积为.注：求解这类简单曲线时，①首先应求出曲线的交点；②画出经过交点的曲线；③选择适当的积分变量可使运算简便.⒉旋转体的体积例11计算椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解,如果，就得到半径为的球的体积为.例12求由抛物线，直线及轴所围成的平面图形分别绕轴，轴旋转所成的旋转体的体积．解设绕，轴旋转的体积分别为，，则,．参考文献：[1]RobertEllisDennyGulick.微积分(上)[M].江苏:科学技术出版社,1987年6月.388.[2]谢盛刚.微积分(上)[M].北京:科学出版社,2004年7月.134.[3]谢盛刚.微积分(上)[M].北京:科学出版社,2004年7月.136.[4]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003年10月.266.[5]苏德矿.吴明华微积分