2024年中考数学第一次模拟试卷（南京卷）全解全析

年中考第一次模拟考试(南京卷)数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列运算正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，幂的乘方法则，完全平方公式计算即可．【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故错误；B．，故原计算错误；C．，原计算正确；D．，故原计算错误；故选：C．2．下列各式中计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了算术平方根及立方根．根据算术平方根及立方根进行求解即可．【详解】解：A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项符合题意；故选：D．3．若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质可知，两边同时除以，不等式的符号发生改变，可知，求解即可．【详解】解：关于x的一元一次不等式的解为，，．故选：A．4．若，这两个不同点在y关于x的一次函数图象上，当（）时，．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小．此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理是关键．【详解】解：∵，是一次函数图象上的两个不同点，且，∴与是异号，∴该函数y随x的增大而减小，∴，解得．故选：C．5．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（

）A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，∴，则，∵米，米，则米，∴，设，∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

即，，米，∴，则，∴米，∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．6．如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连结．则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，，，于是可对选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用，设，，得，解之得，再计算出，可对C、D选项进行判断．【详解】由作法得垂直平分，，，，，所以选项正确，不符合题意；，，为的中位线，，，，，，，，，所以选项正确，不符合题意；∵，∴，∴，∴，∴，∴．，，，，，设，，得，解之得（负舍），∴∴，，故C选项不正确，符合题意；，∴．所以D选项正确，不符合题意．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．分式有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为是解题的关键．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得：，故答案为：．8．年月日时分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超次，将数据用科学记数法表示为．【答案】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故答案为：．9．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【详解】解：，故答案为：．10．已知，代数式．【答案】【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．11．如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则长为.【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等可得，，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，则，∴，同理可证：，∵，即，解得：；故答案为：3．12．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接．若，的面积是2，则的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，过点B作于E，设，先求出，证明，得到，即，由此可得；由的面积是2，，得到，求出，则，即可得到．【详解】解：如图所示，过点B作于E，设，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；∵的面积是2，，∴，∵，∴，∴，故答案为：4．13．如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是．【答案】【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解．【详解】解：如图，连接，过B作轴于D，则，由题意得：，∵，∴，∵正方形的边长为，∴，∴在中，∴，∴，∴点，代入中，得：，∴故答案为：．14．如图，在中，，将绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么的正切值是．【答案】【分析】本题考查了正切函数的定义，旋转的性质和勾股定理．作于点，利用旋转的性质以及面积法和勾股定理求得，，解得，再利用由旋转的性质求得，据此求解即可．【详解】解：作于点，∵，∴，由旋转的性质得，，，，由题意得，解得，∴，∵，解得，∴，由旋转的性质得，，则，∴的正切值，故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，则点B的坐标为．【答案】【分析】作于点G，连接，，利用切线性质推出，推出得出为的中位线，进而推出，得到，，根据D的坐标得到，，利用圆周角定理的推论，推出，得到，即可求出B坐标．【详解】解：如图，作于点G，连接，，与y轴相切于点A，，，，，，，即，为的中位线，，，，，，，点D的坐标为，，，，，是直径，，，，，，，，，的坐标为，故答案为：．16．如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后，内切圆的圆心的坐标是．

【答案】【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，

，

点的坐标为，点的坐标为，，，，点是内切圆的圆心，，，，，设，，，，解得：，，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，由图可得的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，解得：，，的坐标为，即，每滚动3次为一个循环，，第2023次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8093，，故答案为：．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）已知，求代数式的值．【详解】解：，∵，∴，∴原式．18．（7分）已知实数x，y满足，求的值．【详解】解：，①②得：，解得，将代入①式，解得，．19．（8分）2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了千古绝唱“三绝碑”．某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的倍，且第二批比第一批多购进25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解答：解：(1）设第二批每个挂件进价是每个x元，根据题意得解得，经检验，是原方程的解，也符合题意，∴，答：第二批每个挂件进价是每个40元；（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，∵每周最多能卖90个，∴，解得，根据题意得，∵，∴当时，y随x的增大而减小，∵，∴当时，W取最大，此时．∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．20．（8分）北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感．(1)小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）(2)小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率．【详解】（1）解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件，故答案为：不可能；（2）解：由题意可得，树状图如图所示，总共有种情况，他们恰好选到同一本书的有4种，∴．21．（8分）2023年，教育部等八部门联合印发了《全国青少年学生读书先去实施方案》，某校为落实该方案，成立了四个主题阅读社团：A．民俗文化，B．节日文化，C．古曲诗词，D．红色经典．学校规定：每名学生必须参加且只能一个社团．学校随机对部分学生选择社团的情况进了调查．下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“A”部分圆心角的度数为；(2)通过计算补全条形统计图；(3)若该校共有1800名学生，请根据以上调查结果，估计全校参加“D”社团的人数．【详解】（1）本次调查的总人数（名），扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是，故答案为：60，；（2）（人）；补全条形统计图如答案图所示．

（3）（名）．答：全校1800名学生中，参加“D”活动小组的学生约有540名．22．（8分）如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F．(1)求证：；(2)若，求的长．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵四边形四边形是矩形，，∴，∵E是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴．23．（8分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，∴，在中，，∴，，∴，在中，，∴，∴阴影的长为．24．（8分）如图，是的直径，点是的中点，过作弦，连接，．

(1)求证：是等边三角形；(2)若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若的半径为2，求线段的长．【详解】（1）证明：如图，连接、,

∵是的直径，，∴,∴,∵点是的中点，，∴是的中垂线，∴，∵,∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形；（2）解：如图，连接，

∵的半径为，点是的中点，∴，∵是等边三角形，，∴，在中，，由勾股定理得：，即，则，∵点是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴.25．（8分）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．(1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围），(2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程，②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；(3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【详解】（1）把代入得，解得，启航阶段总路程关于时间的函数表达式为；（2）①设，把代入，得，解得，．当时，．当时，龙舟划行的总路程为．②，把代入，得．，该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知，把代入，得．函数表达式为，把代入，解得．，．答：该龙舟队完成训练所需时间为．26．（9分）如图，在中，，，，点D是斜边的中点，点是边的中点，连接，点P为线段上一点，作点关于直线对称点，连接，设长为．(1)的长为．(2)求长度（用含x的代数式表示）．(3)当点F落在直线上时，求x的值．(4)当直线与的