2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 61平面几何第一讲（学生版+解析版）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题61平面几何第一讲

1.【2021年吉林预赛】如图，。。的直径AB与弦CD交于点P,CP=^,PD=5,AP=1,则NDCB=_

2.【2019年北京预赛】在△4BC的边AB和BC上分别取点K和M,使得AK:KB==4:5,在线段KM

上取点0,使得KO:OM=3:1,N是射线8。与4c的交点/C=a,由点。到边4C的距离OD=以则^KMN的面积

等于.

3.[2019年贵州预赛】在AABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分别为边AB,AC的中点,NBAC的平分线

分别与DE,BC交于点F,G.则四边形BGFD的面积为.

4.【2018年贵州预赛】顺次连结圆/+尸=9与双曲线孙=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面

积为.

5.【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8,面积为12,则这个三角形的周长的最小值=.

6.【2018年贵州预赛】若边长为6的正aABC的三个顶点到平面a的距离分别为1,2,3,则4ABC的

重心G到平面a的距离为.

7.【2018年贵州预赛】顺次连结圆9+产=9与双曲线xy=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面

积为.

8.【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134。、106。、134。.则

内角E是(用度数作答).

9.[2018年河北预赛】设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式：组也弩2£空3=___.

ShABC

10.[2018年河北预赛】过动点M作圆：(x-2)2+(y-2)2=l的切线MN,其中N为切点，若

\MN\=\MO\(。为坐标原点)，则的最小值是.

11.【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角

的度数的3倍.则n可以取到的最大值为.

12.【2016年吉林预赛】给定平面上四点0、A、B、C,满足。A=4,OB=3,OC=2,而・^=3^IJSAABC

的最大值为.

13.[2016年江西预赛】如图，在四面体ABCD中,AABC为正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.则点D

到面ABC的距离为.

A

14.【2016年北京预赛】如图，。。与正方形ABC。的边48、4。分别切于点L、K,与边BC交于点M、P,BM=

8厘米，MC=17厘米.则。。的面积为平方厘米

15.【2016年北京预赛】如图，P4与。。切于点4PC与。。交于点8、C,P。与。。交于点D,AE1PO

于点E.联结BE并延长，与。。交于点F,联结OC、OF、AD.4F.若NBCO=30°,Z.BFO=20°,则NZMF的

度数为.

A

A

16.(2015年北京预赛】在锐角44BC内取点P,使得4PAe=60。，APCA=^PBA=30°,M、N分别为边

AC.BC的中点.则"NM的度数为.

17.[2019年北京预赛】如图，已知半径分别等于3厘米和5厘米的。8,0C外切于点4两圆的一条外公切线切

。B于点D,切。C于点E,过4作DE的垂线与BC的中垂线交于点F,H是BC的中点.则△的面积等于

222D呼

18.[2018年北京预赛】O0的直径48=8,C为上一点，NCOA=60。.延长AB至IJ点P,使=

连CP交半圆于点D,过点P作4P的垂线交4D的延长线于H,则PH的长度为

V3y/3厂273cpy

AA.—.nB.l.C.—.D.V3.

323

19.[2021年江西预赛】如图，锐角△ABC中，以高AD为直径的圆0,交AC,AB于E,F,过点E,F分别作圆。的

切线，若两切线相交于点P.证明:直线AP重合于△ABC的一条中线.

20.【2021年广西预赛】如图，设点。、E分别为圆。的内接三角形AZBC的边AB、AC上的点，且=

AE.线段BD、CE的垂直平分线分别交圆。的劣贩脑,/tt于点F、G，点P为劣弧死的中点.求证:4P_L

FG.

21.【2021年新疆预赛】如图，AC=BC,AABC外接圆在A,C的切线交于D点，BD交圆于E,射线AE

交CD于F证明：F是CD的中点.

22.【2021年全国高中数学联赛A卷二试】如图所示，在△ABC中，M是边AC的中点，D,E是△4BC的

外接圆在点4处的切线上的两点，满足且4是线段DE的中点，过4三点的圆与边4c相交于另一点

P,过三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明ZBCQ=/.BAC.

23.[2021年全国高中数学联赛B卷二试】如图所示，/是△ABC的内心，点P,Q分别为/在边4B,4C上的投

影.直线PQ与AABC的外接圆相交于点X,Y（P在X,Q之间）.已知四点共圆,证明:C,/,Q,Y四点共圆.

24.【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰A/IBC中，AB=BC,/为内心，M为以的中点,P

为边AC上一点，满足AP=3PC,PI延长线上一点H满足MHLPH,Q为AABC的外接圆上劣弧AB的中点.证

明:B”_LQ4.

25.[2020高中数学联赛B卷（第02试）】如图,A,B,CQ,E是圆Q上顺次的五点，满足ABC=BCD=CDE点

P,Q分别在线段AD,BE上，且P在线段CQ上.证明:/以Q=NPEQ.

26.【2020年福建预赛】如图所示，在△ABC中,的内切圆0/与边BC、CA分别切于点D、

E,联结A1并延长，与△4BC的外接圆。。交于点N，联结ND、NO并延长，分别与。。交于点G、M,联结

GE并延长，与。。交于点F.

证明(1)AN/G〜ZiND/；(2)MF//AC.

27.【2020年广西预赛】如图1,设H为△ABC内一点,D、E、F分别为AH、BH、CH的延长线与BC、

CA、AB的交点,G为FE的延长线与BC的延长线的交点,0为DG的中点，以。为圆心、OD为半径作圆交

线段FE于点P.

/八BG

(1)---=—；

DCGC

28.【2019年全国】如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点.点P在△A8C内，使得AP平分NBAC.直

线MP与△A8P,△ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点£>,E.

证明：若DE=MP,则BC=28P.

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题61平面几何第一讲

7

1.【2021年吉林预赛】如图，OO的直径AB与弦CD交于点P,CP=g,PD=5,4P=1

贝I]NDCB=.

O

【答案】45

【解析】由相交弦定理得4P-BP-CP-DP，所以BP=7

直径4B=8，连接DO.

由PO=5,PO=4—1=3,。。=4，知001AB.

所以/"OCB=Z.DAB=45°.

2.[2019年北京预赛】在△4BC的边48和BC上分别取点K和M.使得4K:KB=

1:4BM:MC=4:5,在线段KM上取点O,使得KO:OM=3:1,N是射线B0与4c的交

点4c=a,由点。到边4c的距离0。=d,MAKMN的面积等于.

B

【答案】学

【解析】过点M作BN的平行线，交NC于点M',过点K作8N的平行线，交4N于点K',连接

OMOK'

则：SANOM-S^ONM'，S&NOK-S^ONK'，相加得S^KMN=SxOMK

注意到浅=盥=2，设NM'=4u,M'C=5u

由K'N:NM'=KO.OM=3:1,得K'N=12u

由AK':KN=AK.KB=1:4,得4K'=3u.

于是K'M'=12u+4u=16u,AC=3u+12u+4u+5u=24u.

因此K'M':AC=16u:24u=2:3,得KM=1AC=1a

所以SAKMN=^hOM,K'=专K'M'xOD=：xjd,d=竽

3.[2019年贵州预赛】在4ABC中,AB=30,AC=20,SAABC=210,D,E分别为边AB,AC的中点,NBAC的平分线

分别与DE,BC交于点F,G.则四边形BGFD的面积为.

B

【答案】学

【解析】如图，在AABC中，由AG平分NBAC可得:

CG—4C_2SAABC—BG—3

BG~AB~3^S^BC7~BC~5

又SZ\ABC=210,则S44BC=ABC=[*210=126.

由D、E分别为边AB、AC的中点知OEIIBC,且OE=『BC,所以△ADF£ABG.

由"^=*=^AADF=:故=126一粤二等.

4.【2018年贵州预赛】顺次连结圆/+9=9与双曲线孙=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面

积为.

【答案】6V5

【解析】

设A(m,")5>0,〃>0)为两曲线在第一象限的一个交点.由两曲线既关于原点对称.又关于直线产x对称,

得另外三个交点坐标为8(”，，〃)，C(~m,—〃)，£)(一〃，—in).则四边形A8C£>为矩形，其面积

S=\AB\'\CD\=yj2(m—n)2-y/2(m+n)2

=2y/^m-+n2—2mn)(7n2+n2+2mn)=2,(9-6)(9+6)=6炳.

故答案为：6V5

5.【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8,面积为12,则这个三角形的周长的最小值=.

【答案】18

【解析】

在中，设8c=8,8c边上的高为九，则S4ABe=(x8xh=12,解得h=3.

在2C的一侧作直线1IIBC且与BC的距离为3,以/为对称轴作出点C的对称点C',连接与/交于A,AA'BC

的周长是最小的.

这是因为4B+AC=AB+AC>BC=BA'+A'C=BA'+AC,此时A'B=A'C,

又因为片炉=BD2+A'D2=42+32=25,所以Z'C=A'B=5.

因此44BC周长的最小值为5+5+8=18.

6.【2018年贵州预赛】若边长为6的正AABC的三个顶点到平面a的距离分别为1,2,3,则AABC的

重心G到平面a的距离为.

【答案】｛0,9/2)

【解析】

(1)当AABC的三个顶点在平面a的同侧时，由公式d=瞥也求得重心G到平面a的距离为2.

(2)当AABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面a的异侧时，求得重心G到平面a的距离分

别为0，|>土

故答案为：｛o,p2)

7.【2018年贵州预赛】顺次连结圆/+9=9与双曲线孙=3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面

积为.

【答案】6V5

【解析】

设4〃],〃)(,">0,〃>0)为两曲线在第一象限的一个交点.由两曲线既关于原点对称.又关于直线了=、对

称，得另外三个交点坐标为8(〃，⑼，C(-m,—“)，D(-n,-m).则四边形ABC£)为矩形，其面积

S=|/1B|-\CD\=—n)2•^2(jn+n)2

=2yJ(m2+n2—2mn)(m2+n2+2mn)=2J(9-6)(9+6)=6>/5.

故答案为：6>/5

8.【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134。、106。、134。.则

内角E是(用度数作答).

【答案】134°

【解析】

不妨设边长为1,设AC、DF的中点分别为M、N,且A在DF上的射影为K,贝IJzBAM=37。，/.MAF=

97°,Z.AFK=83°,即FK=cos83°,KN=AM=cos37°.

又设4EFN=x,则FN=cosx,利用FN=FK+KN,

我们有cosx=cos830+cos370=2cos600cos230=cos23°.

因此x=23。，即等腰ADEF的底角为23。,可见其顶角E为134。.

故答案为：134。

9.[2018年河北预赛】设点O为三角形ABC内一点，且满足关系式：s“°B+2y℃+3sAe。*=____.

'△ABC

【答案】1

【解析】

将加+2OB+3OC=3AB+2BC+示化为3而+OB+2OC=0,(OA+OB)+2(OA+OC)=0.

设M、N分别是AB、AC的中点，则。而=一2箱.

设4ABC的面积为S,由几何关系知，Boc=；S,5△40H==S,SAA0C=；S,

236

所以S“OB+2SA8OC+3sAecM_

S^ABC6

10.(2018年河北预赛】过动点M作圆：(x—2『+(y—2)2=1的切线MN,其中N为切点，若

\MN\^\M0\(。为坐标原点)，贝U|MV|的最小值是.

【答案】苧

【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2),半径等于1.

由力),则|M/Vp=(a-2)2+(62)2-12=a2+fr2-4a-4/>4-7,

\MO\2=a2+b2.

由得〃2+按一4〃-4。+7=a2+。2.

整理得：4a+4b—7=0.

：.a9。满足的关系为：4〃+4A7=0.

求|MM的最小值，就是求|MO|的最小值。

在直线4〃+467=0上取一点到原点距离最小，

由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+467=0,

7

由点到直线的距离公式得：的最小值为：-I'=-V2.

72+428

11.【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角

的度数的3倍.则n可以取到的最大值为.

【答案】20

【解析】

设n个内角的度数按从大到小的次序为：%>%>•">%，

则EH=180(n-2).

由n个内角的度数均为整数知

180>%=36>n=%S177,0n<59.

再由n个内角的度数均为整数且互不相等知.

ek<178-k(k=l,2,...,n-1).

故180(n-2)=<59+£仁；(178-fc)=59+178(n-1)-1(n-l)n,

=>n2+3n-482<0,

--3+V9+4X482

=>n<---------，

结合n为正整数，知nW20.

因为当n=20时，

59+£仁;(178-k)=3251,

180(n-2)=3240,

所以m个内角的度数为177,176,...,160,148,59满足要求.

综上,n可取到的最大值为20.

12.【2016年吉林预赛】给定平面上四点0、A、B、C,满足。4=4,OB=3,OC=2,而・^=3^IJSAABC

的最大值为.

【答案】2五+手

【解析】

试题分析:

由已知加OC=3=3x2xcoszBOC,得乙BOC=60°,由余弦定理可得BC=V7,从而ZOBC中边BC边上

的高为哭，由。A=4知点4在以。为圆心，4为半径的圆上，4到直线8c的距离最大值为4+掾，.."ABC面

积的最大值为：X（4+翠）xV7=2^7+苧.

考点：向量的数量积，三角形面积最大值.

13.[2016年江西预赛】如图，在四面体ABCD中,ZkABC为正三角形,AD=BD=2,AD_LBD,AD_LCD.则点D到

面ABC的距离为.

【答案】管

【解析】

据题意得

AB=TAD?+BD2=2V2.

则BC=CA=AB=2V2,

CD=>JAC2-AD2=2.

又Be?=BD2+CD2=>BD1CD.

从而，以D为顶点的三面角均为直角.

设点D到面ABC的距离为h

故"四面体4BCD=♦SA48c=三4c.ShBCD

2V342V3

=>——/i=-=>h=——

333

14.【2016年北京预赛】如图，。。与正方形/BCD的边AB、4。分别切于点L、K,与边BC交于点M、P,BM二

8厘米，MC=17厘米.则。。的面积为平方厘米

【答案】1697r

【解析】

如图，联结。。的半径OK、OL、0M,记半径为r,作MNJL0L于点N.

又BC=BM+MC=25,故MB=BL=25-r.

在RtAONM中，由勾股定理得

r2=(25—r)2+(r-8)2

n=13,r2=53(不合题意).

故。。的面积为1697r平方厘米.

15.【2016年北京预赛】如图，PA与O0切于点4PC与。0交于点8、C,P。与O0交于点D,AE1PO

于点E.联结BE并延长，与。。交于点F,联结。C、OF.AD,4".若zBC。=30°,ABFO=20°,贝iJ/ZMF的

度数为.

【答案】115°

【解析】

联结04、CD、CF.

因为P4与。。切于点4所以。41P4

由4E±P。=>PA2=PE-P0.

又「炉=PB•PC

=C、B、E、。四点共圆

n乙FEO=4BCO=30°.

又乙BFO=20。，故

乙EOF=130°=«Z.FCD=65°

=4DAF=180°-乙FCD=115°.

16.[2015年北京预赛】在锐角Z4BC内取点P,使得/P4C=60。，APCA=^PBA=30°,M、N分别为边

AC.BC的中点.则ZPNM的度数为.

【答案】90°

【解析】

由条件易知N4PC=90°.

如图4,延长CP到点D,使得PD=CP,联结4。、DB

贝必PO=90。，AD=AC,

ZJWP=AACP=30°=4PB4

于是，A、D、B、P四点共圆.

因此，4DBA=/.APD=90°.

又M、N分别为边的4C、BC中点，P为CD的中点，故MNII4B,PN||DB.

因此，NPNM=乙DBA=90°.

17.[2019年北京预赛】如图，已知半径分别等于3厘米和5厘米的OB,OC外切于点4两圆的一条外

公切线切OB于点。，切oC于点E,过4作。E的垂线与3c的中垂线交于点尸,H是BC的中点.则

△4H尸的面积等于

【答案】C

【解析】如图，连接BD,CE,过B作CE的垂线，垂足为M,因为OE1是两圆的公切线,D,E是切点,

所以B。1DE.CE1DE,于是四边形BDEM为矩形，有BM||DE.BD=EM.

2

CM=CE—BD=2,易知,△尸〜△BMC,所以=（空）.

bACMB

乂4“BH-BA=匕匕-B4=4-3=1

2

在R2△BCM中,根据勾股定理，有BM=V82-22=2V15.

所以S/kCMB=2x2J15x2=2'15,进而有544“尸=x住）=

18.（2018年北京预赛】。。的直径4B=8,C为0。上一点，"04=60。.延长4B到点P,使BP=[BO,

连CP交半圆于点0,过点P作4P的垂线交4。的延长线于H,贝UP”的长度为

A.—.B.—.C.—.D.V3.

323

【答案】C

【解析】

连结

•••AB是直径，/.ADB=90°,因此，乙BDH=90°.

HP14P于点P,•­•4BPH=90°.

即/BDH+/BPH=180°,所以8、D、H、P四点共圆,

•••乙PBH=乙PDH.

•••/.COA=60°,A/.ADC=30°,因止匕4PDH=Z.ADC=30°,故NPBH=30°.

•••AB=8,BP=IBO,.-.BP=2,；,PH=2-tan30°=#.选C.

19.(2021年江西预赛】如图，锐角△ABC中，以高AD为直径的圆0,交AC,AB于E,F,过点E,F分别作圆

O的切线，若两切线相交于点P.证明:直线AP重合于△4BC的一条中线.

【答案】证明见解析

【解析】证明：设M为BC中点，过点E,F的切线尸分别交BC于N,K,

设ENAAM=P,FKnAM=P',只要证点尸，P'重合；

LABM,LACM分别被直线产K,EN所截,

如*后曰h甘广生工田MKBFAP_1MNCEAP_\

据梅尼历斯定理‘W.两’而一1,何.丽♦两彳一1，

yAP'_AR

为证丽—PM

只要幽.红=”.在（1）

八安址KBFANCEA

设圆心为O,连DE,DF,ONQK,因为K。，K尸为。0的切线,

所以OK是DF的中垂线，又4尸1DF,

贝l」OK〃AB,即OK是ADAB的中位线，K是BD的中点,

同理N是CD的中点，所以KN=*BC=MB=MC,

MK_ND_CDMN_DK_BD

因此MK=CN=ND,于是

~KB~^K~BD,~NC~ND~TD(2).

又在直角三角形4ADB,AADC中,

FD\2CE_CE

由于DE

。尸「8,。£「&胃=案⑶，

AD)'EA~DEEA

据②③可知①式成立，因此结论得证.

20.【2021年广西预赛】如图，设点。、E分别为圆O的内接三角形△4BC的边AB、AC上的点,

且4。=AE.线段BD、CE的垂直平分线分别交圆O的劣贩于点尸、G，点P为劣

弧的C的中点.求证：4尸JLFG.

【答案】证明见解析

【解析】证明:如图，作OL、OM分别垂直AB、AC交圆O于点J、K,连接JK,则点J、K分别为劣弧

和劣弧AC弧的中点.

因为+4P3/=今，所以4P_L/K.

下面证明尸G///K.

取BD、CE的中点尸1，G1,易知尸尸1、GG1分别垂直AB、AC,故尸尸1，GG1分别平行于OJ、

OK.

因为尸#=^AB-BD)=\AD,G±M=^(4C-CE)=\AE,

所以尸—Gj

FF1到过圆心。的线段OJ的距离与GGi到过圆心。的线段OK的距离相等，

故F/等于GK，从而尸G///K.

于是由4P1JK,FG//JK可得4P1FG.

21.【2021年新疆预赛】如图，AC=BC,AABC外接圆在A,C的切线交于D点，BD交圆于E,射线AE

交CD于F证明：F是CD的中点.

【答案】证明见解析

【解析】证明：延长AF至G,使得AG=BD.连接CG,DG.

因为AC=BC,ZDBC=ZGAC,AG=BD,

所以△4CGB/8CD①

因此CG=CD=AD.②

设NCAB=N1,ZABC=Z2,NACB=N3,ZGCD=Z4,ZDCA=Z5,ZDAC=Z6,NADC=N7,

由弦切角定理得：Z5=Z2=Z1,Z5=Z6=Z1,因此/3=N7,

由①知：ZGCA=ZDCB,所以/3=/4,

因此N4=N7,AD〃CG.③

由②③知：四边形ACGD是平行四边形,

故F是CD的中点

22.【2021年全国高中数学联赛A卷二试】如图所示，在AABC中，M是边AC的中点，D,E是A/IBC的

外接圆在点4处的切线上的两点，满足MD〃AB,且4是线段DE的中点，过4B,E三点的圆与边4C相交于另一点

P,过三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明:NBCQ=/.BAC.

【答案】证明见解析

【解析】取8c边的中点N,则。,M,Q,N共线，且MN〃AB.

由弦切角定理可知4fMM=ACBA=乙CNM.又4AMD=乙NMCQAMD-△NMC.

因此冷笨①

由己知条件,42P,Q四点共圆，故乙4PQ=Z.ADQ=乙4DM=乙4c8,因此PQ〃8c.

于是㈣=生②

NMCM

结合①、②以及可得裁=黑•翳=器喘=黑=?

即磴吟③

由弦切角定理可知4B4E=Z.BCA=48cp.又4,P,B,E四点共圆，故NBEA=NBPC.因此△BAE-△BCP.于是

兴=善结合③可得器=含

又MN"AB,故M1NQ=N4BC.所以^CNQ-t^ABC.

从而NNCQ="AC,即NBCQ=Z.BAC.

23.[2021年全国高中数学联赛B卷二试】如图所示，/是△力BC的内心，点P,Q分别为/在边ABMC上的

投影.直线PQ与△ABC的外接圆相交于点X,y（P在X,Q之间）.已知四点共圆,证明:C,/,Q,y四点共

圆.

【答案】证明见解析

【解析】记△48C的外接圆为3.

因为N4P/=Z.AQ1=90°,故A,P,/,Q四点共圆.

因此NBPQ=乙BP1+乙IPQ=90°+Z.IAQ=90°+^BAC=4B1C.

又由B,/,P,X四点共圆可知Z8PX=乙BIX,

故ZB/X4-ZB/C=4BPX+乙BPQ=180°.

因此c,/,x三点共线.

由B,/,P,X共圆可知Z_BX/=/.BPI=90°,故BX1/X,即BX1CX.

因此NBAC=乙BXC=900.

于是四边形4P/Q是正方形，PQ垂直平分线段4/.

设F是AC的中点，则由内心熟知的结论可知丫工=丫'/,因此X是4/的中垂线PQ与圆3的交点.

又直线PQ与圆3相交于X,y两点，且F显然不同于x,故1与y重合.因此y是女的中点.

于是B,/,y三点共线.因此N/YC=乙BYC=ABAC=90°=N/QC,进而C,/,Q,Y四点共圆.

24.12020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰△4BC中，4B=BC,/为内心，M为8/

的中点,P为边AC上一点，满足AP^PC,PI延长线上一点H满足MHLPH,Q为AABC的外接圆上劣弧AB

的中点.证明:

【答案】证明见解析

【解析】取AC的中点N.由AP=3PC,可知P为NC的中点.易知BJ,N共线,NINC=90。.

由/为//8C的内心，可知C7经过点Q,且NQ!B=NIBC+NICB=NAB/+NACQ=NABI+NAB%NQBI,

又M为BI的中点，所以QM_LB/.进而QMHCN.

考虑AHMQ与/H/8.由于MHLPH,故NHMQ=900-NHMi=NHIB.

14MNP

又NIHM=NINP=90°，故詈=箭，

工且HM_JVP_1NC_1MQ_MQ

i7C~HT~m~2~NT~2~m~~iB

所以△HMQHB,f#ZHQM=ZHBI.

从而四点共圆.于是有NB”Q=/8MQ=90。,即BHLQH.

25.12020高中数学联赛B卷(第02试)】如图A8,C,Z),E是圆0上顺次的五点，满足ABC=2C£>=CZ)E,点

P,Q分别在线段AD,BE上，且P在线段CQ上.证明:NB4Q=/PE。.

【答案】证明见解析

【解析】记S为A。与BE的交点,7为CQ延长线与圆Q的交点.

注意到ABC=BCD=C£>E,可设AB,CD所对的圆周角均为a,BC、D