《基本不等式（一）》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

基本不等式（一）

♦教学目标

1.理解基本不等式而<处乎3>0,6>0）,会利用不等式性质证明，发展逻辑推

理素养；

2.了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；

3.结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型,

发展数学运算核心素养.

♦教学重难点

教学重点：基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.

教学难点：基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.

♦课前准备

PPT课件，及GEOGEBRA制作的动画课件.

♦教学过程

一、整体感知

问题1：请同学们阅读课本第44页，说一说今天我们将要学习的内容是什么？在不等

式中起着怎样的作用？

师生活动：学生自主阅读课本，思考并回答，教师给予简单总结.

预设答案：类比代数式运算的研究，学习了一般运算之后，就要探索其特殊关系，这些

特殊关系往往具有重要作用，比如乘法公式等等.那么学习了不等式的性质，我们就要尝试

探索一些特殊的不等式一一基本不等式.

它是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式

问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的

基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石.

设计意图：让学生从整体上把握本节内容，了解基本不等式在解决不等式问题有重要的

作用.

二、新知探究

1.基本不等式的定义

问题2：阅读课本，思考：什么是基本不等式？它是怎样得到的？

师生活动：学生阅读课本回答，教师总结：基本不等式是将上节课所学的重要不等式

层+6222"中用石，n代替a,b并变形得到的，并板书：4ab<^.

2

预设答案：通常称J石〈巴心（a>0,6>0）为基本不等式.其中"2叫做正数a,b

22

的算术平均数，J益叫做a,b的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于几何平均数.

上节课我们学习了一类重要不等式：

Va,b£R,有序+万222而，当且仅当时，等号成立.

特别地，如果a>0,b>0,用々，物代替上式中的a,b可得J不芋，当且仅当a=b

时，等号成立.

追问：不等式中a,6的范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？

师生活动：学生自主反思后回答，a,b均为非负数，如果a,人中有负数，该不等式不

成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.

预设的答案：a，b均为非负数.只有a,6均为非负数，才能用血,后代替

中的a,b.

设计意图：通过上一节的重要不等式得到基本不等式，同时明确两个不等式之间的联系，

通过分析其特征，得到基本不等式的代数解释，进一步加深对其的理解.

2.基本不等式的证明

问题3：你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？请你试一试。

师生活动：学生根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明，教师给与肯定.

追问1：在前面我们学习过充分条件和必要条件，你能否从所证明的式子出发，寻找使

不等式成立的充分条件，从而形成证明思路?

师生活动：师生共同分析，要证明/石〈色心，只需证明。+622面，从而只需证

2

a+b-14ab>0,只要证（筋-新产》0,而（&-断/N0显然成立.教师指出只要把过

程倒过来，就可证明出基本不等式了，并要求学生自己写出证明过程.

预设答案：要证©

2

要证①，只要证<a+b.②

要证②，只要证14ab-a-b<0.③

要证③，只要证_（右-扬2〈0④

要证④，只要证—V^)2之o.⑤

显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立.

每一个“只要证”都是“要证”成立的充分条件，那么只要把过程倒过来，就可直接推

出基本不等式了.

追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？

师生活动：学生对照自己所写的证明分别回答每一步的依据.

预设答案：第一步依据不等式性质4,第二步依据不等式性质3,第三步依据完全平方

公式，第四步依据不等式性质4.

追问3：上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？

师生活动：学生讨论后回答.

预设答案：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使

它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、

定理、定义、公理等）为止.分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,

证明中需要哪些知识不太明确具体的情况.这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步

反推，寻求使当前命题成立的充分条件.

追问4：根据教科书上的证明过程，你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？

师生活动：学生思考后回答.

预设答案：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法

在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格

式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然XXX成立”.

设计意图：利用不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的

证明过程和证明格式，提高学生逻辑推理的数学素养.

3.基本不等式的几何解释

问题4：如图，是圆的直径，点C是上一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于

的弦DE,连接AD,你能利用这个图形，得出基本不等

式的几何解释吗？/------

师生活动：如图1,连接0D,教师引导学生先寻找图中的不//\

等关系，利用动画，观察从弦DE长和圆的直径AB这两个几何元4f------«cPT7

素在变化中的不等关系，及半弦CDWOD并将此不等关系用符\/

号表示.学生独立思考，并说出思路：半径。。为止,利用射团E

2图1

影定理可得弦DE长的一半C。为痴，由CDKOD,得到而《生心.教师评价并总

2

结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释.当且仅当弦。E过圆心

时，二者相等.

预设答案：如图1,可证△ACZJSADCB,因而CZ)=J石.由于CD小于或等于圆的半

径，用不等式表示为疝〈汉心.显然，当且仅当点C与圆心重合，即当。=6时，上述

2

不等式等号成立.基本不等式的几何解释：圆的半径不小于任意一条弦的长度的一半.

设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而

获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养.

4.基本不等式的简单应用

例1已知x>0,求x+'的最小值.

追问：求解的依据什么？怎样应用？

师生活动：教师通过追问引导学生分析，明确求解的依据是基本不等式，再引导学生将

问题与公式对比，找到x+工和基本不等式的联系，让学生独立思考后，进行书写，教师基

X

于学生书写的不规范进行纠正.

预设的答案：因为x>0,所以％+工221%,=2,

X\X

当且仅当了=工时，即f=l,广1时，等号成立.因此最小值为2.

X

变式：(1)已知无上2,求x+工的最小值；

X

(2)求x+工的最小值.

X

师生活动：学生独立完成。教师依据学生的解答或困难，对比例1分析其求解中存在的

问题，并用软件展示函数尸工+工的让学生观察。

X

追问1:比较三个问题，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注

意什么？

师生活动：学生自主反思后，发表自己的意见，相互补充，形成共识.教师将讨论结果

进行汇总，并进行总结，明确若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求

和的最小值；若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值.

在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件.

设计意图：通过典例分析，让学生掌握利用基本不等式解决哪些代数式的最值问题，及

在利用不等式时应注意的三个条件，在具体情境中理解基本不等式，为学生求解代数式的最

值问题提供示范.同时，为下一道例题应用基本不等式求最值的代数式提供范例.

例2已知x,y都是正数，求证：

(1)如果积孙等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2折；

(2)如果和尤+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值工$2.

4

师生活动：学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.教师总结用基本不等

式解决最值问题有两个基本模型：“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们

的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大

值”.

预设答案：因为x,y都是正数，所以字2而.

(1)当积犯等于定值P时，225,所以x+

2

当且仅当时，等号成立.则当时，和x+y有最小值2行.

(2)当和x+y等于定值S时，所以孙W；S2,

当且仅当行〉时，等号成立.则当x=y时，积孙有最大值工底

4

设计意图：本题是例1的总结和提升，看似简单，但是给出了用基本不等式能够解决的

两个数学模型，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.提升学生数学模型的思想.

三、归纳总结

问题5本节课我们主要学习了基本不等式，请同学们回顾今天所学内容，思考以下问