2022年湖南省衡阳市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022年湖南省衡阳市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

A(

---2«-y)B.(~v«0)C.(O.与)

[4々4D・e

2.设全集I={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={0,3,4},则ACIB是()

A.{2,4}B.{1,2}C.{0,l}D.{0,l,2,3}

3.

第15题过P(4,8)作圆x2+y2-2x-4y-20=0的割线,所得弦长为8,则此

割线所在直线方程为()

A.3x-4y+20=0或y=8

B.3x-4y+20=0或x=4

C.3x+4y-44=0或x=4

D.4x-3y+8=0或x=4

4函数f(x)=|l-xHx-3|(x£R)的值域是()

A.[-2,2]B.[-l,3]C.[-3,l]D.[0.4]

5.不等式上』,5的解集为()

A.{x|x>0或x<-l}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|x<0}

E织上陈列了3**技柴七和S不文艺杂之_位学生从中候取车阕读那么也留海

6.文艺杂M的里乍与丁

_a2-4a+3

7.复数z/―一7T-+Q2—3a+2)i(aSR)为实数，则

A.lB.2C.3D.4

8.在R1A械:中上如(：=90°,夕=75。."4.・5等于

A.E.。B.用・/F

C.2&2D.2互・2

(15)相畤»=I与圆(#+4)24-y2=2的公共点个数是

9.(A)4(B-2JC)1(D)0

10.

在等比数列｛%｝中，若%A=10•则卬诙十七%=

X/

A.100B.40C.10D.20

x*3+2cos6.

.圆(8为参数)的圆心坐标和半径分别为

,y=-75+2sin6

A.(3,-6),2'B.(-3.商,4

ll.C13.-6),4D.(-3,75),2

12.设椭圆的方程为(x2/16)+(y2/12)=L则该椭圆的离心率为()

A.AJ7/2B.l/2C.A/3/3D.A/3/2

13.函数y=sin(x+3)+sin(x-3)的最大值为()

A.-2sin3B.2sin3C.-2cos3D.2cos3

函数/(x)=2sin(3x+>t)+l的母大值为

14.(A)-1(B)1(C)2(D)3

(5)函数y=47E的定义域是

(A)|«lH(B)hlH

15.(C)|xl«>H(D)或Qll

16.在AABC中，已知aABC的面积=(a2+b2y2)/4,则NC=()

A.n/3B.n/4C.n/6D.2n/3

设0<a<6<l,则()

(A)log«2<l%2(B)log｝a>log26

(c)/3(D)(1)'>(Tf

JL/・

18.在等差数列｛an｝中,ai=l,公差等0,a2,a3,a6成等比数列,则

d=()0

A.lB.-lC.-2D.2

抛物线/=-4x的准线方程为()

(A)x=-2(B)x=-1

(C)x=2(D)x=1

19.

20.命题甲：A=B;命题乙：sinA=sinB.则0

A.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

B.甲是乙的充要条件

C.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

D.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

设巴，B为总眼费+方=1的焦点,P为椭圆上任一点，则的周长为

()

(A)16(8)20

21.(C)18(D)不能确定

22.下列函数在各自定义域中为增函数的是()o

A.y=1+2'B.y=1-x

C.y=1+x2D.>=1+2-x

复数(名广的值等于

(A)l(B)i

23.«：)-I(D)-i

已知椭圆42%+，=1的焦点在y轴上，则m的取值范围是()

(A)m<2或m>3(B)2<m<3

(C)m>3(D)m>3或［<m<2

24.

25.

第9题正三棱锥的高为2,底面一边的长为12,则它的侧面积为()

A.144B.72C.48D.36

26.长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别为4,8,18,则此长方体的

体积为

A.12B.24C.36D.48

正四棱柱中，AA}=2AB,则直线明与直线G4所成角的正弦值

为

(A)—(B)—(C)—(D)—

27.

28.方程|y|=l/|x|的图像是下图中的

若网X’=C与直线X+y=1相切，则＜?=

(A)-(B)1(C)2(D)4

29.

30.设el,e2是两个不共线的向量，则向量m=-el+ke2（k£R）与向

量n=e2-2el共线的充要条件是（）

A.A.k=0

Bp*-：

C.k=2

D.k=l

二、填空题（20题）

31（2】）不等式I2x+ll>1的解集为

2

32.掷一枚硬币时，正面向上的概率为万，掷这枚硬币4次，则恰有2

次正面向上的概率是O

33.椭圆的中心在原点，-个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐

标轴的交点，则此椭圆的标准方程为.

342知•=（2.2百）/=（L-⑶,制（%>■,

已知双曲线4-'=।的离心率为2,则它的两条渐近线所夹的锐角

Qb

35.为

36.椭圆x2+my2=l的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的

值是.

37.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A与B1D1所成的角的

度数为________

38.向量a=(4,3)与b=(x,-12)互相垂直，贝IJx=,

39.设某射击手在一次射击中得分的分布列表如下，那么&的期望值等

e123

于P0.40.10.5

4n6个队进行单循环比赛，共进行场比赛.

4i.如果工＞。,那么工+；的值域是____.

42.如果二次函数的图像经过原点和点(-4,0),则该第二次函数图像的

对称轴方程为.

43.

Cx-^)9展开式中的常数项是

曲线y=/+31+4在点(-1.2)处的切线方程为

44.------------

已知时机变ffltg的分布列是

-1012

£

P

3464

45.始腐二-------

46.已知随机变量g的分布列是:

g012345

P0.10.20.30.20.10.1

贝！)Eg=________

47.函数yslnx+cosx的导数y'=

48.过点M(2,-1)且与向量a=(-3,2)垂直的直线方程是

已知随机变量f的分布列是:

(012345

P0.10.20.30.20.10.1

则拶=

49.

1一」=）7展开式中，山二皿口

50.G的系数是

三、简答题（10题）

51.

（22）（本小题满分12分）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为d.

（1）求4的值；

（D）在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中，102为第几项?

52.

（本小题满分12分）

已知函数«w）MT-lnx,求（1）〃工）的单调区间;（2）/U）在区间［｝,2］上的最小值.

53.（本小题满分12分）

#△■（；中.A8=8而.8=45°,C=60。.求AC.8C.

54.（本小题满分12分）

已知等比数列1册］中=16.公比g=

（1）求数列I。」的通项公式；

（2）若数列|a.|的前n项的和5.=124,求n的值.

55.

（本小题满分12分）

已知数列！中,■=2,Q..J=yaa.

(I)求数列141的通项公式；

(U)若数列山的前〃项的和S・=盘求”的值.

56.

(本小题满分13分)

如图，已知确08G：4+/=1与双曲线G：4-/=>(«>1).

aa

(I)ifte,,e2分别是C..C,的离心率，证明egvl;

⑵设44是G长轴的两个端点,>a)在G上，直线与G的

另一个交点为Q.直线P4与£的另一个交点为上证明QR平行于丫轴.

57.

(本题满分13分)

求以曲线26+y‘-4x-10=0和/=2*-2的交点与原点的连线为渐近线.且实

轴在x轴上,实轴长为12的双曲线的方程.

58.(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

59.

（本小题满分12分）

已知函数/（X）-3/+m在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m.并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

60.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

四、解答题（10题）

61.双曲线的中心在原点0,焦点在x轴上，且过点（3,2）,过左焦点且

3

斜率为工的直线交两条准线于M,N,OM1ON,求双曲线方程.

62.

求以曲线2x?+,2-4X-10=0和』=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实

轴在x轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

63.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边形

所在平面M的垂线，且PA=a,求

I.点P到各边AB、BC、CD的距离。解析：因为PA_L平面M所以

PA±BC所以点P到AB的距离为a,过A作BC的垂线交CB的延长

线于G连接PG所以BC_L平面APG即PGJLAB

II.PD与平面M所成的角

64.从0,2,4,6,中取出3个数字，从1,3,5,7中取出两个数字，共能组成

多少个没有重复的数字且大于65000的五位数？

65.在平面直角坐标系xOy中，已知。M的方程为x2+y2-2x+2y-6=0,0

O经过点M.

(I)求。O的方程；

(II)证明：直线x-y+2=0与。M,。。都相切.

66.

巳知椭圆C，E+E=】Q>6>。)，斜率为1的直线'与C相交’其中一个交点的坐标为

(2,在)，且C的右焦点到/的距离为1.

⑴求

(II)求C的离心率.

67.

设iiina是sin^与coM的等差中ML咱是与<,U的等比中鹏•求e一超-4c(»4a

的值.

68.

已知我列｛。.｝4=1.点P(4.N..1(e・N・^M0U-%*l・O_L

(1)求数列｛<».网通不公式；

(2)函数/(・)■・,*1-♦—-—♦—―-♦…+■(neN•♦且nN2),求函数/(••)

、，3』,八，R.O)H.O,i».0.

的■小值.

69.

直线y=_r+m和椭相交于A,B两点.当m变化时.

（I）求IABI的酸大值1

（II）求少。8面枳的最大值“）是原点）.

分别求曲线y=-3？+2x+4上满足下列条件的点

（1）过这些点的切线与x轴平行；

70.（2）过这些点的切线与直线y=*平行.

五、单选题（2题）

71.8名选手在有8条跑道的运动场进行百米赛跑，其中有2名中国选

手.按随机抽签方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道的概

率为0

A.l/2B.l/4C.l/8D.1/16

函数，=/(*)的图像与函数y=2*的图像关于直线y=X对称，则人*)=

()

(A)2'(B)log2x(x>0)

72.12'(D)log(2x)(x>0)

六、单选题（1题）

73.如果实数n,6满足cb=100,则矿+62的最小值为（）

A.A.400B.200C.1OOD.50

参考答案

l.B

首先做出单位圆，然后根据问题的约束条件，利用三角函数线找出满

足条件的a角取值范围.

2题答案图

Vsina>tana.cz€(£，£)'

又Vsina=MP,tana=AT.

(1)0VaV妥.sinaVtana.

(2)—^-<Ca«)»sina>tantf.

故选B.

2.BAnB={0,1,2,3}A{1,2}={1,2}.

3.B

4.A

求函数的值域，最简便方法是画图,

311答案图

从图住上现K.

由图像可知.2Wf(x)02.

'-2,H41

•.,/(x)=|l-x|-|x-3|=<2x-4.1<x<3

,2.x>3

5.A

Il|1I1_II

।2I22222,即x>0或xV-1,故绝对值不等式的解集

为{x|x>0或xV-1}.

6.C

7.B

”1

J=>a=2.

[a?-3a+2=0

8.A

AX-：片E殁圮产•二，.=4,4”n7S・.M

b=44«(4,JW)="§♦、：)=〃♦低

9.D

10.D

该小题主要考查的知识点为等比数列.

a3a4=a】q?,a"'=a]q3=10»

2s491i

a[%=Q\(l2a3=Q\(j•a?q=a[q+

【考试指导】9a=2%仆=20.

ll.A

12.B

13.Dy=sinxcos3+cosxsin3+sinxcos3-cosxsin3=2sinxcos3,sinx的最大值为

1,故原函数的最大值为2cos3.

14.D

15.D

16.B余弦定理是解斜三角形的重要公式，本题利用余弦定理及三角形面

积公式(S△ABC=l/2bcsinA=l/2acsinB=l/2absinC)求出角.丁

cosC=(a2+b2-c2)/2ab=4S△ABC/2ab(已知S△ABC=(a2+b2-c2)/4)S△

ABC=l/2abcosC,①又••^△ABC=l/2absinC,②由①②得cosC=sinC,/.

ZC=w/4.

17.D

18.C

本题考查了等差数列和等比数列的知识点。

{an}为等差数列,ai=l,则a2=l+d,a3=l+2d,a6=l+5d。又因32,

・2

a3,a6成等比数列，则得a32=a2a6,BP(l+2d)=(l+d)(l+5d),解得

d=0(舍去)或d=-2,故选C。

19.D

20.D

【解析】A匚gsinAnsinB,IBsinAMsmB

21.C

22.A

该小题主要考查的知识点为增函数.【应试指导】由指数函数图像的性

质可知，A项是增函数.

23.C

24.D

25.B

26.B设长方体的长、宽、高分别为.x、y、zo则长方体有一个公共顶点的

三个面的面积分别为xy、yz、xz贝IJ.xyxyzxxz=x2y2z2=(xyz)2,又〈

4x8xl8=576=242,.*.V=xyz=24

27.C

••(1)与*>0时♦|y|,o>o(D

_±.y<o②*

y=X

•*.(2)&x<o•yX)③

1

yH——QyJLX。④'

Xx

30.B

向量加=-+S与〃共线的充暨条件是

即一%+包=-2出十况•则一l=-2A/=人解得4-A・匕・(答案为B)

U

(21)(-8,-l)U(0,+8)

JX•

32.

3

8

本题考查了贝努利试验的知识点。恰有2次正面向上的概率是P=

4T=三

一千

33.x2/40+y2/4=l或y2/40+x2/36=l原直线方程可化为x/6+y/2=l,交点(6,0),

(0,2).当点(6,0)是椭点一个焦点,点(0,2)是椭圆一个顶点时，c=6,b=2,

a2=40—x2/40+y2/4=l当点(0,2)是椭圆一个焦点，(6,0)是椭圆一个顶点时，

c=2,b=6,a2=40^y2/40+x2/36=l

34.

120,/4»12-4.I*•A3-2,«->•!*212^x(今)・4,M<«•(•»

35〃°

36.

答案：

■y【解析】由W+my得/+午・=1.

m

因其焦点在，轴上，故

又因为为=2•%.即2J^=4Am=f":

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质.对于椭圆标准方程而言，应注

意：

①焦点在1*上吊

焦点在y轴上，+1T(a>A>0).

②长X长■勿.短牯长=加.

37.

38.

39.

40.15

41.[2,+oo)

y=*+—>2---=2(x>0),

当工=1时.上式等号成立.所以>e:2.+8).

42.

43.

由二项式定理可傅,常数项为CCr）'（+>=一樱族一-84.（答案为-84）

44.

y=x+3

【解析】该小题主要考查的知识点为切线方程.

【考试指导】

y0炉+3z+4=>y=2工+3,

y=1，故曲线在点（一1,2）处的切线方程为

）-2=z+1,即y=工+3.

46.

47.

48.

设PG,y)为所求直线上任一点.则诂■(工一2,y+D,因为前1_%

MMP•a-=(x-2,y+l)•(-3.2)=-3(x-2)-t-2(y+l)=0.

即所求直线的方程为3t—2V—8-0.(等案为3工一2y-8=0)

50.答案:21

设(工一亍»的展开式中含丁的项

J工

是第「+1项.

令7—r--^-=4=>r=2

Lt

c・(一i)’=a・(-1y=21,的系数

是21.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

Q-d,Q,a+d.其中a>0,d>0,

则(a+d)2=a2+(a-d)2.

a=4rf,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=--x3Jx4d=6,d=1.

故三角形的三边长分别为3,4.5,

公差d=1.

(n)以3为首项j为公差的等差数列通项为

Q1=3+(n-l),

3+(n-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

(I)函数的定义域为(0,+8).

/(Q=1-十.令，⑴=0,得x=l.

可见,在区间(0.1)上在区间(1.+8)上J(x)>0.

则/(x)在区间(0.1)上为减函数;在区间(I.+8)上为增函数.

(2)由⑴知，当M=1时取极小值,其值为｛1)=1-Ini=1.

=y-ln-+=2-ln2.

52由于InVe<ln2<Inet

即:<ln2<l.则〃/)>/(1)42)>〃1).

因蛉tf(外在区间：；.2］上的最小值是1.

53.

由已知可得4=乃。,

又sin75°=sin(450+30°)=sin450cos30°+«»45o8in30o=同'息•4分

在△ABC中.由正弦定理得

4cBC8而

•8分

^45°-^h75°~sin60°,

所以4C=16.BC=84+8.12分

54.

(I)因为，.即16=5得.=64.

4

所以.该数列的通项公式为a.=64x(^-)-,

⑵由公式斗坤山得3二丝旱，

91-X

2

化博得2”=32.解得n=5.

55.

a..i1

(1)由已知得。.《°，苗；工5，

所以la］是以2为首项,•为公比的等比数列.

所以“=2(打•即。・=/

(口)由已知可噱所以(/)*=(/)'

l'T

解得n=6.

56.证明：(1)由已知得

又a>1,可得01,所以.弓的<1.

CL

将①两边平方.化简得

(«0+a)>y?=(X1+a)Jyi④

由②®分别得y：=[(£-"').y：=1(。’-彳),

aa

代人④整理得

«-*i%-a3

----=-----,即x.-a-..■

。+3Xo+ax„

同理可得与二£

所以孙射0.所以OR平行于)•轴.

57.

本题主要考查双曲线方程及绦合解题能力

根据题意.先解方程组7°=°

得两曲线交点为11=3

ly=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接.得到两条直线7=

这两个方程也可以写成=0

所以以这两条出线为渐近线的双曲线方程为旨-£=o

由于已知双曲线的实轴长为12.于是有

“=6’

所以*=4

所求双曲线方程为《-g=l

58.

(1)设等差数列I。1的公差为d,由已知%+3=0,得

2%+9d=0.又已知％=9.所以d=-2

败列la.|的通项公式为a.=9-2(“-1).KPa.=11-2n.

(2)数列laj的前n项和

S,=-^-(9+1-2n)=-n3+lOn=-(n-5)2+25.

当。=5时取得最大值25.

59.

f(x)=3x}-6x=3x(x-2)

令/⑸=0.得驻点9=0吊=2

当x<0时>0；

当。<*<2时］⑺<0

.•.工=0是的极大值点.极大值〃0)=«•

.•.〃0)=m也是最大值

.•.m=5,又，-2)=m-20

/X2)=m-4

.-./(-2)=-l5JX2)=l

二函数〃工)在i-2,2］上的最小值为〃-2)=-15.

60

由已知，可设所求函数的衰达式为y=C-m)'+n.

而…’+2工-1可化为y=(x+l)'-2

又如它们图像的顶点关于直线彳=1对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为y=(x-3),-2,IWy=x,-6x+7.

61.

设双曲线方程为三一£-1储＞。法＞03焦距为2c(c»).

因为双曲线过点(3,2).得撩一£二】•①

设直线-1(工+。与双曲线胸条推线方程分别联立,得

3

7(工+c).,...

/叫ST牛))•

Xsa一■

C

3

产—7(1+£)，...

:r(YT(T))・

x~-----＜

C

因为aw_LON,有勒《rs—­i.

__3“\3~~g*\

经化筒.得25a*=9/,即②

又③

由①，②.③解得^=3,^-2.

所求双曲线方程为t一号T

解本题主要考查双曲线方程及综合解题能力

(2x2+y2-4x-10=0

根据86意.先解方程组z/.

1/=2x-2

得两曲线交点为「=：'「=3、

ly=2,ly=-2

先分别把这两点和原点连接,得到两条宜线,=±今

这两个方程也可以写《・丁。

所以以这两条出线为渐近线的双曲线方程爆-：厂。

由于已知双曲线的实轴长为12,于是有

9*=62

所以4=4

所求双曲线方程为聂-巳

62.3616

63.因为PA_L平面M所以PA±BC所以点P到AB的距离为a,过A

作BC的垂线交CB的延长线于G连接PG所以BC_L平面APG即

PG±AB

•；AG=%.PAi.

:.在RtAAPG中・专

°，因此P到BC的距离为冬.

•••PA1平面M.

・・・AC是PC在平面M上的射影.

又・・・AD是正六边形A8CDEF外接网的

直径.

AZACD«90,.

因此ACICD,所以CD.L平面ACP.即PC

是。到ICD的即离.

■；AC=y^a*PA-a•

；.PC=+/=2a.因此P到CD的距

离为2a.

，设PD与DA所夹的角为a.在RtZ^PAD

PAa1

中•uma=A5.涕

.".a-arctan"为PD与平面M所夹的角.

64.根据约束条件“大于65000的五位数”可知这样的五位数只有

7XXXX、65XXX、67XXX三种类型.⑴能组成7XXXX型的五位数的

个数是

M=C；・Cl•Pl.

(2)能组成65XXX型的五位数的个数是

M=C”Q-Pt

(3)能组成67XXX型的五位数的个数是N3=Ci-a-Pl

65.(I)OM可化为标准方程(x4)2+(y+l)2=(2a)2,

其圆心M点的坐标为(1,-1),半径为ri=2",

OO的圆心为坐标原点，

222

可设其标准方程为x+y=r2,

(DO过M点，故有门=汇，

因此。O的标准方程为x2+y2=2.

d」+l+2|2.

(II)点M到直线的距离及一，

d一+。+2|_万

点O到直线的距离离°，

故。M和。O的圆心到直线x-y+2=0的距离均等于其半径