2022-2023学年新教材高中数学第一章预备知识测评试题北师大版必修第一册

第一章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1.命题“VxeN,avx”的否定是（）

A.VXGN,a>xB.Vx^Na>x

+■+■t

C.3XGN,a>xD.Bx^N,a>x

+-+-

2.已矢口t=a+4b,s=Q+b2+4,贝ijt•和s的大小关系是（）

A.t>sB.t>s

C.t<sD.t<s

3.（20『2、河北邢公台期士末、）在殳集人合M={x/x2-3xwO},N{=x1<x<）4，则/V7G/V=（与

A.^xU<x<jB.[x<x<3j

22

C.{x/3<x<4}D.{x/0<x<4}

4,若关于x的不等式ax2+bx+c>。的解集为{x/-lvxv2},则能使不等式a（x2+l）+b（x-

l）+cv2ax成立的x的集合为（）

A.{x/0<x<3}

B.{x/xvO,或x>3}

C.{x/x>3}

D.{x/-2<x<l}

5.命题"xe{x/lwx$3},有X2-awO”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>9

B.cr>8

C.a>10

D.a<10

6.（2022黑龙江哈尔滨道里期末）若x>0,y>0且x+y=L则下列结论正确的是（）

A.\7；+Vy的最大值是，2

1

B.xy的最小值星」

4

C.X2+J/2的最小值是2

D.2+，的最小值是4\"

xy

7.(2022河南焦作期末)已知a,b为正实数，且ab-3(o+b)+8=0,则ab的取值范围是()

A.[2,4]

B.(0,2]U[4,+«>)C.[4,16]

D.(0,4]U[16,+8)

8.已知非空集合48满足以下两个条件：

(l)auB={l,234,5,6},4G8=0；

(2)2的元素个数不是a中的元素田的元素个数不是B中的元素，

则有序集合对(AB)的个数为()

A.10B.12

C.14D.16

二、选择题:本题共4小题,每小题5分洪20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于任意实数abed,有以下四个命题，其中为真命题的是()

A.若a>b,c>d,贝ijaobd

B.若QC2>bc2,贝(Ja>b

C.若a>b,则屋£

ab

D.若a>b,c>d,贝ija-d>b-c

10.下列结论正确的是()

A.“xy>0”是"2>0”的充要条件

y

2

B._的最小值为2

壮+9

C.命题“Vx>l,X2-x>0''的否定是X<1,X2-X<O"

D.”一元二次函数y=c/X2+bx+c的图象过点(1,0)”是“a+b+c=0”的充要条件

11.若“X2+3x-4v0”是“X2-(2k+3)x+k2+3k>0”的充分不必要条件,则实数k可以是()

A.-8B.-5C.lD.4

12.当一个非空数集G满足“任意a,b£G,则a+b,a-b,obeG,且bHO时2GG"时,我们称G就是

b

一个数域.以下关于数域的说法，其中正确的是()

A.0是任何数域的元素

B.若数域G有非零元素，则2022GG

C.集合P={x/x=2k,keN}是一个数域

D.任何一个数域的元素个数必为奇数

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若集合A={-l,l},B={0,2},则集合{z/z=x+y,xE,yCB}中的元素个数为.

14.若集合A={x/x2+px+q=0},B={x/x2-x+r=0},>4CB={-l},/\UB={-l,2},贝！Jr=

>P+Q=______•

15.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%

征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少5,万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年

2

不少于9000万元,t变动的范围是_________.

16.已矢口x>0,y>0,求z=(x+2y)'1十了，的最值.

甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲:z=(x+2y)\乙+_)=2+++8218,

xyyx

(24\«丁(工

乙:z=(x+2y)+」之2\'2肛・2一=16*

3

①你认为甲、乙两人解法正确的是.

（2）请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题,使甲、乙的解法都正确:

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）若bc-adN0,bd>0,求证:

b~d

18.（12分）（2022四川资阳高一期末）已知全集U=R,集合A={x/o<xso+2,aeR},8={x/-

（1）若求（C/）C8;

（2）若求实数a的取值范围.

4

19.（12分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个,补充在

下面问题中，并解答.

已知集合A={x|X2-4X-12<0},

B={x|X2-2x+l-m2<0,m>0}.

若xGA是xeB成立的，判断实数m是否存在?若实数m存在，求出m的取值范围;若不

存在，说明理由.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

5

20.(12分)已知关于x的不等式x2-ax-2x+b<0.

(1)若此不等式的解集为(-1,2),求a,b的值；

(2)若b=2a,求该不等式的解集.

21.(12分)第一机床厂投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技

术，在A生产线的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(l+0.005x)倍.现将在

A生产线少投资的x万元全部投入B生产线，目每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元，其中

a>0.

(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；

(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润，求a的最大值.

6

22.(12分)已知函数V=X2-2QX-1+Q,QER.

(1)若Q=2,试求函数+x>0)的最小值；

x

(2)对于任意的x£[0,2],不等式ywa成立，试求。的取值范围.

第一章测评

1.C

2.Dt-s=4b-b2-4=-(b-2)2W0,故t<s.

3.B因为A4={x/x2-3xW0}={x/0WxM3},/V=|xvxv4},所以A4CA/=<；x<x<3

22

4.B・・•不等式ax2+bx+c>0的解集为{x/-lvxv2},

7

••--1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且avO,

，-g=-l+2=lJ_=・2,J.b=・a,c=-2a,

aa

由a(X2+1)+b(x-1)+c<2ax,

得a(x2+l)-a(x-l]-2a<2ax,

得ax2-3ax<0,

,.,a<0,.,.X2-3x>0,.,.x<0或x>3,

・•.不等式a(X2+l)+b(x-l]+cv2ax的解集为{x|xvO,或x>3}.

5.C当该命题是真命题时，只需当l<x<3H^,a>(%2).因为lwxw3时,y=X2的最大值是9,所

max

以az9.

因为空9推不出a?10,a"0=aN9,所以C符合要求.A为充要条件,B为必要不充分条件,D为既

不充分也不必要条件.

6.A由基本不等式得xyv(匕2)2=工当且仅当乂=丫』时，等号成立，故xy有最大破，故B错

2424

误；

,,'(AZE+\Z5»=x+y+2#可=1+2；=2,，m尤+的最大值是，了,故A正确；

,.,X2+y2=(x+y)2-2xy=l-2xy>l-2x1=L,

42

“2+丫2有最小直!，故C错误；

2

•••三+」=(2+J_)(x+y)=3+321+t23+26当且仅当生==即乂=2-，利=办1时,等号成

xyxyxyxy—一

立，

・・2+_1有最小值3+2后，故D错误.

%y

7.D因为a,b为正实数，则0=ab-3(a+b)+8wab-6\/多各8,当且仅当a=b时，等号成立，即(J拓7

2)(V7・4)N。,所以OvJ访《2或后位4,所以0<ab<4或ab216,故ab的取值范围是

(0,4]U[16,+oo).

8

故选D.

8.A根据条件,A的元素个数不是A中的元素,8的元素个数不是B中的元素.可知

⑴当集合A只有1个元素时，集合8中有5个元素且5任8,此时仅有一种结果

A={5},8={1,2,3,4,6};

(2)当集合A有2个元素时，集合B中有4个元素,2&A且4任8,此时集合A中必有1个元素为4,集

合8中必有1个元素为2,故有如下可能结果：

①A={L4},8={2,3,5,6};②八={3,4},8={1,2,5,6};③A={5,4},8={1,2,3,6};(J)A={6,4},

3={1,2,3,5}.共计4种可能；

⑶当集合A中有3个元素时，集合6中有3个元素,3的,3《8,不符合条件；

(4)当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况(2)相同，只需A.B互换即可，共计

4种可能；

⑸当集合A中有5个元素时，集合B中有1个元素，此情况与情况⑴相同，只需48互换即可，共计

1种可能.

综上所述，有序集合对(48)的个数为10.

9.BDA选项但是-3xlv-5x(-4),A不正确;B选项:因为oc2>bc2成立，贝4C2>0,那

么。〉b,B正确;C选项:2>-3,但埴I=Lc不正确;D选项:因为c>d,所以-cv-d,又a>b,所以a-

23

d>b-c,D正确.

IO.ADxy>0o)>0,故A正确；

7

，令\=L+9N3,

元2+9

则片tJ口在区间［3,+8)上,函数值y随自变量x的增大而增大，最小值为3+L也故B错误；

t33

命题“Vx>l,X2-x>0”的否定是匕x>l,X2-xwO'',故C错误；

一元二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)显然有a+b+c=O,反之亦可，故D正确.

II.ACD由X2+3x-4v0,解得-4vxvl,

9

令A={x1-4<x<l}.

X2-(2k+3)x+k2+3k>0艮[3(x-k)[x-(k+3)]>0,解得xvk,或x>k+3,令8={x/xvk,或x>k+3}.

由题意知A8,所以公1或k+3w-4,

即k£(-8,-7]U[l,+8).

I2.ABD当Q=b时，由数域的定义可矢「I,若a,b£G,则有a-b£G,即0£G,故A正确；

当a=bHO时，由数域的定义可知，。为GG,则有上G,即1GG,若1GG,则1+1=2GG,则

b

1+2=3£G,…，贝lj1+2021=2022』故B正确；

当。=2力=4时,f=J_CG,故C不正确；

b2

由0CG,当bCG且bHO时，则-bCG,因此只要这个数不为0,就一定成对出现,所以数域的元素个数

必为奇数，所以D正确.

I3.3八={-1,1},8={0,2},

•••xEA,yEB,-\x=l或x=-l,y=0或y=2,

贝i」z=x+y的值可能是-1,1,3.

故答案为3.

14.-23由AG8={-1},矢口-1EB,

・・・(-1)2-(-1)4=0,解得r=-2f

••・8={X/X2-X-2=0}={-1,2},

又A\JB={-lf2},AnB={-1},

・•.A={x/x2+px+q=0}={-l},即方程X2+px+q=0有两个相同的实数根-1,

••0=『2-4q=O,且(-l)2+p(-l)+q=0,

解得p=2,q=l.所以p+q=3.

15.[3,5]由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20-gt)万亩,则税收收入为(20-；)

x24000xf%.由题意'5)整理得t2-8t+15£0,解得3W&5.

20-~tx24000xt%>9000,

当耕地占用税率为3%~5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元.

10

--•t的范围是［3,5］.

16.①甲

②答案不唯一，合理即可.

如:已知。>0力>0,求z=(a+b)(—+工)的最小值.

ab

/ii\b、a

甲:z=(a+b)(J_+_L)=1+二」1N4,

abab

乙:z=(a+b)V-2、况r♦2___=4

au.・

ab

I7.iiERJ3bc-ad>O,bd>O,--bc>ad,'>Q

Td，

•­•be-*>ad-1，即:/1之上+1,

~bd~bd~T~b'db

.c+d>a+〃即〃+/?<c+d

..丁一~r'、~T~~T

18.解(1)当a=l时，集合/4={X/1<X<3},B={X/-1<X<3}.ACA={x/x<l或x>3},故

u

(Q/\］nB={x/-l<x<lJ.

(2)；AU8=83.AUB,解得IMQ<L

a+2G3,

实数a的取值范围是［-1,1).

19.角车由X2-4X-12<0W-2<X<6,

故集合A={x1-2<x<6},

［：|IX2-2x+l-m2=0得x=l-m,x=l+m,

因为m>0,故集合8={x/l-m<x<l+m,m>0}.

若选择条件①，即XGA是XG8成立的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,

则有上"日-2,_"?€2解得m、5,

1+/?/>614-m>6,

所以，实数m的取值范围是［5,+8).

若选择条件②，即XEA是XW8成立的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,

11

m>-2,&m>-2,

则有l+m£6,或l+mg6,

m>0m>0,

解得0vmw3,所以实数m的取值范围是(0,3].f

若选择条件③，即XSA是XGB成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有I-m=-2，方程组无解,

1+m=6,

所以不存在满足条件的实数m.

20.解(1)由不等式的解集为(-1,2),

可知方程X2-ax-2x+b=0的两根为-1和2,

得｛+2=-1+2,解得a=_i,b=-2.

b=-lx2,

(2)若b=2a,原不等式可化为X2-(a+2]x+2a<0;

因止匕(x-a)(x-2)<0.

①当a<2时，原不等式等价于a<x<2;

②当a=2时，原不等式等价于(x-2)*0,解集为空集；

③当a>2时，原不等式等价于2vxva