2019年四川省广元市中考数学试卷及解析

2019年四川省广元市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的、

1、（3分）-8的相反数是（)

1

A、B、-8C、8D

84

2、（3分）下列运算中正确的是（)

A、a5+a5=ai()B、/C>=D、(-2=,“6

3、（3分）函数的自变量x的取值范围是（)

A、x>lB、x<lC、xWlD、

4、（3分）如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的中位数为（）

A、5B、6C、7D、9

5、（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法、“牟合方盖”

是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体、如

图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

6、（3分）如图，AB,AC分别是。。的直径和弦，于点连接5。，BC,且45

A、2辰B、4C、2^13D、4.8

’3（x+l）>xT

7、（3分）不等式组|x+7、的非负整数解的个数是（）

学>2x-l

A、3B、4C、5D、6

8、（3分）如图，点P是菱形ABC。边上的动点，它从点4出发沿A-B-C—。路径匀速

运动到点。，设的面积为y,尸点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为

9、（3分）如图，在正方形A8CD的对角线AC上取一点E、使得/CQE=15°,连接BE

并延长BE到R使CT=C8,即与CD相交于点若AB=1,有下列结论：①BE=

DE；②CE+DE=EF；③S^DEC=-1-*；④揩=2«-1、则其中正确的结论有（

A、①②③B、①②③④C、①②④D、①③④

10、（3分）如图，过点Ao（0,1）作y轴的垂线交直线/：于点Ai,过点Ai作直

线/的垂线，交y轴于点A2,过点A2作y轴的垂线交直线/于点A3,…，这样依次下去,

得到△A0A1A2,AA2A3A4,Z\A4A5A6,…，其面积分别记为Si,S2,S3,…，则Sioo为

()

A、(岑1)10°B、(3«)1°°C、373X4199D、3A/3X2395

二、填空题（每小颖3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.

11>（3分）分解因式：_4〃=

12、（3分）若关于尤的一元二次方程办2_了-工=0（aWO）有两个不相等的实数根，则点

4

P(a+1,-fl-3)在第象限、

13、（3分）如图，△ABC中，ZABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°

得到△OEC,连接8。，则的值是

14、（3分）如图，△A8C是。。的内接三角形，且是。。的直径，点尸为。。上的动

点，且/8PC=60°,。。的半径为6,则点尸到AC距离的最大值是.

C

15、（3分）如图，抛物线y—a^+bx+c（aWO）过点（-1,0）,（0,2）,且顶点在第一象

限，设M=4a+2b+c,则M的取值范围是、

三、解答题（共75分）要求写出必要的解答步骤或证明过程.

16、（6分）计算：|V3-2|+（TT-2019）0-（-A）」+3tan30°

3

17、（6分）先化简：（2-X-,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求

xTX2-4X+4

值、

18、（7分）如图，已知：在△ABC中，NA4c=90°，延长A4到点。，使点

2

E,尸分别是边8C,AC的中点、求证：DF=BE、

19、（8分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开

销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四

种：A、白开水，B、瓶装矿泉水，C、碳酸饮料，。、非碳酸饮料、根据统计结果绘制如

下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

BCD饮品

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学

每天用于饮品的人均花费是多少元?

饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料

平均价格（元/瓶）0234

（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位

班长记为A,B,其余三位记为C,D,E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率、

20、（8分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种

水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的

数量相同、

（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？

（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种

水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决

定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商

应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？

21、（8分）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只

在A的西北方向的C处，海监船航行L5小时到达8处时接到报警，需巡查此可疑船只，

此时可疑船只仍在8的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向

逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在。处海监船追到可疑船只，D在B

的北偏西60°方向、（以下结果保留根号）

（1）求8,C两处之间的距离;

(2)求海监船追到可疑船只所用的时间、

22、(10分)如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点8(0,7),与反比例函数

>=二贵在第二象限内的图象相交于点A(-1,。)、

x

(1)求直线A8的解析式；

(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E,与y轴交于

点。，求△ACD的面积；

(3)设直线的解析式为y=:内+小根据图象直接写出不等式■的解集、

23、(10分)如图，是。。的直径，点尸是BA延长线上一点，过点P作。。的切线PC,

切点是C,过点C作弦于E,连接CO,CB、

(1)求证：尸。是。。的切线；

(2)若AB=10,tanB=A,求B4的长;

2

(3)试探究线段AB,OE,0P之间的数量关系，并说明理由、

24、（12分）如图，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于A,8两点，过A,8两点的抛物

线yuo^+bx+c与x轴交于点C(-1,0)、

（1）求抛物线的解析式;

（2）连接8C,若点E是线段AC上的一个动点（不与A,C重合），过点E作E尸〃BC,

交AB于点尸，当的面积是下■时，求点E的坐标；

2

（3）在（2）的结论下，将ABE尸绕点/旋转180°得48'E'E试判断点E'是否在

抛物线上，并说明理由、

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的、

1、（3分）-8的相反数是（）

A、-工B、-8C、8D、工

88

题目分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案、

试题解答：解：-8的相反数是8,

故选：C、

点评：主要考查相反数的概念及性质、相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反

数，0的相反数是0、

2、（3分）下列运算中正确的是（）

AA、az-,5+।45———ci10DT）>a7_2•_a———a6「C、a3.2———a6nD、（\~_ci3）\—2———_a6

题目分析：分别根据合并同类项的法则、同底数幕的除法、同底数幕的乘法、积的乘方

化简即可判断、

试题解答：解：A、a5+a5^2a5,故选项A不合题意；

B、c^^-a—a6,故选项B符合题意；

C、CZ3,6Z2=O5,故选项C不合题意；

D、（-CZ3）2=°6,故选项。不合题意、

故选：B、

点评：本题主要考查了幕的运算法则，熟练掌握法则是解答本题的关键、

3、（3分）函数>=汇1的自变量尤的取值范围是（）

A、x>1B、x<1C、D、

题目分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数、

试题解答：解：根据题意得尤-1N0,

解得X21、

故选：D、

点评：本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义、函数自变量的范围一般

从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数、

4、（3分）如果一组数据6,7,尤，9,5的平均数是2r,那么这组数据的中位数为（）

A、5B、6C、7D、9

题目分析：直接利用平均数的求法进而得出尤的值，再利用中位数的定义求出答案、

试题解答：解：：一组数据6,7,尤，9,5的平均数是2x,

.,.6+7+x+9+5=2xX5,

解得：x=3,

则从大到小排列为：3,5,6,7,9,

故这组数据的中位数为：6、

故选：B、

点评：此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出尤的值是解题关键、

5、（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法、“牟合方盖”

是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体、如

图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）

DS

题目分析：根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案、

试题解答：解：该几何体的俯视图是:

故选：A、

点评：此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形

是解决本题的关键、

6、（3分）如图，AB,AC分别是的直径和弦，OO_LAC于点。，连接8D,BC,且A8

=10,AC=8,则BD的长为（)

C、2713D、4.8

题目分析：先根据圆周角定理得/AC8=90°,则利用勾股定理计算出BC=6,再根据

垂径定理得到Cr>=AO=LlC=4,然后利用勾股定理计算BD的长、

2

试题解答：解：为直径，

/.ZACB=90°,

BC=VAB2-AC2=V102-82=6,

"JODLAC,

.\CD=AD=AAC=4,

2

在RtzXCB。中，BD=J42+62=2A/13>

故选：c、

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆

周角所对的弦是直径、也考查了垂径定理、

’3（x+l）＞xT

7、（3分）不等式组Jx+7、的非负整数解的个数是（）

学》2x-l

A、3B、4C、5D、6

题目分析：先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解、

3(x+l)>x-l①

试题解答:解：x+7

>2x-l②

解①得：尤＞-2,

解②得忘3,

则不等式组的解集为-2＜xW3、

故非负整数解为0,1,2,3共4个

故选：B、

点评：考查不等式组的解法及整数解的确定、求不等式组的解集，解不等式组应遵循以

下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了、

8、（3分）如图，点P是菱形ABC。边上的动点，它从点A出发沿A-B-C—。路径匀速

运动到点。，设△外。的面积为》尸点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为

题目分析：设菱形的高为九即是一个定值，再分点尸在上，在8C上和在上三

种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可、

试题解答：解：分三种情况：

①当尸在A8边上时，如图1,

设菱形的高为h,

y——AP'h,

2

随x的增大而增大，/i不变，

二〉随x的增大而增大，

故选项C和。不正确；

②当P在边3c上时，如图2,

y——ADth,

2

AD和/?都不变，

...在这个过程中，y不变，

故选项B不正确；

③当P在边上时，如图3,

y=IpD",

-2

：尸£）随尤的增大而减小，力不变，

随犬的增大而减小，

：产点从点A出发沿在A-BfC-D路径匀速运动到点D,

，尸在三条线段上运动的时间相同，

故选项A正确；

点评：本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点尸的位置的不同，分三段

求出△抬。的面积的表达式是解题的关键、

9、（3分）如图，在正方形A8CD的对角线AC上取一点E、使得/CDE=15°,连接8E

并延长8E到凡使CF=C8,8/与CD相交于点H,若A8=L有下列结论：®BE=

DE；②CE+DE=EF；③S&DEC=1.普④揩=2正-1、则其中正确的结论有（）

A、①②③B、①②③④C、①②④D、①③④

题目分析：①由正方形的性质可以得出AB=AD,ZBAC=ZDAC=45°,通过证明^

ABE^AADE,就可以得出BE=Z)E；

②在EF上取一点G,使EG=EC,连结CG,再通过条件证明△OECgZkFGC就可以得

出CE+DE=EF-,

③过3作交于M,根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式即可求出高

DM,根据三角形的面积公式即可求得SADEC=」-金；

412

④解直角三角形求得根据等边三角形性质得到CG=CE,然后通过证得△QEHs

△CGH,求得"_=m=«+1、

HCCG

试题解答：证明：①•••四边形A8CD是正方形，

：.AB=AD,ZABC=ZADC=90°,ZBAC=ZDAC=ZACB=ZACD=45°、

在△ABE和△AOE中，

'AB=AD

<NBAC=/DAC，

,AE=AE

AAABE^/\ADE(SAS),

：.BE=DE,故①正确；

②在EF上取一点G,使EG=EC,连结CG,

•/AABE咨AADE,

：.ZABE=/ADE、

:./CBE=/CDE,

•:BC=CF,

：.ZCBE=ZF,

：.ZCBE=ZCDE=NR

VZCDE=15°,

：.ZCBE=15°,

：.ZCEG=6Q°、

•：CE=GE,

：.ACEG是等边三角形、

：.ZCGE=60°,CE=GC,

・・・NGC尸=45°,

JZECD=GCF.

在△DEC和△/GC中，

'CE=GC

<ZECD=ZGCF，

CD=CF

JADEC^AFGC(SAS),

:.DE=GF、

•：EF=EG+GF,

：.EF=CE+EDf故②正确；

③过D作DM_LAC交于M,

根据勾股定理求出AC=J5，

由面积公式得：—ADXDC^—ACXDM,

22

2

VZZ)CA=45°,NAED=60°,

；.CM=返，EM=旦,

26

CE=CM-加=返-返

26

.'.S^DEC——CEXDM——-故③正确;

2412

④在RtZkDEM中，DE=2ME=噂,

「△ECG是等边三角形，

:.CG=CE=^^-迎,

26

:/DEF=NEGC=60°,

C.DE//CG,

:.△DEHs^CGH,

返

•.•也=理=仁3右=a+i,故④错误;

HCCGV2V6

2~

综上，正确的结论有①②③，

点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股

定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证

明是解此题的关键、

10、(3分)如图，过点Ao(0,1)作y轴的垂线交直线/：于点Ai,过点Ai作直

线/的垂线，交y轴于点A2,过点A2作y轴的垂线交直线/于点A3,…，这样依次下去,

得到△A0A1A2,2A3A4,Z\A4245A6,…，其面积分别记为51,S2,S3,…，则S100为

()

A、（岑③）I。。B、（3正）100C、373X4199D、373X2395

题目分析：本题需先求出。4和。42的长，再根据题意得出04=2",把纵坐标代入解

析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得Sioo、

试题解答：解：•点Ao的坐标是（0,1）,

.9.OAo=l,

•.•点4在直线丫=返天上，

-3

.'.OAi=2,AOAI=A/3»

(?A2=4,

・•・043=8,

.•.04=16,

得出0An=2n,

n

：.AnAn+l=2--^

・•・0498=2198,A198A199=2198-V3,

VSi=-i-(4-l)Y=_|y,

A2A1〃A200Al99,

△AoA1A2sAA198Al99A200，

.Sg(2198m

SiM

S=2396•可!_=3ax2395

故选：D、

点评：本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何

根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用、

二、填空题(每小颖3分，共15分)把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.

11、(3分)分解因式：」3-4。=a(a+2)(a-2)、

题目分析：原式提取。，再利用平方差公式分解即可、

试题解答：解：原式=a(a2-4)

=a(d+2)(a-2)、

故答案为：a(a+2)(a-2)

点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题

的关键、

12、(3分)若关于x的一元二次方程办2-x--l=0QW0)有两个不相等的实数根，则点

4

P(a+1,-a-3)在第四象限、

题目分析：由二次项系数非零及根的判别式△>(),即可得出关于a的一元一次不等式组,

解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出。+1>0,-a-3<0,进而可得出

点尸在第四象限，此题得解、

试题解答：解：,••关于尤的一元二次方程办2-x-1=0(a#0)有两个不相等的实数根,

4

%卢0

2

…A=(-l)-4Xax(T)>0'

解得：a>-1且aWO、

/.a+1>0,-a-3<0,

点尸（a+1,-a-3）在第四象限、

故答案为：四、

点评：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非

零及根的判别式△>（）,找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键、

13、（3分）如图，△ABC中，ZABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°

得到△£>£（?,连接则瓦）2的值是8+4返、

题目分析：连接A。，由旋转的性质可得CA=CQ,ZACD=6Q°,得到△AC。为等边

三角形，由A8=BC,CD=AD,得出8。垂直平分AC,于是求出8O=L1C=如，OD

2

=C£）«sin60°=戈，可得80=80+0。，即可求解、

试题解答：解：如图，连接A。，设AC与BO交于点O,

解：如图，连接AM,

由题意得：CA=CD,ZACD=60°

...△AC。为等边三角形,

：.AD=CD,ZDAC=ZDCA=ZADC=6Q°；

VZABC=90°,AB=BC=2,

：.AC=CD=2\I2,

"：AB=BC,CD=AD,

...BD垂直平分AC,

.•.BO=AAC=V2-OD=CZ）・sin60。=娓,

.,.BD=V2+V6

：.BD2^（V2+V6）2=8+473，

故答案为8+4A/3

点评：本题考查了图形的变换-旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性

质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键、

14、（3分）如图，ZVIBC是。。的内接三角形，且是。。的直径，点尸为。。上的动

点，且NBPC=60°,O。的半径为6,则点尸到AC距离的最大值是6+3立、

题目分析：过。作OM_LAC于延长M。交。。于P,则此时，点尸到AC距离的最

大，且点P到AC距离的最大值=尸加，解直角三角形即可得到结论、

试题解答：解：过。作。MLAC于延长交。。于P,

则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值=PM,

•?OMLAC,ZA=ZBPC=60°,。。的半径为6,

・•・OP=OA=6,

：.0乂=昱0人=虫-义6=3弧,

22

，PM=OP+OM=6+3«,

，则点P到AC距离的最大值是6+3«,

故答案为：6+3«、

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅

助线是解题的关键、

15、（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a#0）过点（-1,0）,（0,2）,且顶点在第一象

限，设M=4a+2b+c,则M的取值范围是-6<M<6、

题目分析：将（T，0）与（0,2）代入yua^+bx+c,可知6=a+2,利用对称轴可知:

a>-2,从而可知M的取值范围、

试题解答：解：将（-1,0）与（0,2）代入>=0?+区+°,

••0~^ci~b+c,2'=c.

:・b=a+2,

-^->o,a<0,

2a

：.b>0,

...〃>-2,

J-2<a<0,

・・・M=4〃+2(〃+2)+2

=6Q+6

=6(Q+1)

J-6<M<6,

故答案为：-6VMV6；

点评：本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中

等题型、

三、解答题(共75分)要求写出必要的解答步骤或证明过程.

16、(6分)计算：173-2|+(TT-2019)0-(-A)1+3tan30°

3

题目分析：直接利用绝对值的性质、零指数幕、负指数塞的性质以及特殊角的三角函数

值分别化简得出答案、

试题解答：解：原式=2-3+1-(-3)+3X2!^_=2-3+1+3+，§=6、

3

点评：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键、

17、(6分)先化简：(工-X-1)・二^—,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求

x-1X2~4X+4

值、

题目分析：直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案、

试题解答：解：原式=[工-x(x-l)一9].X1

x-lx-1x-1(x-2)2

=(2r)(2+x).x-1

x-1(X-2)2

=2+x

百，

当x=l,2时分式无意义，

将尤=3,代入原式得：

则原式=)-=-5、

-1

点评：此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键、

18、(7分)如图，已知：在△ABC中，/A4c=90°，延长A4到点D使点

2

E,尸分别是边BC,AC的中点、求证：DF=BE、

题目分析：证出FE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出五FE//AB,

2

得出NEFC=NBAC=90°,得出/D4F=/EFC,AD=FE,证明得出

DF=EC,即可得出结论、

试题解答：证明：•.•/8AC=9(T,

AZDAF=90°,

•:点E,尸分别是边BC,AC的中点，

：.AF=FC,BE=EC,FE是△ABC的中位线，

.-.F£=AAB,FE//AB,

2

:./EFC=NBAC=90°,

ZDAF=AEFC,

•：AD=^AB,

2

：.AD=FE,

AD=FE

在△A。尸和△BEC中，，ZDAF=ZEFC，

,AF=FC

:.AADF%AFEC（SAS）,

：.DF=EC,

:.DF=BE、

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质；熟练

掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键、

19、（8分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开

销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四

种：A、白开水，B、瓶装矿泉水，C、碳酸饮料，。、非碳酸饮料、根据统计结果绘制如

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；

（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学

每天用于饮品的人均花费是多少元？

饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料

平均价格（元/瓶）0234

（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位

班长记为A,B,其余三位记为C,D,E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率、

题目分析：（1）由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和

等于总人数求出C的人数即可补全图形；

（2）根据加权平均数的定义计算可得；

（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可

得、

试题解答：解：（1）这个班级的学生人数为15・30%=50（人）,

选择C饮品的人数为50-（10+15+5）=20（人）,

补全图形如下:

⑵10X0+1502+20X3+5X（元）

50,，

答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元;

（3）画树状图如下：

ABCDE

BCDEACDEABDEABCEABCD

由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，

所以恰好抽到2名班长的概率为2=_L、

2010

点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率、列表法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题

时要注意此题是放回实验还是不放回实验、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比、

20、（8分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种

水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的

数量相同、

（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？

（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种

水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决

定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商

应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？

题目分析：（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是

多少元；

（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不

超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范

围，最后根据一次函数的性质即可解答本题、

试题解答：解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+4）元，

-8-0-0-=-1--0-0-0-,

xx+4

解得，x=16,

经检验，x=16是原分式方程的解，

；.无+4=20,

答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；

（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（200-a）千克，利润为w元,

w(20-16)a+(25-20)(200-a)=-a+1000,

•••甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，

.[a<3(200-a)

"116a+20(200-a)<342C，

解得，145WaW150,

...当a=145时，w取得最大值，此时w=855,200-a=55,

答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是

855元、

点评：本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的

关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答、

21、(8分)如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只

在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达8处时接到报警，需巡查此可疑船只，

此时可疑船只仍在8的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向

逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在。处海监船追到可疑船只，。在8

的北偏西60°方向、(以下结果保留根号)

(1)求8,C两处之间的距离；

(2)求海监船追到可疑船只所用的时间、

题目分析：(1)作CE-LAB于E,则/CEA=90°,由题意得：AB=60X1.5=90,ZCAB

=45°,/CBN=3Q°,NDBN=60°,得出△ACE是等腰直角三角形，ZCB£=60°,

得出CE=AE,ZBCE=30°,由直角三角形的性质得出BC=2BE,设BE

=x,贝IjAE=BE+AB=x+9Q,得出方程«x=x+90,解得：x=45«+45,得

出BC=2x=90V3+90即可；

（2）作。口LAB于尸，则。F=CE=J§x=135+45愿，NDBF=30°,由直角三角形的

性质得出BD=2DF=270+90y/3,即可得出结果、

试题解答：解：⑴作CELAB于E,如图1所示：

则/CEA=90°,

由题意得：48=60X1.5=90（海里），ZCAB=45°,NCBN=30°,/DBN=60°,

.♦.△ACE是等腰直角三角形，ZCBE=60°,

CE=AE,ZBCE=3Q°,

?.CE=43BE,BC=2BE,

设8E=尤，贝！|CE=V§x,AE=BE+AB=x+9Q,

V^=x+90,

解得：x=45愿+45,

.•.8C=2x=90V^+90；

答：B,C两处之间的距离为（90«+90）海里；

（2）作。F_L4B于F,如图2所示：

则。135+45匾，ZDBF=90°-60°=30°,

：.BD=2DF=27O+9OVS，

海监船追到可疑船只所用的时间为27°+9°遮=3+近（小时）；

90

答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3日后）小时、

点评：本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线

是解题的关键、

22、（10分）如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点8（0,7）,与反比例函数

>=二5在第二象限内的图象相交于点A（-1,a）、

（1）求直线A8的解析式；

（2）将直线向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E,与y轴交于

点。，求△AC。的面积；

（3）设直线的解析式为根据图象直接写出不等式■的解集、

题目分析：（1）将点A（-l,a）代入反比例函数丫=二贵求出。的值，确定出A的坐标,

x

再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；

（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为>=-尤-2,从而求得。的坐标，联

立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CA8的面积，然后由同底等

高的两三角形面积相等可得△AC。与ACDB面积相等；

(3)根据图象即可求得、

试题解答：解：(D):点A(-1,a)在反比例函数y=父■的图象上，

X

."="^■=8,

-1

.*.A(-1,8),

;点B(0,7),

设直线AB的解析式为y=kx+1,

•.•直线AB过点A(-1,8),

•*.8=-k+1,解得k--1,

直线AB的解析式为尸-x+7；

(2)..•将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=-尤-2,

：.D(0,-2),

.•.80=7+2=9,

联立「8,解得卜I或卜=2,

y=-Iy=21y=-4

：.C(-4,2),E(2,-4),

连接BC,则△CB。的面积=1X9X4=18,

2

由平行线间的距离处处相等可得△AC。与△CQB面积相等，

...△AC。的面积为18、

(3)VC(-4,2),E(2,-4),

不等式mx+nW―■的解集是：-4Wx<0或x22、

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角

形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键、

23、(10分)如图，AB是。。的直径，点尸是BA延长线上一点，过点P作。。的切线PC,

切点是C,过点C作弦于E,连接CO,CB、

(1)求证：尸。是。。的切线；

(2)若AB=10,tanB=—,求E4的长；

2

(3)试探究线段A8,OE,OP之间的数量关系，并说明理由、

题目分析：(1)连接。。，证明/。。2=90°即可；

(2)由tan8=」＞,可得可求出AC,BC；再求出CE,0E,由△OCE'SAOPC,

2BC2

可求出OP,PA；

(3)由△OCES/^OPC或由遐=cos/COP=里得0c2=。£.。尸，再将。。=_1_人2代

OC0P2

入即可、

试题解答：解：(1)证明：连接OD,

•・,PC是。。的切线，

：.ZPCO=90°,即/尸C0+NOCD=9O°,

*：OA±CD

：.CE=DE

：.PC=PD