二重积分概念

关于二重积分概念例第2页,共35页，2024年2月25日，星期天掌握1.每一种积分的实际意义4.每一种积分的计算方法（常规，技巧）3.每一种积分的性质2.每一种积分的特定和式极限写法第3页,共35页，2024年2月25日，星期天一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分第4页,共35页，2024年2月25日，星期天第六章重积分二重积分三重积分第5页,共35页，2024年2月25日，星期天三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质

第八章第6页,共35页，2024年2月25日，星期天解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,代替,作和,取极限”以直代曲第7页,共35页，2024年2月25日，星期天1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“代替”在每个3)“作和”则中任取一点小曲顶柱体第8页,共35页，2024年2月25日，星期天4)“取极限”令第9页,共35页，2024年2月25日，星期天2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为

,则若非常数,仍可用其面密解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.“分割,代替,作和,取极限”第10页,共35页，2024年2月25日，星期天2)“代替”中任取一点3)“作和”4)“取极限”则第

k小块的质量第11页,共35页，2024年2月25日，星期天两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:平面薄片的质量:“分割,代替,作和,取极限”第12页,共35页，2024年2月25日，星期天二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,第13页,共35页，2024年2月25日，星期天积分和思考1：与哪些因素有关#2013050201第14页,共35页，2024年2月25日，星期天二重积分与哪些因素有关#2013050202思考2：第15页,共35页，2024年2月25日，星期天注:（1）（2）第16页,共35页，2024年2月25日，星期天如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作（3）第17页,共35页，2024年2月25日，星期天二重积分存在定理:若函数(证明略)定理1.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则第18页,共35页，2024年2月25日，星期天思考1写出二重积分的值，其中#2013050206第19页,共35页，2024年2月25日，星期天解该立体是一个半径为1的半球体，

由二重积分的几何意义知，要求的二重积分是一个以曲面为顶、以为底的曲顶柱体的体积例1写出二重积分的值，其中

半球体的体积为第20页,共35页，2024年2月25日，星期天三、二重积分的性质(k

为常数)

为D的面积,则线性性第21页,共35页，2024年2月25日，星期天特别,由于则4.若在D上5.设D的面积为

,则有保序性绝对可积性估值定理第22页,共35页，2024年2月25日，星期天6.(二重积分的中值定理)证:

由性质5可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此f(x,y)在D上平均值第23页,共35页，2024年2月25日，星期天7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第24页,共35页，2024年2月25日，星期天7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第25页,共35页，2024年2月25日，星期天7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第26页,共35页，2024年2月25日，星期天7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第27页,共35页，2024年2月25日，星期天7（对称性）-----不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性第28页,共35页，2024年2月25日，星期天解第29页,共35页，2024年2月25日，星期天其中比较下列积分的大小:#2013050203第30页,共35页，2024年2月25日，星期天比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上第31页,共35页，2024年2月25日，星期天#2013050204第32页,共35页，