中考数学解题技巧 40 二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题思路指导：·直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余.·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利用三角函数知识求解三角形各边的长度；·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相等，纵坐标和相等列出方程，进而解答.题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题1.（2019·成都中考）如图，抛物线经过点A(－2,5)，与x轴交于点B(－1,0)，C(3,0).（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC’D.若点C’恰好落在抛物线的对称轴上，求点C’和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的解析式.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为：；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1，由翻折知：BC=BC’=4，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则BM=CM=2，∴∠BC’M=30°，∴∠DCM=30°，C’M=2，即C’(1,2)，在Rt△DCM中，DM=CM·tan30°=，∴点D的坐标为（1，）；（3）方法一：根据点P的位置分类讨论：①当P在x轴上方时，如下图所示，连接BQ，C’P，∵△PCQ，△CC’B是等边三角形，∴CQ=CP=PQ，BC=BC’=CC’，∠PCQ=∠C’CB=60°，∴∠BCQ=∠C’CP，∴△BCQ≌△C’CP，∴BQ=C’P，∵BQ=QC，∴C’P=QC=CP，∵BC=BC’，∴BP是CC’的垂直平分线，由折叠知，点D在直线BP上，设BP的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线BP的表达式为：；②当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方，由上知，△QCP、△CC’B为等边三角形，可得：△BCP≌△C’CQ，∴∠CBP=∠CC’Q，由BC’=CC’，C’H⊥BC，∴∠CC’Q=30°，即∠CBP=30°，设BP与y轴交于点N，在Rt△BON中，ON=OB·tan30°=，∴点E的坐标为（0，－），设BP的解析式为：y=mx+n，∴，解得：，∴直线BP的表达式为：；综上所述，直线BP的解析式为：或.方法二：当点Q、点P在x轴上方时，如图所示，连接BQ，易知BQ=QC=PQ，∴∠BPQ=∠QBP，∠BCQ=∠QBC，∠BPQ+∠QBP+∠BCQ+∠QBC=∠PQC=60°，即∠PBC=30°，设BP与y轴交于点H，可得H点坐标为（0，），可得直线BP的解析式为：；当点Q、点P在x轴下方时，如图所示，连接BQ，同理可得：∠PBC=30°，设BP与y轴交于点H，可得H点坐标为（0，－），可得直线BP的解析式为：；综上所述，直线BP的解析式为：或.2.（2019·浙江湖州中考）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tan∠OAC=，D是BC的中点.（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.【答案】见解析【解析】解：（1）∵OA=3，tan∠OAC=，在Rt△AOC中，tan∠OAC=，∴OC=，∵ABCD是矩形，∴BC=OA=3，又D是BC的中点，∴CD=,即D的坐标为（，）（2）①由tan∠OAC=，知：∠OAC=30°，∴∠ACB=∠OAC=30°，若△DBF折叠后，B的落点为B’由折叠性质，知：DB’=DB=DC，∠BDF=∠B’DF，∴∠DB’C=∠ACB=30°，∴∠BDB’=60°，∠BDF=30°，在Rt△BDF中，BF=BD·tan30°=，∵AB=，∴AF=BF=,在△BFD和△AFE中，∠BFD=∠EFA，∠B=∠FAE=90°，AF=BF，∴△BFD≌△AFE，∴AE=BD=即OE=OA+AE=，故E点坐标为（，0）②由题意知：F点横坐标不变为3，而∠DFB=60°，即G点与F点的连线与y轴平行，即G点横坐标不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从O点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.当P点在O点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点D（，）,B（3，）代入解析式，可得：，解得：，即抛物线解析式为：令y=0，得，即E（，0），设直线DE的解析式为：y=kx+b，将D（，）、E（，0）代入得：，令x=3，得y=，即F(3,),由BF=BG得，G（3，）.当P点在M点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将点D（，）,B（3，），M（0，）代入解析式，可得：，抛物线解析式为：令y=0，得，即E（6，0），设直线DE的解析式为：y=kx+b，将D（，）、E（6，0）代入得：，令x=3，得y=，即F(3,),由BF=BG得，G（3，）即G点由（3，）运动至（3，），运动路径长为：－=.题型二、二次函数由增减性求解参数范围及角度相等存在性问题3.（2019·山东德州中考）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）函数的对称轴为：，解得：，x2=4，将（4,0）代入则函数的表达式为得，抛物线的表达式为：；（2）当时，y2≥2，另y=2，得x=－2，x=，∵y1≤y2，∴－2≤a≤a+2，a+2≤，解得：－2≤a≤；（3）点M的坐标为，如图，连接BC，CM，过点D作DG⊥OE于点G，由题意知，OB=OC=4，CG=DG=1，∴△OBC是等腰直角三角形，△CDG是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠DCG=45°，BC=4,CD=，∴∠BCD=180°－∠BCO－∠DCG=90°，∴△BCD为直角三角形，∴tan∠BDC==4，设直线BD的解析式为：y=kx+b，将(4,0)，（1，－5）代入得：，解得：即直线BD的解析式为：，设M坐标为（m，）,过M作MF⊥CE于F，则∠MFC=90°，MF=m，CF=OF－OC=，在Rt△CFM中，tan∠MCF==tan∠BDC=4,∴m=4（），解得：m=，即M点坐标为：.题型三、二次函数中直角三角形判定及圆心轨迹问题4.（2019·湖南怀化中考）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，OB＝1，tan∠ABO＝3，∴OA＝3，OC＝3，即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），将点（0，3）、（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为：P（1，4）；（2）联立y＝﹣x2+2x+3，y=kx－k+3得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），∵S△PMN＝2∴2＝PQ×（x2﹣x1），即x2﹣x1＝4，∴（x2﹣x1）2＝16，即（x1+x2）2－2x1x2=16，可得：k＝±；②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），由勾股定理得：，,,∴====∴,故无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝，y＝，整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．题型四、平行四边形及两直线平行存在性问题5.（2019·江苏连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）当x=2时，=－3，即A点坐标为（2，－3），将A（2，－3）,C（0，－3）代入得：，解得：，即抛物线L1的函数表达式为：.（2）设P点坐标为（m，m2－2m－3），点Q坐标为（n，），∵以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，①若ACPQ为平行四边形时，，解得：或∵m=0时，P与C重合，舍去，∴P点坐标为（－1,0）；②若ACQP为平行四边形时，，解得：或∴P点坐标为（3,0），；③若AQCP为平行四边形时，，解得：（舍）或∴P点坐标为（－3,12）；综上所述，点P的坐标为：（－1,0），（3,0），，（－3,12）.（3）当点P在y轴左侧时，不存在动点R使得CA平分∠PCR，当点P