北师大版七年级数学下册同步精讲精练5.1-5.2轴对称现象与轴对称性质-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

5.1-5.2轴对称图形与轴对称性质知识点一知识点一轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.知识点知识点二轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识点知识点三轴对称与轴对称图形的区别和联系要点诠释:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．题型一生活中的轴对称现象【例题1】（2021春•威宁县校级期末）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解题技巧提炼本题考查了生活中的轴对称现象，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．【变式1-1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，．若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证为A． B． C． D．【变式1-2】（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品．【变式1-3】（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．题型二轴对称图形【例题2】（2022秋•黄陂区校级期末）下列几何图形不一定是轴对称图形的是A． B． C． D．解题技巧提炼本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．【变式2-1】（2022秋•临渭区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是A． B． C． D．【变式2-2】（2022秋•泰兴市期末）下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是A． B． C． D．【变式2-3】（2022秋•沙依巴克区校级期末）下面图形中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．题型三轴对称的性质【例题3】（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是．解题技巧提炼本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一．【变式3-1】（2022秋•河北期中）如图，和△成轴对称，若，，则为A． B． C． D．【变式3-2】（2022秋•宝应县月考）如图，与△关于直线对称，，，则的度数为A． B． C． D．【变式3-3】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．题型四最短路径【例题4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角中，；点是边上的一个定点，点、分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是A． B． C． D．解题技巧提炼本题考查轴对称的性质，关键是分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，找到周长最小的．【变式4-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则A． B． C． D．【变式4-2】（2022秋•南沙区校级期末）如图，在中，，平分，点是上的一动点，点是上一动点，连接，，若，，则的最小值是A． B．6 C． D．10【变式4-3】（2022秋•天山区校级期末）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是．题型五折叠问题【例题5】（2022秋•河北期末）如图所示，把一张长方形的纸片沿着折叠，若，则的度数为A． B． C． D．解题技巧提炼该题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，准确找出图形中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断或解答．【变式5-1】（2022秋•丰满区期末）如图，在中，，，，将沿折叠，点的对应点是点，则的度数是．【变式5-2】（2022秋•定襄县期末）如图，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，，两点的对应点分别为点，．若，则．【变式5-3】（2022秋•市北区校级期末）如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为A． B． C． D．5.1-5.2轴对称图形与轴对称性质知识点一知识点一轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.知识点知识点二轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识点知识点三轴对称与轴对称图形的区别和联系要点诠释:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．题型一生活中的轴对称现象【例题1】（2021春•威宁县校级期末）在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据轴对称的定义，找出成轴对称的字，即可解答．【解答】解：根据轴对称的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个；故选：．解题技巧提炼本题考查了生活中的轴对称现象，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．【变式1-1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，．若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证为A． B． C． D．【分析】利用，进而求出的度数，再利用即可得出答案．【解答】解：由题意可得：，，，，．故选：．【变式1-2】（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品书．【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了．【解答】解：补全字母，如图所示：故这个单词所指的物品是书．故答案为：书．【变式1-3】（2022•丰顺县校级开学）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：题型二轴对称图形【例题2】（2022秋•黄陂区校级期末）下列几何图形不一定是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．【解答】解：、不是轴对称图形，则此项符合题意；、是轴对称图形，则此项不符合题意；、是轴对称图形，则此项不符合题意；、是轴对称图形，则此项不符合题意．故选：．解题技巧提炼本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．【变式2-1】（2022秋•临渭区期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：、不是轴对称图形；、不是轴对称图形；、是轴对称图形；、不是轴对称图形；故选：．【变式2-2】（2022秋•泰兴市期末）下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．是轴对称图形，故此选项符合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：．【变式2-3】（2022秋•沙依巴克区校级期末）下面图形中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项、、的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：．题型三轴对称的性质【例题3】（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是2．【分析】根据是等边三角形的高可知，是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出，故阴影部分的面积等于的面积，由锐角三角函数的定义可求出的长，再由三角形的面积公式即可求解．【解答】解：是等边三角形的高，是线段的垂直平分线，，，，，，故答案为：2．解题技巧提炼本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一．【变式3-1】（2022秋•河北期中）如图，和△成轴对称，若，，则为A． B． C． D．【分析】根据成轴对称的性质结合三角形内角和定理可得结果．【解答】解：和△成轴对称，，，故选：．【变式3-2】（2022秋•宝应县月考）如图，与△关于直线对称，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】先根据和△关于直线对称得出△，故可得出，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：和△关于直线对称，，，△，，，，，，．故选：．【变式3-3】（2022秋•宝山区期末）圆是轴对称图形，它的对称轴有条．【分析】由轴对称的性质，可得圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条．故答案为：无数．题型四最短路径【例题4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角中，；点是边上的一个定点，点、分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是A． B． C． D．【分析】分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，由条件求出的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到，从而求出的度数．【解答】解：分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，，，，，，，，，，．故选：．解题技巧提炼本题考查轴对称的性质，关键是分别作关于，的对称点，，连接，交于，交于，找到周长最小的．【变式4-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则A． B． C． D．【分析】设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数．【解答】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于．此时，的周长最小．连接，，，．点与点关于对称，垂直平分，，，，同理，可得，，．，，．又的周长，，是等边三角形，，．故选：．【变式4-2】（2022秋•南沙区校级期末）如图，在中，，平分，点是上的一动点，点是上一动点，连接，，若，，则的最小值是A． B．6 C． D．10【分析】在上截取，连接，，，交于点，得到是等边三角形，利用等边三角形三线合一，得到，进而得到，找到当，，三点共线时，最小，连接并延长交于，利用等边三角形的三条高线相等，以及，求出的长度，即为的最小值．【解答】解：在上截取，连接，，，交于点，，，是等边三角形，平分，，，，，当，，三点共线时，最小，是等边三角形，是的中点，，连接并延长交于，等边三角形三条高交于一点，且三条高相等，，，，，，，，最小值为．故选：．【变式4-3】（2022秋•天山区校级期末）如图，在中，，，平分，，点、分别为线段、上的动点，则的最小值是6．【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，作关于的对称点，连接，，，当、、三点