半导体器件模拟

关于半导体器件模拟半导体器件模拟器件模拟有两种方法：一种是器件等效电路模拟法；另一种是器件物理模拟法。

(1)器件等效电路模拟法是依据半导体器件的输入、输出特性建立模型分析它们在电路中的作用，而不关心器件内部的微观机理，在电路模拟中常用这种方法。

(2)器件物理模拟法则从器件内部载流子的状态及运动出发，依据器件的几何结构及杂质分布，建立严格的物理模型及数学模型，运算得到器件的性能参数，这种方法能深刻理解器件内部的工作原理、能定量分析器件性能参数与设计参数之间的关系.

第2页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟器件物理模拟技术是70年代以后发展起来的，多年来相继出现了多种具体方法，主要有三种：①有限差分法②有限元法③MonteCarlo法前二种是离散数值模拟法，是目前模拟常规半导体器件的主要方法，其中有限差分法是最早发展起来的，方法比较简单，容易掌握，但是几何边界复杂的半导体器件，用多维有限差分法碰到较大的困难;有限元法与有限差分法相比，对区间的离散方法比较自由，容易适应复杂的器件边界。第3页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟第三种MonteCarlo法是统计模拟法，它以载流子在器件中运动时的散射过程为基础，逐个跟踪每一载流子的运动。MonteCarb法的优点是能对器件的物理过程作深入了解，同时不受器件维数的限制，是目前模拟小尺寸半导体器件的最有力工具。它的缺点是计算冗繁，需要很多机时。

半径典方法:由于器件尺寸的小型化，出现了一些效应，这些效应用经典的方法处理已不可能，需要对传统的经典理论作一些修正，所以称半径典方法。

量子理论模拟法:当半导体器件的尺寸进一步缩小到小于0.1μm时，需要考虑量子效应，相应的模拟方法称为量子理论模拟法。

第4页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在离散数值模拟中，已经给出了一个数学模型，它可以精确分析一个任意的半导体，构成这个数学模型的方程称为基本半导体方程，可以从Max-well方程组和半导体物理知识推出，它们是

（3.1-1）

（3.1-2）（3.1-3）

（3.1-4）（3.1-5）

第5页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟其中（3.1-1）（3.1-2）为半导体连续性方程；（3.1-3）（3.1-4）为半导体电流传输方程；（3.1-5）为泊松方程。在一维情况上方程组可写为：

（3.1-6）

（3.1-7）

（3.1-8）（3.1-9）

（3.1-10）

第6页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟如果是一维模拟软件，只需解上方程组即可，如方程中不含t，即为零，则为稳态分析，含时间t的方程求解为瞬态分析。当然也能相应地求解二、三维方程组。

MEDICI就是二维器件模拟软件.随着器件尺寸的不断缩小，三维效应也愈来愈突出，所以三维模拟软件也应运而生。本章涉及的器件模拟定义为

由工艺模拟得到或自定义的杂质浓度分布输入到器件模拟程序，从电子和空穴的输运方程、连续性方程、泊松方程出发，解出器件中的电势分布和载流子分布，从而得到器件I～V等电特性。第7页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟为了设计分析功率器件，除了求解半导体基本方程组外，通常还要模拟热电现象的相互作用，因为在器件内温度及其分布的变化会显著地影响器件的电特性为此还需解热流方程。其中，ρ和c分别为材料的质量密度和比热，在考虑实际器件应用时，可假定ρ和c对温度的依赖关系小到可以忽略；K（T）和H表示热导和局部产生的热，这些参量需要通过物理模型确定。如果对热的瞬态不感兴趣，可以假定温度对时间的偏微分为零。

第8页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟基本半导体方程组（包括连续性、泊松等方程）的理论基础是漂移扩散理论模型，这是目前器件物理的主流，已在常规器件的模拟或CAD设计中达到实用化，本模型的基本假设有：

①多次碰撞假设：载流子在外电场的漂移用漂移迁移率表示，载流子运动平均行为偏离用扩散系数表示。它们都是电场E的函数。这里的含义是：无论电场变化多快，载流子都能在新的电场值上达到新的平衡态，从而具有新的平均漂移速度和扩散系数，这就只有通过载流子经受多次碰撞才能实现。第9页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟多次碰撞假设要求载流子在器件特征尺寸之内（如MOS栅长，PN结耗尽层宽度等）经受多次随机的碰撞。目前的超大规模IC、超高速IC和微波技术发展，已把器件的特征尺寸推到深亚微米乃至纳米级，电子渡越MOSFET栅下沟道的时间可与电子平均自由时间比拟，这时电子经多次碰撞达到动态平衡的条件就不成立。

②低场条件：在漂移扩散模型中，Jn、Jp的表达式和爱因斯坦关系实际上是玻尔兹曼方程在低场假设条件下采用微扰法所得的近似解。如果器件有很强的不均匀电场、时间上快速的场强变化，就使之与低场假设不相容。

第10页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟③单能谷假设：在漂移扩散模型中，使用平均漂移和扩散的概念描述电荷输运，没有涉及多能谷半导体的考虑。对于象GaAs之类器件，多能谷输运现象往往对器件的工作特性起决定性作用，以此模型就很难处理。鉴于上述的局限性，目前发展了更高级理论及相应的模型，例如玻尔兹曼输运理论，基于此理论的器件模型已构成迄今所有较精确的器件模拟研究的概念性框架，并派生出器件的蒙特卡罗模拟，动量能量守恒，动量能量平衡模型等。更严格地处理超小器件的量子输运理论，仍是当前器件物理工作者探索研究的课题。第11页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟二、与基本半导体方程组相关物理参数

为了模拟器件内部性能，我们必须求解上述的半导体基本方程组，为此首先要考虑与基本方程组联系的几个附加参数，例如迁移率μp、μn，由于电流同迁移率有正比的依赖关系，为了进行模拟，需要通过建立物理参数模型，定量确定适用的、精确的迁移率值。实际上，半导体器件任何定量的，甚至定性的模拟，都取决于这些参数可适用的模型。为此本节将讨论最重要的物理参数模型问题。第12页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟1、载流子迁移率模型我们知道，载流子的迁移率涉及到晶格的热振动，离化杂质、中性杂质、定位、填隙原子、位错，表面以及电子和空穴自身引起的散射等微观机理。由于它们的相互作用是极其复杂的，因而给出精确的模型是困难的。从另一方面讲，为了模拟的目的也不必基于更复杂理论模型的更精确的公式，这样可能导致计算机时的大幅度膨胀，失去模拟的经济价值。所以目前已发表的用唯象表示式作为各种各样实验上观察到的迁移率现象的模型可以使用。

第13页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟当然应根据不同的器件结构和工作环境有选择性的使用。甚至还可以在一定条件下进行进一步简化，这样可以在能基本反映器件性能的前提下节省运算时间。下面我们介绍一些常用的迁移率模型公式。（1）在纯晶体中，载流子散射的最基本过程是载流子同晶体中原子热振动之间的相互作用。这些晶格振动是温度的函数，由所谓“声畸变势晶格散射”引起的迁移率的理论结果为：第14页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟（3.2-1)

(3.2-2)其中：C1是半导体的平均纵向弹性常数；它的数值为105VAScm-3量级；Eac和Eav分别是导带和价带的畸变势常数，它们的数值是几个ev。因为硅和锗有多谷带结构，所以在晶格散射中有光学声子参加（在砷化镓中这个效应甚至起支配作用），迁移率的性能不能由（3.2-1）（3.2-2）式正确地描写能带结构和光学声子引起附加的散射结构。这些效应的详细讨论已超出本讲义范围。

第15页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟为了模拟目的，人们通常用一个简单乘方律，它的系数由拟合实验迁移率值得到：

(3.2-3)(3.2-4)已发表的（3.2-3）、（3.2-4）式中的常数数值、、αn、αp显示出若干分散，这些不同来源的系数汇编在S.赛尔勃赫〔奥〕编的《AnalysisandSimulationofSemiconductorDevices》的表4.1-1晶格迁移率常数中，使用时可查找，这些数据的评价和推荐是相当困难的。第16页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟Sah等人已经发表了一个不同的模型，据称该模型能可靠地估计在4.2到600K温度范围内Si的迁移率值：

(3.2-5)

(3.2-6)这个模型用简单的Mathiessen规则，将由声学声子引起的理论上晶格迁移率同由光学以及谷间声子引起的迁移率分量结合起来。第17页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟(2)作为迁移率模型，我们将考虑的下一个散射机构是离化杂质散射。为此也提出了许多不同的模型公式，值得一提的是Caughey和Thomas提出的描述结合晶格和离化杂质迁移率的一个更实用的方法，他们用一个类费米函数或双曲正切去拟合实验数据：

(3.2-7)其中、、Nrefn,p为迁移率参数，数值可在上提到的S.赛尔勃赫书中表4.1-2，表4.1-3中查到，在不同资料中，这些数据依然存在着若干分散性。由（3.2-7）式可以看出，这时的迁移率与离化杂质浓度N有关。第18页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟Arora等已发表了一个同Canghey和Thomas表达式（3.2-5）、（3.2-6）具有十分相似结构的公式。作为硅，这个公式具有同温度有关的系数。

(3.2-8)

(3.2-9)这些公式在〔250，500〕K温度范围内以及在〔1013，1020〕cm-3离化杂质浓度范围内，最大误差不超过13%。

第19页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟(3)在器件模型中，我们应该考虑的另一种散射机构是载流子一载流子散射。特别是开态的功率器件中。这个效应变得很显著，由于此时自由载流子浓度可增加到远大于掺杂浓度。

Adler提出了一个简单的方法，他在Canghey和Thomas公式，即（3.2-7）分母上加一个附加项：

(3.2-10)第20页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在Adler另一篇文章中又提出一个更为精确的处理方法，这里，由载流子一载流子散射引起的迁移率分量采用以下模型公式：

(3.2-11)这个分量同（3.2-7）式用简单的Mathiessen规则相结合，即:

(3.2-12)第21页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟如果考虑温度的因素，与（3.2-11）等效的表达式为：

(3.2-13)(3.2-13)可与上述的由Mathiessen规则合成。第22页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟(4)作为迁移率模型，下一个效应将考虑高电场下漂移速度的饱和。由载流子加热对漂移速度因而对迁移率影响广泛使用的表示式为：

(3.2-14)其中硅在300K时的临界电场

以及指数βn,p可在有关文献中找到。详见S.塞尔勃赫书中表4.1-4。第23页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟更精确的公式为

(3.2-15)其中：表示电子和空穴的饱和速度值。对于电子βn=2，对于空穴βp=1，由下式可求得

(3.2-16)(3.2-17)

第24页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟2、载流子产生一复合模型在基本方程组中的连续性方程里，我们看到了电子和空穴的产生率Gn和Gp以及电子和空穴的复合率Un和Up这四个物理参数，这样的参数需要用一定的模型公式来确定。半导体电子和空穴的复合，大致分为直接复合和间接复合。直接复合是电子在导带和价带间的直接跃迁。一般地说，带宽度小的材料直接复合起主要作用。间接复合是非平衡载流子通过复合中心的复合，称为SRH（Shockley-Read-Hall）复合。实验表明，硅、锗等半导体材料间接复合起主要作用。

第25页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟当材料中只有一种复合中心能级时，其净复合率为：

(3.2-18)其中：rn、rp分别为杂质能级的电子俘获系数和空穴俘获系数，反映它们俘获电子、空穴的能力。Nt是复合中心浓度，n1及p1为：n1=niexp〔Et-Ei/KT〕p1=niexp〔Ei-Et/KT〕其中Et是杂质能级。第26页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在小注入情况，n型材料少子寿命τp及p型材料中少子寿命τn可分别近似为：分别代入（3.2-18）式可得小注入SRH复合率：

(3.2-19)一般来说,复合中心浓度Nt与掺杂无关，所以τ与掺杂浓度无关。

第27页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在高掺杂情况下，重掺杂会通过增生晶格产生新的复合中心。这时τ与掺杂浓度有关。模拟时可采用以下公式：

(3.2-20)其中参数、、NnrefNpref通过实验确定，也可在有关资料中查到。第28页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在重掺杂半导体材料中，还有一种重要的复合形式，称为俄歇（Auger）复合。它对大功率器件特性有重要的影响。这种复合是电子和空穴的直接复合。在其复合过程中，将多余的能量释放给另一载流子。俄歇复合率为：式中，ΔE是因为掺杂引起有效禁带宽度的窄缩量；nie是考虑了禁带变窄效应后的本征载流子浓度；Cn和Cp称为俄歇俘获系数。它们的数值在不同的文献中存在着明显的分散性.第29页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟通常用在模拟程序中的是Dziewior以及Schmid的数据，这些数据综合在下表中温度〔K〕Cn〔cm6S-1〕CP〔cm6S-1〕772.8×10-317.8×10-323002.8×10-319.9×10-324002.8×10-311.2×10-31第30页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟影响连续性方程中载流子产生率的因素有多种。例如，高能光子注入产生的光激发，或强电场下产生的碰撞电离等外界因素。当强电场产生碰撞电离而引起雪崩倍增效应时，产生率的公式可表示为：其中αn和αp是电子和空穴的电离率，可表示为第31页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟式中的A、b、m是电离率参数，对于Si，它们的数值可由下表给出：

A（cm-1）b（v/cm）m电子3.8×1061.75×1061.0空穴2.25×1073.26×1061.0第32页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟三、半导体基本方程组的求解问题

为了定量描述器件的物理过程，建立起适用于一定区间，并有一定边界条件及初始条件的基本半导体方程组。它们的形式实际是常微分或偏微分方程。微分方程的建立仅仅确定了数学模型，实际应用中还需得到微分方程的解，从而才能反映器件的电特性。解的理想形式是解析式，但求微分方程的解析解通常是很困难的。第33页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟为了克服这一困难，数学上发展了数值形式解的方法,求出区间上某点函数的近似值或相邻点之间的近似解。如果区间上的点取得很密，近似程度好，则其数值解同样能描述实际过程。因这种方法是对函数所在区间分离成小区间后求值。故称离散值解法。离散数值解法的计算工作量很大，尤其当函数在区间中变化急剧时，离散点必须取得很密，其计算工作量往往非人力所能，借助于计算机，上述困难能够克服。这是数十年来，数值分析解法随着计算机的发展而迅速发展的原因。第34页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在讨论基本半导体方程组的数值解法前，首先考虑方程求解的稳定性和收剑速度问题.那么在模拟中首先会遇到变量选取问题。也就是说，变量选取适当与否对方程求解的稳定性、收剑速度等都有很大的影响。(一)、基本方程组因变量的选取几个常见的因变量选取的方法：1、选用（u、v、）的方法：

其中：Ut=KT/q,然后将上两式代入基本方程组进行变量代换。第35页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟这种变量选取的好处可将电流连续性方程转变为u、v的线性偏微分方程，而数学上这种方程的解法较成熟。也就是说从解析研究的角度来看很多情况下选（u、v、）优于其它变量。这种选法的弱点可从上两式看出，当温度为300K时，Ut≈0.026v，这时两式的指数项，当〔-1，1〕V变化时，将变化剧烈约为32个数量级以上，所以采用（u、v、）进行计算只限于低压情况，如果在高压的功率器件的模拟中容易引起计算的上溢，很不实用。第36页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟2、选用（

、

、）的方法：这里、是半导体的准费米势，它们与n、p的关系为：这种变量选取方法的优点：使变量、、具有相同的数量级，从而缓和了变量数值动态变化范围太大的矛盾。这种方法的缺点是变量代换后使电流的关系式，连续性方程与

n、p呈指数非线性形式，方程的形式变复杂了。第37页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟3、选用（、n、p）的方法：这时基本方程组没有什么变形，但是变量、n、p各自数值的数量级有较大的悬殊，在半导体结附近的层区和中性的缓区。它们会表现出极大的行为差别。第38页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟

(二)、基本方程的归一化

由于基本方程中因变量（、n、p）的数量级差别很大，而且在小的和大的空间电荷区，其特性也不相同，对于基本方程结构分析的第一步应适当的定标（即归一化），从计算的观点看，归一化后的方程是很有吸引力的。也就是在求值中不涉及常数运算。可有效地降低运算量。若未归一化的方程组写为以下形式：第39页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟其中：C=Nd–NA为净杂质浓度；R=G-U为净产生/复合率

第40页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟DeMari给出了定标的标准方法，定标因子综合在下表中：

量符号值

x0

KT/qn,p,cc0niDn,DpD01cm2s-1µn,µpD0/0RD0·C0/x02tx02/D0

表中x表示独立空间变量。

第41页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟定标（归一化）后的基本方程就写为：

(1)

(2)(3)(4)

(5)第42页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟这时方程中所用的微分算子是关于定标后的独立变量的，为了简明起见，一个明确的指标（即下标）已被省去。还应注意方程中已倍乘了定标因子的组合。即：对于方程（1）乘了

对于方程（2）和（3）乘了

对于方程（4）和（5）乘了第43页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟定标或者说归一化因子也不是唯一的，下面介绍一种从数学观点看更为严格的定标，定标因子如下表：量符号值

x0max(x-y),x、y€DKT/qn、p、cc0

Dn、DpD0

µn、µpD0/RD0C0/x02tx02/D0第44页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟用这种定标，基本方程变为：

(6)

(7)(8)(9)定标后的电流方程形式与（4）、（5）式相同，类似地，定标后的连续性方程形式也与（2）、（3）式一样，然而有些定标因子的数量级不一样。第45页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟方程（6）至（8）以及电流关系式也已倍乘定标因子的组合，即：对于（6）乘了对于（7）和(8)乘了对于电流表达式乘了第46页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟（三）基本方程的定义域及边界条件半导体基本方程适用于表征器件几何图形的一个受限制的定义域D∈Rn(n=1,2,3)内。原则上，所有半导体器件均为三维结构。然而在许多情况下，被考虑的器件本质坐标是二维甚至是一维的，于是可以假设参数的偏导数以及基本方程中垂直于平面(线)的因变量之偏导数为零。由此，问题就变为一(二)维空间的，从而大大地简化了数值解。第47页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟对于二维或三维问题，D的边界∂D是分段光滑的;对于一维问题，常以两点来表示。原则上，边界可以分离为两部分：∂DP表示对应于真实的“物理”边界的部分，就象Ω接触以及与绝缘材料的界面。∂DA由必须引入的人为边界组成，例如在集成电路中为分离相邻器件而引入的边界。因此，第二类边界并不对应于物理意义的边界。

第48页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟为了描述这种分类可参考图5.1-1，该图表示了平面MOS晶体管理想化二维模拟几何图形。总的模拟定义域以多边形A-B-C-D-E-F-G-H-A为界。要注意的是，基本方程(6)～(8)仅仅在子域人A-B-C-D-E-F-G-H-A上形成。对于绝缘层(由B-C-D-E-B为界的子域)，通常用静电势的Laplace

方程表示特性，此处忽略了任何可动载流子的存在。应该明白，用(5.1-2)及(5.1-3)

式不能计算栅极电流，而且还忽略了氧化层电容的影响。物理的考虑已超出我们讨论的范围。第49页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟边界A-B,E-F,C-D以及B-E可以分别看作表示三个理想接触以及半导体与绝缘层之间界面的物理边界。这些边界形成ａDP。A-H，B-C，D-E，F-G以及G-H可以认为是人为边界。这些边界在实际器件中并不存在，只是为了模拟而引入。显然，这些边界的引入并非完全是任意的。人为边界引入法则：1）根据器件功能的信息，定义某些自然边界，这些边界可将结构完整的器件从其周围分离出来。2）人为边界的引入有时也是为了简化基本方程的数值解。

第50页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟边界G-H就代表了这种边界段。当考虑班MOS晶体管的实际尺寸时，我们知道界面B-E的长度为lµm的量级，而晶片的厚度，即界面与基体之间的距离约为500µm。于是，实际的几何图形是一个长的小条形，对于基本方程的许多经典数值解方法；这会带来灾难性的影响。根据对于班MOS晶体管工作的理解，我们可以推论，从距离界面G-H较远处切割后的模拟几何图形，在M0S晶体管的大多数工作条件下仅引入很小的误差，特别是G-H与基体接触之间的电压降以及沿G-H的势能分布确使人为边界G-H是一个可接受的简化。第51页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟∂DO由物理意义形成的边界可以大致分为三类：

∂DO表示对应于欧姆接触的边界部分；∂DS是表征Sckotty接触的边界部分；而∂DI是与绝缘材料的界面。第52页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟欧姆接触对于静电势的边界条件:通常有一个静电势与总电流密度之间的函数关系。此关系式包括静电势的一阶时间偏导数，垂直于边界的单位矢量以及它对于时间与欧姆接触面积的积分。以下面的隐式关系式来表示：对于由纯电压或电流控制的接触，可得到最简单的边界条件。第53页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟对于电压控制的接触∂Do，(5.1-5)简化为静电势的显式边界条件表示外部所加的偏压，表示内建势。(5.1-7)式是静电势的Dirichlet边界条件。对于理想的电流控制的接触∂Do，(5.1-5)式为ID（t）是流经该接触的总电流。把电流关系式(4)及(5)代入边界条件(5.1-8)式，我们就得到静电势的积分边界条件。

第54页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟然而，为了避免混淆，还需要一个附加条件。通常，人们假设欧姆接触是理想导电的，即意味着在此边界上电压降为零。对于电容或电感负载，静电势的时间导数以及总电流将出现在边界条件中。已知外部负载电路时，只要具备少量的电路理论知识，就能导出其边界条件，在此我们略过这些内容。从数学意义上，静电势有很复杂的时间相关的边界条件。

第55页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟我们尚需要载流子浓度的条件。从物理观点看，上述条件仍可从热平衡(对应于无限的表面复合速度)以及欧姆接触的空问电荷为零来确定。两个条件可重新整理为电子和空穴的Dirichlet条件。

第56页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟综合上述，在一定的条件下(纯电压驱动)，对于欧姆接触∂D0，我们有静电势的Dirichlet边界条件以及载流子浓度的Dirichlet条件。对于更一般的应用(电流驱动或外部负载电路)，静电势的边界条件是积分形式。Schottky接触边界∂Ds:Schottky接触的物理学很复杂很困难。为了模拟目的，一般用相当简化的模型。在电压驱动的情况下，我们假设静电势的Dirichlet边界条件：

仍表示外加偏置；表示Schottky势垒高度，这是构成金属与半导体Schottky接触的特征量,数值通常是0.5V到1V的量级。仍是内建势.第57页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟对于连续性方程，要想得到物理合理且模型仍很简单的边界条件更加困难。Schottky接触的载流子浓度一般与流过该接触的电流密度有关。有文献提出了有关热离子发射与扩散的相互作用的理论研究，并导出下述边界条件：

n表示∂D上的单位法向矢量;

vn，vp

表示在接触处电子、空穴的热电子复合速度。注意，对于无限的热电子复合速度，(5.1-15)、(5.1-16)式简化为(5.1-12)、(5.1-13)式。

第58页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟为了FET的模拟，已假设vn及vp为零，这等效于没有电流通过Schottky接触。上述假设乍一看似乎是合理的，因为在大多数实际工作情况下，schottky接触是反偏的，其中流过的电流相当小。然而，在接触的邻近区域，载流子浓度会有不切实际的减小，这将引起数值问题。显然，(5.1-17)和(5.1-18)式仅适用于反偏接触。

第59页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟半导体与绝缘体之间的界面∂DI:在此界面上需遵守微分形式的Gauβ定律。

εsem及εint分别表示半导体及绝缘体的介电常数;Qint表示界面电荷。当与厚绝缘体，例如场氧化交界时，人们经常假设绝缘层中垂直于界面的电场成分为零，故(5.1-21)式简化为一般也忽略界面电荷的存在。于是(5.1-22)式简化为静电势的Neumann边界条件：(如图5.1-1中，B-E表示一个界面。

第60页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在几个M0S模拟程序中，绝缘体中的Laplace方程不用显式解。若只有垂直于界面的一维势能降，则导致界面上静电势的混合边界条件：UG表示栅接触C-D上的静电势；tins是绝缘层C-B的厚度。显然，编写混合边界条件(5.1-24)的程序比解绝缘层中的Laplace方程更为容易。然而，假如与绝缘层厚度相比，界面B-E的长度不是足够大的话，就我们的经验而论，由此引起的误差大到不可容忍的程度。第61页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟对于连续性方程，垂直于界面的电流成分应等于表面复合率RSURF.通常总是假设无限大的表面复合速度，从而忽略表面复合的存在，这就导致边界条件(5.1-17)、(5.1-18)。在某些特定器件与工作条件时，这种假设是合理的。第62页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟根据前面的概述，我们还需处理人为边界条件。此处，或者假设为自然边界条件，它决定所考虑的域，即所模拟的器件面积，是有完整结构的(5.1-27)至(5.1-29)式,或者指定静电势的Dirichlet值与载流子浓度，这是预先估计的(例如图5.1-1中的G-H)。第63页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟必须验证应用这些边界条件的物理与数学的合理性。例如在图5.1-1中，距离A-B以及E-F应足够大，从而使在A-H及F-G处由于人为边界条件引进的误差相当小。应用边界条件(5.1-27)～(5.1-29)的一个限制是要求参量C,Dn,Dp以及μp,n对于边界的单位法向矢量的导数沿整个人为边界为零。要注意，若静电势的边界条件是时间相关，则基本半导体方程仅构成一个时间相关问题。若静电势的边界条件是不随时间变的，半导体方程就简化为由三个联立椭圆方程组成的系统。第64页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟(四)、基本方程的离散化离散数值解法，无论对任何一个系统，都包括以下两个步骤：①将模拟的几何定义域分割成有限数的子区域，而子区域内易得所需的精确解。②每一个子域内的微分方程得用代数方程来近似，本节将具体地讨论方程的离散化过程。第65页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟在分割定义域（即离散化）和选择子区域内自变量的近似函数方面已经提出了许多可行的方法。特别是对于半导体方程已经开发了许多技术。这些技术从数学分析的观点来看并不是很重要的。但它们有高的计算效率。因而从工程的目的来看确实是重要的。目前常见的离散方法，具体地说就是网格的划分大致有三种:

有限差分法----特点是简单易行。有限盒法----实际上是一种更一般的有限差分法，这两种方法大多对一些规则的边界使用起来比较便利；

有限元法---它与有限差分法相比有其显著特点。

第66页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟有限元法可以用不同形状的网格分割区域。根据定义域中函数的要求自如地布置节点，因而对不同区域边界，尤其是不规则的边界适应性较强。而有限差分法对定义区域的离散方法是直交网格，因此很难适应复杂的区域边界。网格划分的好坏，直接对方程求解的稳定性。求解结果的准确性、收剑性以及收剑速度都有影响.常用的网格划分标准是：在整个模拟区域内平均各网点离散时的局部截断误差，并且使其满足给定的精度要求。

第67页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟网格的划分可分为自动剖分和人为地经验剖分。上述的网格划分标准已由一些作者用到了网格自动剖分上。在自动剖分中还用到这两个划分规则：（1）如果两个相邻节点之间电势差＞u（例如取u=10），则继续细分这两点的网格。（2）在两次迭代之间差值最大的点周围继续细分.至于经验剖分，一般原则是在变量变化比较陡的区域网格划分的细一些。第68页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟1、有限差分法在经典的有限差分法中，微分方程的求解区域有一组平行于坐标轴的网格线分割成子区域。图4-1为一个横向双极型晶体管的有限差分网格实例:

图4-1第69页,共83页，2024年2月25日，星期天半导体器件模拟其中NX线置成平行于y轴，NY线置成平行于x轴。本例中NX=41、NY=22。(点总数902,边界有122点)在NX，NY的交点上求解微分方程组：这组方程是半导体基本方程的二维形式，而且是静态（稳态）情况（即电子、空穴对时间的偏导数恒为零）。这是为了简化起见仅考虑