【级数敛散性判别法探究6600字（论文）】

级数敛散性判别法探究TOC\o"1-2"\h\u摘要 摘要：本文主要介绍比较判别法、比式判别法、根式判别法和莱布尼茨判别法等常用的判别级数收敛性和发散性的方法.并分析了各个判别法的特点以及这些判别法在实际解题中的应用，以增强读者对方法的认识和理解.本文还对做此种题时容易犯的错误进行了探究、归纳.最后，给出了判别级数收敛还是发散的一般思想.关键词：级数；收敛；发散；判别法引言在数学分析中，级数无疑是基础内容之一，而从数学分析理论来看，级数敛散性如何判别又是其中一个基本问题，它不仅仅是重点内容，还是难点内容.近年来，一些数学方面的工作者对级数敛散性的判别法进行了深入透彻地研究，对某些特殊的级数的收敛性进行了讨论，也提出了多种判别方法，从级数敛散性判别法这个方面来看，目前取得的研究成果还是较为丰富的.如今，现代级数理论已形成较为健全的理论体系，而且由于各行各业均取得了快速发展，所以针对级数理论所作的探究也处在持续发展当中.文献[2]主要探讨用比较判别法来判别正项级数的收敛性和发散性；文献[3]-[5]主要对一些判别正项级数级数敛散性的常见方法进行了总结并给出例题具体应用以说明方法是有效的；文献[6]主要探究了交错级数的敛散性判别法；文献[7]-[9]主要研究了常用的数项级数敛散性判别法的一些特点和使用条件等；文献[10]主要分析了判别级数敛散性时，容易犯的一些错误；文献[11]-[13]主要介绍了判别级数敛散性的有效判定规律、流程等.本文首先引入了级数及其正项级数和一般项级数的概念.其次，总结了判别级数收敛性和发散性的常用方法，如：定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、莱布尼茨判别法等.以及针对每一种方法结合一个实例进行运用.最后通过例题的形式列出判别级数敛散性易犯的错误，并进行错误分析，给出正确解法.已有的研究体系比较分散，且内容较为深入，有助于初学者熟练理解应用的文章较少，因此本文为初学者能够系统熟练地掌握判别级数敛散性的基本方法提供一定的帮助.

1.准备知识定义1REF_Ref22181\r\h[1]给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中称为数项级数（1）的通项或一般项.定义2REF_Ref22181\r\h[1]若数项级数（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数（1）收敛，称为数项级数（1）的和，记作或若是发散数列，则称数项级数（1）发散.定义3REF_Ref22181\r\h[1]若数项级数各项符号都相同，则称它为同号级数.对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数.定义4REF_Ref22181\r\h[1]若级数的各项符号正负相间，即，（2）则称（2）为交错级数.定义5REF_Ref22181\r\h[1]正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.2.几种常用的级数敛散性判别法2.1利用定义法判别级数的敛散性利用定义证明通常是我们数学学习中最基础、最直接的方法.通过定义法对级数是否收敛进行判定实际上就是对该级数的部分和的极限存不存在进行探讨，因而对于一个级数来说，收敛性问题可以看作是极限问题中的特殊形式.在微积分学中，极限是一个基础概念，学生对此也会较为熟悉，所以在对级数具有的敛散性展开探究时，如果能够转化成极限概念，学生理解起来也会更加容易.利用定义法求级数敛散性时一般有以下步骤：（1）找出；（2）计算出的部分和；（3）计算；（4）若的极限存在且为常数，则级数收敛且等于这个常数；若的极限不等于一个常数，即为无穷大或者不存在时，级数发散.例1判断级数的敛散性.解设，则，由，可得，即级数收敛.在例1中，首先根据题目，可设，计算出的前项和，经过化简可得；然后计算的极限，即，由此可得，也就是说级数收敛.例2判断级数的敛散性.解设，则，由于不存在，故级数发散.在例2中，首先根据题目，可设，计算出的前项和，经过化简可得；然后计算的极限，由于不存在，因此级数发散.2.2利用比较判别法判别正项级数的敛散性定理1REF_Ref22181\r\h[1]（比较原则）设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则级数也发散.相对于定义法，比较判别法较简单，但也有一定的局限性，我们需要一个已知敛散性的级数和我们所要判别的级数进行比较。常用的级数有：（1）等比级数：；（2）调和级数：发散；（3）-级数：.对于上述敛散性已经确定了的多种级数，我们应当牢牢掌握，遇到敛散性问题时，比较判别法才可以被更灵活地运用.此处需注意，根据小的收敛是无法直接得出大的也一定收敛的结论的，根据大的发散也无法直接得出小的也一定发散的结论.比较判别法通常按照下述步骤进行：（1）先是从级数的通项猜想其敛散性；（2）通过猜测找出收敛性和发散性已知的级数；（3）由比较判别法得出结论.我们已经知道，对于比较级数来说，最常用的是等比级数和-级数.那么，什么时候用等比级数，什么时候用-级数呢？事实上，我们可以根据正项级数的通项中所在的位置：当在指数时，一般用等比级数；当在底数时，一般用-级数。级数选定后，对于某一给定级数，对和的取值进行确定即可.例3判别级数的敛散性.解因为，又因为级数是收敛的，可得出级数也是收敛的.在例3中首先运用放缩法可以得到，根据-级数的敛散性，该题中，所以级数收敛.由比较判别法，对，若级数收敛，则级数也收敛.可得级数也收敛.（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若，则（1）当时，级数、同时收敛或同时发散；（2）当且级数收敛时，级数也收敛；（3）当且级数发散时，级数也发散.比较判别法用于对正项级数具有的敛散性进行判定时，最为常见的做法是根据不等式具有的性质对通项进行缩放处理，找出较为恰当的不等关系予以辨别并作出判定.假使针对正项级数具有的敛散性已经作出了初步估计，但是通项很难进行放缩的，极限形式也能够作为一种很好的方法，这样难于缩放通项的问题得到了规避，运算也会更加简便.例4判别级数的敛散性.解记，，因为，可得，我们可以由比较判别法的极限形式得出，由于发散，故也发散.在例4中，首先我们观察一下这个级数，再结合相关的知识，我们会发现可用已知敛散性的级数，利用比较判别法的极限形式，与之作比求极限，即，而的极限是我们所熟知的，由，根据当时，级数、同时收敛或同时发散可得，因为级数发散，故也发散.该题运用极限形式可以快速而又方便的判定出敛散性.2.3利用比式判别法或根式判别法判别正项级数的敛散性定理2REF_Ref22181\r\h[1]（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及正常数.若对一切，成立不等式，则级数收敛.若对一切，成立不等式，则级数发散.从比式判别法来看，先是求出级数前后项的比值的极限，再根据极限值对敛散性作出判定.当正项级数的一般项中含有、、或(为常数）等因子时，用比式判别法比较简单.理由是可以省去次幂以及阶乘符号的运算，而且和通常可以通过两个重要极限求解得出极限.另外，一般项如果采取的是分式形式，在判定敛散性时比式判别法也是一种较为常用的方法.比式判别法并不是适用所有情况的，具体为：在的情况下，比式判别法不可以使用，这时级数不只有一种情况，存在发散的可能，还存在收敛的可能.例如：级数是发散级数，此时；级数是收敛级数，此时.根据比式判别法，级数和级数的值均为1，但前者是发散的，后者是收敛的，此时比式判别法失效，需要用其他方法来判别.例5判断级数的敛散性.解根据比式判别法因为，所以级数收敛.在例5中我们首先根据：写出：的形式，将二者作比得出：，化简后为，对其求极限可以得，根据比式判别法将与1进行比较，由可判断出级数收敛.定理3REF_Ref22181\r\h[1]（柯西判别法，或称根式判别法）设为正项级数，且存在某正数及正常数，（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式，则级数发散.根式判别法的特点是利用级数的次方根的极限判别其收敛性.如果一般项内存在次幂、的阶乘或者是指数上出现了次，那么根式判别法就可以作为一种常用方法来对敛散性作出判定.判别时常用到下述极限：（为常数）；；.根式判别法本质上还是比式判别法，所以在使用根式判别法时，我们需要注意的是：当时，根式判别法同样不可以使用，这时级数也是不只有一种情况，存在发散的可能，还存在收敛的可能.例如：级数是发散级数，此时；级数是收敛级数，此时.根据根式判别法，级数和级数的值均为1，但前者是发散的，后者是收敛的，此时根式判别法失效，还需要用其他方法来进行判别.例6判断级数的敛散性.解根据根式判别法，因为，所以级数收敛.在例6中我们首先根据：，写出的次方根：，对进行化简为，对其求极限可以得到，根据根式判别法将与1进行比较，由可判断出级数收敛.为了运用比较判别法，需要找出一个收敛性能够判断出来的级数来进行比较判别.通常而言，要想找到该级数并不是一件容易的事，这样解题就会遇到很大的麻烦REF_Ref11034\r\h[2].那可不可以基于级数本身找出可对其敛散性作出判定的方法？此时就出现了两种判别方法，一种是比式判别法，另一种是根式判别法.通常而言，在对级数具有的敛散性进行判定时，如果可以利用比式判别法，那么根式判别法同样能够适用REF_Ref12319\r\h[3]-REF_Ref18262\r\h[5].但是反之并不成立，如果可以利用根式判别法，那么比式判别法有可能不能适用.也就是说，根式判别法适用面更广一些.在对级数具有的敛散性作出判定时，尽管根式判别法更加精细，但是还是需要从具体情况出发进行分析，从形式与特点出发，选出恰当的判别法作出判定.2.4利用莱布尼茨判别法判别交错级数的敛散性定理4REF_Ref22181\r\h[1]（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下述两个条件数列单调递减；，则级数收敛.如果运用的是莱布尼茨判别法，那么就需对交错级数是不是全部符合条件作出判定REF_Ref18262\r\h[6]-REF_Ref18474\r\h[7].一个是数列单调递减，另一个是，在这些条件全部满足的情况下才能得到级数收敛的结论.这里需要注意的是，如果交错级数不满足条件（2），则可以判断出该交错级数是发散的；如果交错级数只是不满足条件（1），并不能判断出该交错级数是发散的.还需要注意中的.例7判断级数的敛散性.解因为，，通过莱布尼茨判别法我们不难得出，是收敛的.在例7中，需要判断数列是否是单调递减的，将=和进行比较，结果为，可得数列单调递减，满足条件（1）；再判断是否为0，本题中，满足条件（2）；由莱布尼茨判别法可得收敛.2.5利用绝对收敛定理判别任意项级数的敛散性定理5REF_Ref22181\r\h[1](绝对收敛定理)给定任意项级数，如果级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛，而发散，则称级数条件收敛.对于任意项级数，我们首先判断其是否绝对收敛，即级数是否收敛，如果级数收敛，则称级数绝对收敛；若不是绝对收敛，则可利用根式判别法或者定义法等判断其是否条件收敛，进行进一步判别.例8判断级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解因为，而收敛，所以级数收敛，故级数绝对收敛.在例8中首先可利用比较判别法，对进行放缩后可以得到，根据-级数的敛散性，此时，级数收敛.因此级数收敛。根据绝对收敛定理如果级数收敛，则称级数绝对收敛可得级数绝对收敛.判别级数敛散性易犯错误分析3.1利用级数收敛的必要条件来判断级数收敛级数收敛的必要条件：.即如果级数收敛，则一定有成立；但是，如果，则级数未必收敛.例如，调和级数显然是发散的，但却有成立.部分学生极易将必要条件当作充分条件，据此对级数敛散性作出判定.例9判断级数的敛散性.错解因为，所以级数收敛.在本例题中，利用极限值趋向于零判断级数收敛是错误的，当一般项时，不能得出该级数收敛的结论，显然得到的结果不正确.正解因为，由级数发散，可得级数发散.由于这一个级数为正项级数，这时比较判别法的极限形式就可以适用，基于级数是发散的可以得出级数是发散的结论，这样就能够得到正解REF_Ref19421\r\h[8]-REF_Ref13072\r\h[10].3.2错用性质判断级数敛散性定理6REF_Ref22181\r\h[1]若级数与都收敛，则对任意常数，，级数亦收敛.若这两个级数一个收敛一个发散，则级数必发散；若两个级数都发散，则级数可能收敛，也可能发散.例10判断级数的敛散性.错解级数和都发散，根据级数的性质：若级数与都发散，则级数发散，可得级数发散.本例题中“若级数与都发散，则级数发散”这一性质是错误的.级数与都发散，则级数可能收敛，也可能发散.一些学生因为对性质掌握不牢，没有真正弄明白定理、性质，机械记忆，就容易导致使用错误的性质解题.所以在学习时，我们要打牢基础.准确记忆性质、定理是我们解题的前提.错误的性质的使用必然导致解题的错误.正解由对，都有，可得级数为正项级数.由于级数为正项级数，我们可以利用比较判别法的极限形式，因为，可得.又因为级数收敛，所以级数收敛.3.3错用比较判别法的极限形式例11已知级数收敛，且，试判断级数的敛散性.错解因为，且级数收敛，根据比较判别法的极限形式我们不难发现，是收敛的.无论是比较判别法，还是比较判别法的极限形式，都只可以在正项级数中使用，只可以用于对正项级数具有的敛散性进行判别，无法适用于任意项级数.在例11中，题目中并没有说明也无法判定出是正项级数，所以无法应用比较判别法的极限形式解题，上述解法错误.正解对于级数而言，敛散性本身是无法确定的，有可能是发散的，也有可能是收敛的.假定与均为正项级数，那么根据比较判别法的极限形式能够推知，级数收敛REF_Ref19669\r\h[11].但是，如果取，，显然有，且级数为交错级数，由莱布尼茨定理可得该级数是收敛的，但是由定理6可知，级数却是发散的.因此，级数的敛散性无法确定.小结判别级数敛散性的方法多种多样，我们在面对题目时应如何选择呢？现给出判别级数敛散性的一般思路：（1）首先判断级数的通项极限是否成立.若不成立，则级数发散；若成立，则进入（2）.（2）对通项进行绝对值处理，将其变成正项级数，对其是不是绝对收敛作出判定.仔细观察通项，看其中有没有阶乘、存不存在包括在内的幂或者指数；如果绝对收敛，那么根式判别法或者是比式判别法就是最优选择.如果通项只包括的指数或者是幂，那么比较判别法较为适用，该法提供了两种形式，其中极限形式应当优先考虑.如果判别不是绝对收敛，则进入（3）.（3）若是交错级数，则可用莱布尼茨判别法验证.满足条件，则级数收敛；如果第二个条件不能满足，那么就无法对级数为发散级数作出判定，这时再进入（4）.（4）试着通过级数敛散定义来判别.

结束语由上可知，在学习级数，面对敛散性问题时，通过一些判别方法或者是技巧的应用可让解题的方向更加明确，避免出现走弯路的情况.判别级数敛散性的方法很多，应深刻领会各个定义、性质、定理的条件和结论.不管是哪一种判别法，有优势的同时也是有劣势的，并不存在万能的方法，应对适用范围加以注意，灵活而又准确地使用各大定理.对于一种判别法，它可能在处理这个问题时好用，而在处理另一个问题时却失效.所以，在对级数具有的敛散性进行判定时，可以试着运用多种方法，这种方法不行就换另外一种方法REF_Ref12368\r\h[12]-REF_Ref14068\r\h[13].多用一种方法解题就会有多一种解题的思路.但是对于初学者而言，首先需要基于基本方法展开训练，只有达到举一反三的程度才可以起到事半功倍的效果.针对容易出现的错误，实际上在对级数的定义以及性质形成充分理解，对判别法在哪些条件下成立并且在哪些范围内比较适用做到