《线性代数及其应用》 课件全套 李庶民 第1-4章 线性方程组与矩阵-相似矩阵及二次型

求解线性方程组例1解线性方程组对应的增广矩阵一、矩阵的初等变换交换方程组的第一个方程和第二个方程对应的增广矩阵正好是交换第一行和第二行1把方程组的第一个方程乘以-2加到第二个方程和第三个方程上对应的增广矩阵正好是把第一行的每个元素乘以

-2分别加到第二行、第三行对应位置的元素上2第二个方程乘以-1加到第三个方程上，第三个方程乘以-1对应的增广矩阵正好是把第二行的每个元素乘以-1加到第三行对应位置的元素上，第三行每个元素乘以-13第三个方程乘以2

加到第二个方程上，第二个方程乘以

4对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以2加到第二行对应位置的元素上，第二行每个元素乘以行阶梯形矩阵第三个方程乘以-1加到第一个方程上，第二个方程乘以1加到第一个方程上对应的增广矩阵正好是把第三行的每个元素乘以-1，第二行的每个元素乘以

1，都加到第一行对应位置的元素上5最后一个方程组有唯一解，它和原方程组是同解方程组，所以原方程组有唯一解：

行最简形矩阵由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，为此，我们引入如下定义：将矩阵的某一行的倍数加到另一行，用

表示将矩阵第

行的

倍加到第

行.称为矩阵的初等行变换定义1下面三种矩阵的变换：交换矩阵的某两行，我们用表示交换矩阵的第，两行;矩阵的某一行乘以非零数,用

表示矩阵的第

行元素乘以非零数

；(1)(2)(3)将上面定义中的“行”换成“列”（记号由“r”换成“c”，就得到了矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.在例1中，线性方程组(3)、(4)、(5)对应的增广矩阵有一个共同特点，就是：可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，

即这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵.对于最后一个矩阵，它的非零行的第一个非零元素全为

1，并且这些非零元素所在的列的其余元素全为零，这样的阶梯形矩阵，我们称为行最简形矩阵.

试用矩阵的初等行变换将矩阵

先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵.例3解行阶梯形矩阵行最简形对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵.

例如，将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换最后一个矩阵

称为矩阵

的标准形，写成分块矩阵的形式，则有二、线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组齐次线性方程组其中增广矩阵定理

设齐次线性方程组的系数矩阵为,则线性方程组有非零解的充分必要条件是例：求解齐次线性方程组解：对该线性方程组的系数矩阵进行初等行变换，由于，所以线性方程组有非零解.行最简型对应的方程组为令则原方程的解为：或定理

设

为非齐次线性方程组的系数矩阵，

表示其增广矩阵，则非齐次线性方程组有解的充分必要条件是时,方程组有无穷多解.且当时,方程有唯一解；解方程组例解对该线性方程组的增广矩阵实施初等行变换，从而原方程组等价于令

，移项，得原方程组的解为：，其中

为任意常数由于，所以线性方程组有无穷多解.矩阵的乘法来源于线性变换及线性方程组的矩阵表示.以线性变换为例.设有两个线性变换将（2）式代入（1）式，得到到的线性变换线性变换(3)称为线性变换(1)与(2)的乘积，相应地把(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)对应的矩阵的乘积.即或（1）（2）（3）矩阵的乘法定义

设,规定矩阵A与B的乘矩阵积是一个,其中矩阵的第i行是由矩阵A的第i行元素第j列元素与矩阵B的第j列相应元素乘积之和,即并把此乘积记为

注：两个矩阵相乘时只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。20例1、设,求AB矩阵B为A为矩阵,A的列数等于B的行数所以矩阵A,B可以相乘,乘积AB是一个矩阵,由定义得21例2、设，则有22则有例3、设23上述例子表明:(1)矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，

(2),未必有尽管矩阵满足(3)矩阵乘法不满足消去律:时,未必有设有线性方程组称为该线性方程组的系数矩阵.矩阵令再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：例425矩阵乘法满足以下运算律：(3)分配律:(1)(2)结合律:特别简言之,n阶单位矩阵与任何n阶方阵都是可交换的.分别为m阶和n阶单位矩阵(4)A为矩阵，和则交换单位阵

的第

行和第

行，或交换第

列和第

列，得到的初等矩阵记为

.

即初等矩阵

对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的矩阵称为

阶初等矩阵。

由于初等变换有三种,对

阶单位矩阵

实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三种：（1）（2）将单位阵

的第

行乘以

加到第

行（或将单位阵

的第

列乘以

加到第

列）得到的初等矩阵记为.即

用非零的数

乘单位阵

的第

行或第

列得到的初等矩阵记为

.

即（3）初等矩阵有下列基本性质:设

是一个

矩阵，对

施行一次初等行变换，相当于在

的左边乘以相应的

阶初等矩阵；对

施行一次初等列变换，相当于在

的右边乘以相应的

阶初等矩阵.定理：例而则即用左乘相当于交换矩阵的第1与第2行设有矩阵又即用右乘2加于第1列.相当于将矩阵的第3列乘逆矩阵的计算定理：以下命题相互等价：

(1)阶方阵可逆；

(2)方阵行等价于阶单位矩阵；

(3)方阵可表示为若干个初等矩阵的乘积.若可逆，则存在一系列初等矩阵使得两边右乘得第一个等式表明，对进行一系列初等行变换后可将其化为单位矩阵；第二个等式表明，对单位矩阵作同样的初等行变换后可将其化为，于是构造出利用初等行变换求逆矩阵的方法如下：(1)构造矩阵；(2)对矩阵实施初等行变换，将左半部分矩阵化为单位矩阵时，则右半部分矩阵就是.即初等行变换例1设

,证明可逆，并求

.

........................解:因为

,故可逆,且

.

利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵

.

即初等行变换例２已知矩阵方程，求矩阵

.

解：设

，由

,若

可逆，则

.所以......................利用逆矩阵还可以求得矩阵方程

和，若下面介绍用逆矩阵求解线性方程组的方法：设有线性方程组（1）矩阵

可逆，则有37记则方程组

可写成系数矩阵未知向量常数向量方程组

的解是方程组的解(2)构成的向量,又称解向量.(1)(2)(1)38是方程组的一个解.即当

可逆，用左乘式,可得

.

例3、解方程组的解.

解：39

可逆且于是即例4

将矩阵表示成有限个初等方阵的乘积.因此经次初等行变换：

解:化成3阶单位矩阵，它们所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得可作如下验证：线性代数第一节

线性方程组

第二节

矩阵与向量第三节

矩阵与向量的基本运算第四节

方阵的逆矩阵*第五节

分块矩阵第六节

应用实例第七节MATLAB实验一第一章

线性方程组与矩阵第一节

线性方程组

一、线性方程组的概念与实例线性方程组、齐次线性方程组、方程组的解、齐次线性方程组的平凡解二、高斯消元法和初等变换高斯消元法、线性方程组的初等变换

第二节

矩阵与向量一、矩阵与向量的实例和概念

矩阵的概念（元素、实矩阵、复矩阵、共轭矩阵、n阶方阵、行矩阵、列矩阵）向量的概念（行向量、列向量、向量的维数）线性方程组的增广矩阵、零矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵二、矩阵的初等变换行初等变换、列初等变换、矩阵的等价关系、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准矩阵

矩阵的秩、线性方程组解的情况（系数矩阵与增广矩阵秩的关系）第三节

矩阵与向量的基本运算一、矩阵与向量的线性运算二、矩阵的乘法矩阵的加法与运算律（交换律、结合律、零矩阵、矩阵的减法），矩阵的数乘运算与运算律，矩阵和向量的线性运算矩阵的乘法运算与运算律，矩阵的转置运算和性质，方阵的幂运算第四节

方阵的逆矩阵一、方阵的逆矩阵二、初等矩阵与初等变换矩阵可逆的定义，可逆矩阵的性质初等矩阵的定义、初等矩阵与初等变换的关系，初等矩阵和初等变换给出一个方阵可逆的判别条件，求可逆矩阵的方法*第五节

分块矩阵一、分块矩阵及其线性运算二、分块矩阵的乘法运算和转置运算三、分块对角矩阵矩阵分块的方法，分块矩阵的加减法运算，分块矩阵的数乘运算分块矩阵能进行“形式”乘法的条件，第六节

应用实例一、线性规划模型的矩阵表示二、投入产出模型三、营养减肥食谱第七节

MATLAB实验一第二章

方阵的行列式第一节

行列式的概念一、二阶与三阶行列式例1

用消元法解二元线性方程组解消去未知数得消去得当时,求得方程组的解为

1.二阶行列式定义1设二阶方阵称表达式为二阶方阵的(二阶)行列式.记为或对角线法:例1用消元法解二元线性方程组若记则其中,分母称为二元线性方程组的系数行列式.是把的第列的元素用常数项代替后得到的行列式.例2求解下列二元线性方程组(1)解故(1)(2)解当即且时，方程组的解为例2求解下列二元线性方程组(1)(2)当即或时，若方程组化为即方程组的解为为任意常数；若方程组化为即得此为矛盾方程,故原方程组无解.例2求解下列二元线性方程组(1)(2)(2)解2.三阶行列式定义2设有三阶方阵定义的三阶行列式为令为从中划去元素所在的第行第列元素后,其他元素位置关系不变所形成的二阶行列式,称为元素的余子式.又令称为元素的代数余子式.则即三阶行列式的值等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.例3计算三阶行列式解三阶行列式的对角线展开法:例33.二、三阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义是：行列式的绝对值，等于平面上以向量为邻边的平行四边形的面积.因为得因此准确地说,二阶行列式是平面上以向量为邻边的平行四边形的有向面积.3.二、三阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义是：行列式的绝对值，等于平面上以向量为邻边的平行四边形的面积.类似地,三阶行列式就是三个向量在空间上张成的平行六面体的有向体积.当构成右手系时,体积取正值，当构成左手系时,体积取负值.二、阶行列式定义3阶方阵的行列式(称为阶行列式)定义为其中，这里为中划去元素所在的第行第列元素后，余下元素按原位置关系所形成的阶行列式.一般地，用表示中划去元素所在的元素第行第列元素后，余下元素按原位置关系所形成的阶行列式，称为元素的余子式，称为元素的代数余子式.定义3表明，阶行列式的值等于它的第一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，也形象地称之为行列式按第一行展开.注意：（1）一阶行列式记为（2）行列式右下方写一个数字,是为了强调行列式的阶数.如或时，阶行列式的展开式中共有项，不同行不同列的个元素之积，且带正负号的项各占一半.每项都是例4

计算阶对角行列式的值，其中省略未写出的元素均为0.解即：（上）下三角行列式及对角行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积.例5计算阶行列式的值，它的特点是除右上角到左下角的副对角线上的元素外，其余元素全为零.解用递推法求之.根据定义，有即例5计算阶行列式的值，解依次递推可得所以例5计算阶行列式的值，第二节

行列式的性质与计算一、行列式的展开与转置行列式定理1设有阶行列式则定理1证明用数学归纳法(1)当时，结论显然正确.(2)设对于阶行列式，结论是正确的.(3)对于阶行列式，定理1证明(3)对于阶行列式，证明把含有的组合在一起，并提出后有(3)对于阶行列式，把含有的组合在一起，并提出后有而按第一行展开即为上式方括号里的各项之和.把含有的组合在一起，并提出后有即含有的合并在一起之后为同理，含有的合并在一起之后为含有的合并在一起之后为即证明(3)对于阶行列式，定理1定理2同时也有阶行列式可定义为按任何一行或任何一列展开（而不是只能按第一行展开）.例1计算行列式解将行列式先按第三行展开，将上式再按第三列展开得在行列式中，行和列的地位是相同的记方阵的行列式为将转置矩阵的行列式称为行列式的转置行列式，记为定理3行列式和它的转置行列式相等，即证明用数学归纳法.(1)对2阶行列式，结论显然成立；(2)假设对阶行列式，结论正确.记中的代数余子式为则中，元素的代数余子式为由定义定理3行列式和它的转置行列式相等，即例2计算阶上三角行列式的值.解由定理3知为下三角行列式，由上节例4知故

因此，上(下)三角行列式及对角行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积.例2计算阶上三角行列式的值.解由定理3知为下三角行列式，由上节例4知故

例2二、行列式的初等变换性质1.行列式的初等变换由例2可见，上三角行列式可直接等于主对角线上元素的乘积，由于此形状对应的矩阵(也称为上三角矩阵)是阶梯形矩阵，而任何一个阶方阵均可以经初等变换化为上三角矩阵，所以也可以将一个行列式用初等变换化为上三角行列式而求出其值.例2二、行列式的初等变换性质1.行列式的初等变换性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.证明对行列式的阶数用数学归纳法.(1)当时，结论显然成立.(2)假设对于阶行列式，结论是正确的.性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.(3)对于阶行列式假设互换其第行和第行得行列式将按第行展开得其中，分别表示中元素的代数余子式.且从而证明对行列式的阶数用数学归纳法.性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.推论1若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.性质2行列式某行（列）的所有元素都乘以数等于用数乘以此行列式.证明

推论2若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零.推论3若行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零.性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.推论1若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.性质2行列式某行（列）的所有元素都乘以数等于用数乘以此行列式.推论4设是阶方阵，为任一实数，则性质1互换行列式的两行（列），行列式的值变号.推论1若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.性质2行列式某行（列）的所有元素都乘以数等于用数乘以此行列式.性质3若行列式的第行（列）的每个元素都可以写成两个数之和，则该行列式可以表示为两个行列式之和，且这两个行列式除第行(列)外，其余行（列）与原行列式对应行（列）相同，例如证明将行列式按第行展开，得例3计算行列式解由性质3，有性质4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），则行列式的值不变.证明设将中第行的倍加到第行得推论5阶行列式中某一行（列）的各元素与另一行（列）对立元素的代数余子式的乘积之和等于零，即证明性质4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），则行列式的值不变.证明将右边的行列式按第行展开，得从而证明性质4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），则行列式的值不变.推论5阶行列式中某一行（列）的各元素与另一行（列）对立元素的代数余子式的乘积之和等于零，即行列式的代数余子式性质：性质4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），则行列式的值不变.推论5阶行列式中某一行（列）的各元素与另一行（列）对立元素的代数余子式的乘积之和等于零，即总结：（1）若将行列式的任意两行(列)互换得到行列式则（2）若将行列式的某一行(列)所有元素乘以得到行列式则（3）若将行列式中某一行(列)的倍加到另一行(列)得到行列式则推论6阶方阵的秩的充要条件是证明因为任何一个阶方阵都可以经过若干次初等变换化为对角矩阵注意到初等变换并改变行列式为零或者不为零这一事实.若则均不为零，即从而有若则有即均不为零，从而2.行列式的初等变换的几何意义（1）若互换两行得设对应的平行四边形如图2-5，则对应的平行四边形如图2-6，图2-5图2-6其中图2-5的平行四边形是由向量沿逆时针方向转到而得，图2-6的平行四边形是由向量沿顺时针方向转到而得，从而图2-52.行列式的初等变换的几何意义(2)若其中的某一行（不妨假设是第一行）所有元素乘以得则对应的平行四边形如图2-7，这个平行四边形与所对应的平行四边形的高相同，而底边变为原来的倍，所以图2-7图2-52.行列式的初等变换的几何意义(3)若第一行的倍加到第二行，得则对应的平行四边形如图2-8的阴影区域，图2-8这个平行四边形与所对应的平行四边形的底是相同的,高也是相同的，故三、行列式的计算举例例4

计算行列式

解

例5计算行列式解

例6

计算阶行列式解将第行元素都加到第行上，得例7

计算阶行列式解按第列展开，即得例8

计算阶行列式解按第1行展开，有即解逐次递推，可得而故例8

计算阶行列式例9

证明阶范德蒙德(Vandermonde)行列式其中的连乘积是指所有满足条件的因子的乘积，即证明用数学归纳法.当时，结论成立.假设阶范德蒙德行列式则对阶范德蒙德行列式从第行起，依次用上一行的倍加到该行，得证明证明由归纳假设可得证明利用互换两行及某一行的倍加到另一行上去，将化为上三角矩阵，设则其中分别为中互换两行的次数.将化为上三角矩阵的方法，依次用到上，则有四、分块矩阵的行列式性质定理4设记则四、分块矩阵的行列式性质定理4设记则证明于是则其中分别为中互换两行的次数.将化为上三角矩阵的方法，依次用到上，则有推论7设有分块对角矩阵其中均为方阵，省略未写出的子块均为零矩阵，则四、分块矩阵的行列式性质定理4设记则例10设求解记则由推论7，定理5设与都是阶方阵，则证明构造阶行列式则设即下面对依次作下列初等变换：（1）则第一行的元素变成：（2）则第二行的元素变成：（1）则第一行的元素变成：（2）则第二行的元素变成：则第行的元素变成：此时（1）则第一行的元素变成：（2）则第二行的元素变成：则第行的元素变成：此时再依次作初等变换得所以推论：因此，两个同阶方阵和相乘，不一定相等，即但它们取了行列式总是相等的.例如：则即但定理5设与都是阶方阵，则第三节

行列式的应用一、克拉默(Cramer)法则定理1(克拉默法则)如果线性方程组的系数矩阵的行列式(称为系数行列式)那么方程组（9）有唯一解，（9）并且其中是将系数行列式中的第列换成所成的行列式，例如，（9）(克拉默法则)定理1若则方程组有唯一解（9）证明记其中记则线性方程组（9）可表示为证明记即（9）(克拉默法则)定理1若则方程组有唯一解（9）证明同理可得（9）(克拉默法则)定理1若则方程组有唯一解（9）即证明同理可得即方程组有唯一解（9）（9）(克拉默法则)定理1若则方程组有唯一解（9）例1求解线性方程组解系数行列式且且解系数行列式例1求解线性方程组且解系数行列式故方程组有唯一解例1求解线性方程组齐次线性方程组（10）总有零解但不一定有非零解.定理2齐次线性方程组(10)有非零解的充要条件是系数行列式例2当取何值时，齐次线性方程组有非零解.解方程组有非零解的充要条件是故当或时有非零解.例3若已知一元次多项式试证方程至多只有个不同的根.证明反证法.设是方程的个将上式看作关于的齐次线性方程组，不同的根，即有其系数行列式例3若已知一元次多项式试证方程至多只有个不同的根.证明反证法.设是方程的个将上式看作关于的齐次线性方程组，不同的根，即有是阶范德蒙德行列式的转置行列式，其值为于是方程组只有零解，其系数行列式例3若已知一元次多项式试证方程至多只有个不同的根.证明反证法.设是方程的个不同的根，即有即矛盾.故至多只有个不同的根.例3若已知一元次多项式试证方程至多只有个不同的根.证明反证法.设是方程的个不同的根，即有二、伴随矩阵与逆矩阵公式定义1设是元素的代数余子式，称为的伴随矩阵.例4

已知试求解由代数余子式得矩阵的伴随矩阵定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而定理3

设则证明因为：从而同理也有定理4

设则可逆的充要条件是证明必要性：若可逆，即存在，则从而故充分性：若由定理3，有若可逆，则二阶矩阵若则有若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则知例5

设求解故可逆.又由代数余子式若可逆，则例6设可逆，证明（1）（2）证明（1）因若可逆，则有即同时也有即从而（2）因从而三、矩阵的秩定义2阶矩阵中任取行列，位于这行列交叉点上的元素按原位置次序构成的阶行列式，称为矩阵的一个阶子式.如：二阶子式：如：二阶子式：等如：三阶子式：三阶子式：等如：如：四阶子式：四阶子式：等如：定义3矩阵中阶数最高的非零子式称为的最高阶非零子式.如：一阶子式二阶子式三阶子式即为阶数最高的非零子式。定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.证明设的最高阶非零子式的阶数为的最高阶非零子式的阶数为记为的一个最高阶非零子式，下面对作一次初等行变换化为矩阵我们来证明（1）若经过得到这时或者是的一个阶非零子式，或者是经过互换两行后成为的一个阶非零子式，故（2）若经过得到当不含有的第行时，为矩阵的一个阶非零子式；当含有第行时，则为的一个阶非零子式，即也有定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.证明设的最高阶非零子式的阶数为的最高阶非零子式的阶数为记为的一个最高阶非零子式，下面对作一次初等行变换化为矩阵我们来证明定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.证明（3）若经过得到即（i）若不含有的第行，则仍为的一个阶非零子式，此时定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.证明（ii）若含有的第行，也含有第行，由行列式的性质知，中与相同位置对应元素形成的阶子式不为零，此时（3）若经过得到即定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.（iii）若含有的第行，不含有第行，记中与相同位置对应元素形成的阶子式为即证明（3）若经过得到即如果则得为的一个阶非零子式，从而如果可将进行适当的行交换后使其成为的一个不含第行元素的阶非零子式，亦是的一个阶非零子式，综上所述，综上所述，定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数证明设的最高阶非零子式的阶数为的最高阶非零子式的阶数为记为的一个最高阶非零子式，下面对作一次初等行变换化为矩阵我们来证明等于的最高阶非零子式的阶数.因为矩阵也可以经过一个初等行变换化为故也有从而有的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.对初等列变换同理也可以得到相应结论.定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数证明设的最高阶非零子式的阶数为的最高阶非零子式的阶数为记为的一个最高阶非零子式，下面对作一次初等行变换化为矩阵我们来证明等于的最高阶非零子式的阶数.矩阵有限次初等变换阶梯形矩阵矩阵的最高阶非零子式的阶数就是矩阵的秩.的最高阶非零子式的阶数=阶梯形矩阵非零行的行数定理5设矩阵经一次初等变换化为矩阵则的最高阶非零子式的阶数等于的最高阶非零子式的阶数.例7考虑矩阵三阶子式分别是二阶子式以上的4个三阶子式均为零，从而例8求矩阵的秩，其中解假设中最高阶非零子式是则是中的最高阶非零子式.因此定理6定理7设均为可逆矩阵，则相当于对实施了一系列初等行变换；相当于对实施了一系列初等列变换。第四节

应用实例一、矩阵密码问题信息“GIVEMONEY”的编码是7,9,22,5,13,15,14,5,25，如果一个矩阵的元素均为整数，而且其行列式那么由即知，的元素均为整数.取明文“GIVEMONEY”对应的9个数值按3列被排成以下的矩阵矩阵乘积对应着将发出去的密文编码：47,125,85,46,120,79,49,128,93合法用户用去左乘上述矩阵即可解密得到明文.二、联合收入问题已知三家公司X,Y,Z具有下图所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等.现设X,Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入，实际收入为联合收入减去其他公司的股份提成.试确定各公司的联合收入及实际收入.设X、Y、Z三公司的联合收入分别为则其实际收入故得线性方程组故得线性方程组因系数行列式故由克拉默法则知，此方程组有唯一解，于是X公司的联合收入为实际收入为Y公司的联合收入为实际收入为Z公司的联合收入为实际收入为第三章线性相关与线性无关线性相关与线性无关是线性相关还是线性无关的判断向量组显然即线性相关与线性无关设有数的线性相关性.讨论解：其系数矩阵经过一系列的初等行变换线性相关与线性无关所以向量组线性相关线性相关与线性无关m个n维向量组是否相关<=>解齐次线性方程组<=>系数矩阵做初等行变换{有非零解，线性相关只有唯一零解（即零解），线性无关讨论的线性相关性.线性相关与线性无关m个n维向量组是否相关<=>解齐次线性方程组<=>系数矩阵做初等行变换{有非零解，线性相关只有唯一零解（即零解），线性无关讨论的线性相关性.线性相关与线性无关向量组线性相关性的判定解齐次线性方程组<=>系数矩阵做初等行变换向量组秩的概念、性质及求法

从中剔除多余向量直至剩余组线性无关

向量组定义

设有向量组A,如果向量组A中存在r个向量,且满足（1）向量组线性无关;（2）向量组A中任何向量都可由向量组线性表示，则称向量组是向量组A的一个最大线性无关组,简称极大无关组（最大无关组）.极大无关组中所含向量个数秩向量组秩的概念、性质及求法向量组

线性相关

两两线性无关向量组

的极大无关组可以是：极大无关组不唯一极大无关组所含向量个数唯一向量组的秩：的极大无关组中所含向量个数向量组秩的概念、性质及求法2、等价的向量组有相同的秩.3、一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数.向量组秩的性质：1、向量组可由向量组线性表示，则.向量组秩的概念、性质及求法例子向量组秩的概念、性质及求法向量组秩的概念、性质及求法线性相关性相同是向量组的极大无关组表示系数是如何求得的？向量组秩的概念、性质及求法向量组秩的概念、性质及求法检验例子1：已知向量组是所给向量组的一个极大无关组.向量组秩的概念、性质及求法检验例子2：已知向量组是所给向量组的一个极大无关组.Thankyou!向量组的极大无关组一组人：4个英国人，3个德国人，5个美国人英1英2英3英4德1德2德3美1美2美3美4美5研究整组人的特性，选3人即可（1个英国人，1个德国人，1个美国人）选2人，信息不足；选4人，信息冗余.代表特点：1彼此无关,且取法不唯一；2其他人都与代表有关向量组的极大无关组即，若n维向量组的极大无关组B为向量组的极大无关组而任意三个向量都线性相关，原因是以它们为列构成矩阵的行列式均为0(即对应的齐次线性方程组有非零解，【上节讲授的向量组的相关】).(向量组的极大无关组不唯一，但所含向量个数相同)于是，向量组A的极大线性无关组含两个向量，至于是哪两个向量，结果却不唯一.向量组的极大无关组向量组的极大无关组向量组的极大无关组求给定向量组的极大无关组,及把其余向量用极大无关组表示，就是求解的过程矩阵作初等行变换（即可化简方程组），求解非齐次线性方程组的过程.例2求下列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表出.向量组的极大无关组将这些列向量构造成矩阵,并做初等行变换，化成行最简形例2求下列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表出.向量组的极大无关组对A的列向量组实施行初等变换得到行最简形式=B从B中可以得到：的一个极大无关组.是向量组向量组的极大无关组对A的列向量组实施行初等变换得到行最简形式=B小结：极大无关组的特点：（3）极大无关组不唯一的向量空间的概念、向量的结构化表示如果向量时，有（对加法封闭）；如果向量时，有（对数乘封闭）.封闭定义1设是维向量的非空集合，称为向量空间是向量空间向量空间的概念、向量的结构化表示不封闭不是向量空间向量空间的概念、向量的结构化表示n维向量的全体构成向量空间n元齐次线性方程组的解集构成向量空间例如向量空间的概念、向量的结构化表示n元非齐次线性方程组的解集不构成向量空间例如向量空间的概念、向量的结构化表示定义2向量空间V中的r个向量若满足（1）线性无关；（2）V中的任一向量都能被线性表出则称为向量空间V的一组基，r称为V的维数,记为div(V)=r，此时也称V为r维的向量空间.注：只含零向量的向量空间没有基，其维数为0.向量空间的概念、向量的结构化表示例如，向量组就是n维向量空间的一组基.向量空间的概念、向量的结构化表示例1已知向量

验证向量组是的基，把用向量组线性表出.线性无关解方程向量空间的概念、向量的结构化表示向量空间的概念、向量的结构化表示求解齐次线性方程组例2的通解.向量空间的概念、向量的结构化表示向量空间的概念、向量的结构化表示解集构成了中的二维子空间向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换

定义1如果，称与正交.两两相互正交的非零向量组称为正交向量组，简称为正交组;若正交组中每个向量都是单位向量，则称为单位正交向量组，简称单位正交组.定理1正交向量组必线性无关.线性无关的向量组可正交化.（施密特正交化方法）向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换（施密特正交化方法）：几何意义向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换（施密特正交化方法）：几何意义向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换（施密特正交化公式）：线性无关正交化向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换（规范正交向量组）向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换三维向量空间的规范正交基向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换例如向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换保向量的长度，旋转向量组的正交性-正交化-正交基-正交矩阵-正交变换正交变换使向量保长度地旋转第三章

线性方程组解的结构

第四节

线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组的解空间

一、齐次线性方程组形如的方程组叫做齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中注意：未知数的次数均为一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一个方程的右端均为数字0.③

一、齐次线性方程组形如若记则方程组(1)可写为向量方程的方程组叫做齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中向量方程(2)的解称为方程组(1)的解向量.方程组的全体解向量集合，称为方程组的解集.

一、齐次线性方程组二、齐次线性方程组解的判定定理推论仅有零解的充要条件是系数矩阵的秩设元齐次线性方程组定理有非零解的充要条件是系数矩阵的秩设元齐次线性方程组对于齐次线性方程组，若方程的个数小于未知量的个数，则方程组有非零解.对于齐次线性方程组，若方程的个数等于未知量的个数，则方程组有非零解的充分必要条件是三、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.证为方程组的解为方程组的解,证毕.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.证为方程组的解为方程组的解,证毕.三、齐次线性方程组解的性质注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.3.若为方程组的解,注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,为实数,则线性组合也是方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质四、基础解系的定义定义线性无关;注:的任意一个解都可由线性表示.础解系,其中为任意常数.的通解可表示为则如果是齐次线性方程组的基满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组四、基础解系的定义定义线性无关;的任意一个解都可由线性表示.满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组四、基础解系的定义定义线性无关;的任意一个解都可由线性表示.满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组方程组的基础解系也不是唯一的.方程组的解集的极大无关组不是唯一的.方程组的一个基础解系即为其解集一个极大无关组.例解下列齐次线性方程组,并求出方程组的一个基础解系.解对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:由于,所以该齐次线性方程组有非零解行最简形矩阵对应的方程组为：行最简形矩阵非零行的非零首元在第1列和第2列，所以选取为自由未知量，并令即将自由未知量移至等号右端，有其中为任意常数行最简形矩阵对应的方程组为：行最简形矩阵非零行的非零首元在第1列和第2列，所以选取为自由未知量，并令即其中为任意常数所以其中为任意常数因此基础解系为第三章

线性方程组解的结构

第四节

线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组的解空间

一、非齐次线性方程组形如的方程组叫做非齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中为常数，注意：未知数的次数均为一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一个方程右端的不全为零.③

一、非齐次线性方程组形如若记则方程组(1)可写为向量方程的方程组叫做非齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中为常数，向量方程(2)的解称为方程组(1)的解向量.方程组的全体解向量集合，称为方程组的解集.

一、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组解的判定定理定理设元非齐次线性方程组

有解的充要条件是的秩,广矩阵即的秩等于增系数矩阵有解无解唯一解无穷多解三、非齐次线性方程组解的性质设有非齐次线性方程组其对应的齐次线性方程组1.若是非齐次线性方程组的解,则为对应齐次线性方程组的解.证证毕.即

的解.为对应齐次线性方程组

的解.2.设是非齐次线性方程组的解,是方程组则应齐次线性方程组的解,是对三、非齐次线性方程组解的性质设有非齐次线性方程组其对应的齐次线性方程组1.若是非齐次线性方程组的解,则为对应齐次线性方程组的解.

的解.2.设是非齐次线性方程组的解,是方程组则应齐次线性方程组的解,是对三、非齐次线性方程组解的性质设有非齐次线性方程组其对应的齐次线性方程组1.若是非齐次线性方程组的解,则为对应齐次线性方程组的解.

的解.2.设是非齐次线性方程组的解,是方程组则应齐次线性方程组的解,是对证即为非齐次线性方程组的解.证毕.四、非齐次线性方程组的通解定理设是非齐次线性方程组的一个解,是对应齐次线性方程组的通解,则是的通解.注:的一个特解,设是的基础解系,是则非齐次方程组的通解可表示为:,其中齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解例解下列非齐次线性方程组.解对此方程组的增广矩阵作如下初等行变换:,所以方程组有无穷多解.由于且原方程组等价于方程组,所以方程组有无穷多解.由于且原方程组等价于方程组,所以方程组有无穷多解.由于且原方程组等价于方程组即取为自由未知量，并令则其中为任意常数.则其中为任意常数.则所以其中为任意常数.其中为任意常数.齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解所以其中为任意常数.齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解所以其中为任意常数.齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解对应齐次线性方程组的基础解系所以其中为任意常数.齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的一个特解令得非齐次线性方程组的一组特解:线性代数第三章

线性方程组解的结构

第一节

向量组的线性相关与线性无关

第二节

向量组的秩

第三节

向量空间

第四节

线性方程组解的结构

第五节

应用实例*第六节

线性变换

第七节

MATLAB实验三第一节

向量组的线性相关与线性无关一、线性方程组的向量表示

矩阵的向量表示，线性方程组的向量表示，向量的线性组合二、向量组线性相关与线性无关的概念

向量组线性相关、无关的概念，关于向量组线性相关、无关的一些结论三、线性相关与线性无关的性质

定理1-3，推论，相关结论第二节

向量组的秩一、向量组间的相互线性表示

向量组线性表示的定义，等价关系，向量组等价的性质，二、向量组的极大无关组与向量组的秩

极大无关组的定义，向量组之间的关系，向量的秩的定义，求向量秩的具体方法和步骤，矩阵的秩的定义（行秩、列秩）

齐次线性方程组的解的结构、非齐次线性方程组的解的情况分析

第三节

向量空间一、向量空间的概念线性运算及其性质（封闭、加法、数乘），向量空间的定义，子空间二、向量空间中向量的结构化表示向量空间的基，向量空间的维数，向量的结构化表示三、向量组的正交性与正交矩阵

内积的概念及性质，向量的长度，单位向量，向量的单位化，向量正交的定义，正交向量组，施密特正交化方法，正交矩阵第四节

线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解空间

从向量空间的角度来看待齐次线性方程组的解，基础解系，通解二、非齐次线性方程组解的结构

求非齐次线性方程组的通解，首先要求对应齐次线性方程组的通解，再求非齐次线性方程组的一个特解.

第五节

应用实例一、化学反应方程式的配平二、网络流的管理用向量间的线性相关关系或线性方程的解来解决科学问题*第六节

线性变换

一、线性变换映射的定义，线性变换的定义，常见的线性变换（旋转变换，镜像变换，投影变换、伸缩变换）

二、基变换与坐标变换

基变换，坐标变换，坐标变换矩阵

三、线性变换的应用第七节

MATLAB实验三线性代数第三章

线性方程组解的结构

第一节

向量组的线性相关与线性无关

第二节

向量组的秩

第三节

向量空间

第四节

线性方程组解的结构

第五节

应用实例*第六节

线性变换

第七节

MATLAB实验三第一节

向量组的线性相关与线性无关一、线性方程组的向量表示

矩阵的向量表示，线性方程组的向量表示，向量的线性组合二、向量组线性相关与线性无关的概念

向量组线性相关、无关的概念，关于向量组线性相关、无关的一些结论三、线性相关与线性无关的性质

定理1-3，推论，相关结论第二节

向量组的秩一、向量组间的相互线性表示

向量组线性表示的定义，等价关系，向量组等价的性质，二、向量组的极大无关组与向量组的秩

极大无关组的定义，向量组之间的关系，向量的秩的定义，求向量秩的具体方法和步骤，矩阵的秩的定义（行秩、列秩）

齐次线性方程组的解的结构、非齐次线性方程组的解的情况分析

第三节

向量空间一、向量空间的概念线性运算及其性质（封闭、加法、数乘），向量空间的定义，子空间二、向量空间中向量的结构化表示向量空间的基，向量空间的维数，向量的结构化表示三、向量组的正交性与正交矩阵

内积的概念及性质，向量的长度，单位向量，向量的单位化，向量正交的定义，正交向量组，施密特正交化方法，正交矩阵第四节

线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解空间

从向量空间的角度来看待齐次线性方程组的解，基础解系，通解二、非齐次线性方程组解的结构

求非齐次线性方程组的通解，首先要求对应齐次线性方程组的通解，再求非齐次线性方程组的一个特解.

第五节

应用实例一、化学反应方程式的配平二、网络流的管理用向量间的线性相关关系或线性方程的解来解决科学问题*第六节

线性变换

一、线性变换映射的定义，线性变换的定义，常见的线性变换（旋转变换，镜像变换，投影变换、伸缩变换）

二、基变换与坐标变换

基变换，坐标变换，坐标变换矩阵

三、线性变换的应用第七节

MATLAB实验三

定义1

设为

阶方阵,如果存在可逆矩阵则称方阵和

相似，或

是

的相似矩阵，变为

称为把

的相似变换矩阵.一、相似矩阵，使得(1)称为

的相似变换，可逆矩阵

记为.第四章相似矩阵及二次型定义2

若阶方阵

相似于对角矩阵

即存在可逆矩阵，使得则称方阵可对角化.(2)相似矩阵具有以下性质：

(2)对称性：如果，则

；

(3)传递性：如果，则

性质1

(1)自反性：;性质2

(1)若，则

；

(2)若，则

；

(3)若，则,.（

为任一正整数）；

和都是可逆矩阵且，则.

(4)若(2)对称性：如果，则

；

(3)传递性：如果，则

性质1

(1)自反性：;证明

(1)由于，故;(2)若，那么存在可逆矩阵，使得所以

；令，则，(3)传递性：如果，则

性质1证明(3)若，则存在可逆矩阵使得

令,有

即从而

，故

.性质2

(1)若，则

；

证明

(1)设阶方阵和相似，由定义1从而有，又是可逆矩阵，，使得可知，存在可逆矩阵可得(2)若，则

；

(2)设阶方阵和相似，则存在可逆矩阵，使得

，所以,从而，由此可得.性质2

(3)若，则,.（

为任一正整数）；

证明(3)设阶方阵和

相似，则存在，使得

.又可逆矩阵令，由于

是可逆矩阵，也是可逆矩阵，，即.则有性质2

(3)若，则,.（

为任一正整数）；

证明(3)设阶方阵和

相似，则存在，使得

.又可逆矩阵从而.性质2和都是可逆矩阵且，则.

(4)若(4)若，且都可逆，则存在可逆矩阵

，使得

，于是

即

证明例1

已知,

求和.解

由于

，有

，可得

，

即.

因为，故.二、特征值与特征向量例子：设则

.（3）定义3设为阶方阵,如果存在数和维非零向量满足则称为方阵的特征值,称为特征值对应的特征向量.即

它是个方程个未知量的齐次线性方程组，有非零解的充要条件是其系数行列式上式左边是的次多项式,称为的特征多项式,记为.方程称为的特征方程.由此可见，特征值即为特征方程的根.

而在复数范围内，特征方程必有个根(重根按重数计算)，故阶方阵有个特征值.求特征值对应的特征向量解矩阵的特征多项式为例2求矩阵的特征值和特征向量.故

的特征值为当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值对应的全部特征向量为.当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值对应的全部特征向量为.当时，求解方程组.由得基础解系,故特征值对应的全部特征向量为.故的特征值为.的特征多项式为解

矩阵例3求矩阵的特征值和特征向量.当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为

，（

不同时为零).当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.故的特征值为.例4求矩阵的特征值和特征向量.的特征多项式为

解矩阵当时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.当

时，求解方程组.由得基础解系，故特征值

对应的全部特征向量为.例2：

例3：

例4：

矩阵的特征值和特征向量有以下的性质：（重根按重数计算），则有

同的特征值；阶矩阵

的全部特征值为

(2)