第04讲 与圆有关的角和圆内接四边形（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第04讲与圆有关的角和圆内接四边形1.掌握弧、弦、圆心角的定义，并会根据其性质进行简单的计算2.理解圆周角、圆心角的定义，并掌握它们之间的关系.3.掌握圆内接四边形的性质。知识点1圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。知识点2圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=12推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。知识点3圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙中，∵四边是内接四边形∴【题型1直径所对圆周角为90°的运用】【典例1】（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【答案】B【解答】解：如题，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，∴∠BDC＝38°，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，故选：B．【变式1-1】（2022秋•普兰店区期末）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝30°，则∠B的度数为（）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，故选：D．【变式1-2】（2023•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，其中BD是⊙O的直径，若BD＝6，BC＝3，∠ADC＝45°，则∠ACD的度数为（）​A．45° B．60° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵BD＝6，BC＝3，∴∠BDC＝30°，∵∠ADC＝45°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝45°﹣30°＝15°，∴∠ACB＝∠ADB＝15°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣15°＝75°．故选：C．【变式1-3】（2022秋•岱岳区期末）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°故选：C．【变式1-4】（2023•碑林区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，若∠BAC＝68°，则∠D的度数为（）A．68° B．34° C．32° D．22°【答案】D【解答】解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝68°，∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝22°，∴∠CBA＝∠CDA＝22°，故选：D．【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【典例2】（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（）A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故选：A．【变式2-1】（2023•思明区模拟）如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中一定与∠ABC相等的角是（）​A．∠BAD B．∠ACD C．∠BCD D．∠ADC【答案】D【解答】解：如图，点A，B，C，D在⊙O上，则图中一定与∠ABC相等的角是∠ADC，故选：D．【变式2-2】（2023•临江市一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ABC＝58°，则∠D为（）A．32° B．42° C．29° D．22°【答案】A【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝58°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝32°，∴∠D＝∠A＝32°，故选：A．【变式2-3】（2022秋•建昌县期末）如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：∵弧AC＝弧BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴，故选：C．【题型3圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】【典例3】（2023•广元）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【答案】C【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD＝∠AOD＝28°，故选：C．【变式3-1】（2023•寿宁县模拟）如图A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是（）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，故选：C．【变式3-2】（2022秋•合川区期末）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝80°，则∠BAC的大小为（）A．80° B．60° C．40° D．20°【答案】C【解答】解：∵∠BOC＝80°（已知），∠BOC＝2∠BAC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠BAC＝40°，故选：C．【变式3-3】（2023•乾安县一模）如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数是（）A．55° B．110° C．125° D．150°【答案】B【解答】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°，∴∠BOD＝2∠BED＝110°．故选：B．【题型4利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】【典例4】（2023•淮安区校级二模）如图，ABC是⊙O上三点，若OA＝AB＝BC，则∠ACB的度数为​（）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】A【解答】解：如图，连接OB，∵OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，故选：A．【变式4-1】（2023•西湖区校级三模）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC的度数为（）​A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：A．【变式4-2】（2023•长春模拟）如图，OA、OB是⊙O的半径，△ABC的顶点C在⊙O上，且点A、C在OB的异侧．若∠BAO＝55°，则∠ACB的大小是（）A．35° B．45° C．55° D．70°【答案】A【解答】解：∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝55°，∴∠AOB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°．故选：A．【变式4-3】（2023•武功县模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，连接AC、OC、BD，若BD∥OC，且∠ABD＝60°，则∠OCA的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【解答】解：∵OC∥BD，∴∠B＝∠BOC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠OAC＝∠BOC，∴∠OCA＝∠BOC＝∠ABD，∵∠ABD＝60°，∴∠OCA＝30°．故选：A．【题型5圆内接四边形的综合运用】【典例5】（2023•鹿城区校级二模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连结OA，OC，点D为AB的延长线上一点．若∠CBD＝65°，则∠AOC为（）​A．110° B．115° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，由圆周角定理得，∠P＝∠AOC，由圆内接四边形的性质得，∠ABC+∠P＝180°，∵∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝∠P，∵∠CBD＝65°，∴∠P＝65°，∴∠AOC＝2∠P＝130°，故选：D．【变式5-1】（2022秋•桥西区期末）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点．若∠AOC＝140°，则∠D的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：B．【变式5-2】（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（）A．130° B．125° C．100° D．80°【答案】A【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：A．【变式5-3】（2023•惠州校级模拟）如图，在直径为AB的⊙O中，点C，D在圆上，AC＝CD，若∠CAD＝28°，则∠DAB的度数为（）A．28° B．34° C．56° D．62°【答案】B【解答】解：∵AC＝CD，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CDA＝28°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝124°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝56°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝34°，故选：B．【题型6运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】【典例6】（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（）A． B． C．6 D．9【答案】C【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则，∵，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，则∠OAB＝30°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AD＝DB，在Rt△AOD中，∴∴，故选：C．【变式6-1】（2023•金华模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径长为（）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解答】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝4，∴CE＝DE＝CD＝2，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE为等腰直角三角形，∴OD＝DE＝2，即⊙O的半径为2，故选：B．【变式6-2】（2023•蒙城县模拟）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以点C为圆心、CB长为半径的圆交AB于点D，AD＝2，则BD的长为（）A． B． C． D．4【答案】A【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．连接CD，则CD＝CB，∴，∠B＝∠CDB，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，∴∠B＝180°﹣135°﹣15°＝30°，在Rt△BCE中，设CE＝x，∴BC＝2x＝CD，，∠CDE＝∠B＝30°，∴∠ACD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴CD＝AD＝2＝2x，∴x＝1，∴．故选：A．【变式6-3】（2023•礼泉县二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，连接AB、BC、AC，过点O作OD⊥BC于点D，若⊙O的半径为4，∠A＝60°，则弦BC的长是（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】C【解答】解：连接OB，OC，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A＝60°，∴OD＝OB＝×4＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2×2＝4．故选：C．1．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【解答】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．2．（2023•黔东南州二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（）A．100° B．110° C．120° D．140°【答案】D【解答】解：∵∠C＝110°，∴优弧所对的圆心角为2∠C＝220°，∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，故选：D．3．（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是．【答案】4．【解答】解：∵点M是弧AC的中点，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵点D是弦AC的中点，∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，∴OD⊥AC，∴O、D、M三点共线，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．4．（2023•九龙坡区自主招生）如图，AB是半径为8的⊙O的弦，点C是优弧AB的中点，∠ACB＝60°，则弦AB的长度是（）A．8 B．4 C．4 D．8【答案】D【解答】解：如图所示，连接CO，AO，并延长CO，交AB于点D，∵点C是优弧AB的中点，∴CD⊥AB，AD＝BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴AD＝OA•coa∠AOB＝8×coa60°＝＝4，∴AB＝2AD＝8．故选：D．5．（2023•大安市校级二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A＝19°，则∠AEC的度数为（）A．19° B．21° C．26° D．64°【答案】D【解答】解：∵，∴，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴，∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝19°+45°＝64°．故选：D．6．（2023•礼泉县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，连接AD．若AB＝8，CD＝4，则AD的长为（）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，AB＝8，CD＝4，∴OA＝OD＝AB＝×8＝4，MD＝CD＝×4＝2，在Rt△ODM中，OM＝＝＝2，∴AM＝OA+OM＝4+2＝6，在Rt△AMD中，AD＝＝＝4．故选：C．7．（2023•梁溪区模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（）A．16° B．24° C．12° D．14°【答案】D【解答】解：∵AF为圆的直径，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故选：D．8．（2023•胶州市模拟）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．135° C．80° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝80°，∴∠A＝80°，∴∠BOD＝160°．故选：A．9．（2023•武汉）​如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．【答案】（1）证明过程见答案；（2）．【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，即⊙O的半径是．1．（2023•阜新模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：D．2．（2023•新化县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．故选：D．3．（2023•江海区一模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦．若∠BCD＝44°，则∠ABD＝（）A．40° B．44° C．45° D．46°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB，∠BCD＝44°，∴∠ACD＝46°，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝46°，故选：D．4．（2023•南关区四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．50°【答案】A【解答】解：∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．故选：A．5．（2023•台江区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠A＝36°，点P在圆周上，则∠P等于（）A．27° B．30° C．32° D．36°【答案】A【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，∴，∴∠AOC＝2∠P，∵△AOD是直角三角形，∴∠AOC＝90°﹣∠A＝54°，∴∠P＝27°．故选：A．6．（2023•香洲区一模）如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65° B．25° C．15° D．35°【答案】B【解答】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：B．7．（2023•横山区三模）若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】B【解答】解：连接AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝90°﹣55°＝35°，∴∠BCD＝∠A＝35°．故选：B．8．（2023•长岭县二模）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（）A．110° B．100° C．120° D．130°【答案】A【解答】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝50°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝140°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝20°，∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝110°，故选：A．9．（2023•小店区校级一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数是（）A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】C【解答】解：∠D＝∠AOC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∴3∠D＝180°，∴∠D＝60°，故选：C．10．（2023•渌口区一模）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°【答案】D【解答】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．故选：D．11．（2023•大连二模）如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【答案】B【解答】解：连接BD，如图，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD＝AB，∵AB的长为10cm，∴AD＝10（cm），故选：B．12．（2023•大安市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．故选：B．13．（2023•扶余市四模）如图，△ABC的顶点A，B在⊙O上，点C在⊙O外（O，C在AB同侧），∠AOB＝98°，则∠C的度数可能是（）A．48° B．49° C．50° D．51°【答案】A【解答】解：设AC与⊙O相交于点D，连接BD，∵∠AOB＝98°，∴∠ADB＝∠AOB＝49°，∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠C＜∠ADB，∴∠C的度数可能是：48°，故选：A．14．（2023•泸县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB两侧的点，若∠ACD＝35°，则∠BAD度数为（）A．45° B．55° C．60° D．70°【答案】B【解答】解：如图，连