高中物理（2019必修第一册）旧教材同步讲义第4章 专题强化　动力学连接体问题和临界问题同步讲义

[学习目标]1．会用整体法和隔离法分析动力学的连接体问题.2.掌握动力学临界问题的分析方法，会分析几种典型临界问题的临界条件．一、动力学的连接体问题1．连接体：两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同加速度的整体叫连接体．如几个物体叠放在一起，或并排挤放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法．2．整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解．其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力．3．隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解．其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形．4．整体法与隔离法的选用求解各部分加速度都相同的连接体问题时，要优先考虑整体法；如果还需要求物体之间的作用力，再用隔离法．求解连接体问题时，随着研究对象的转移，往往两种方法交替运用．一般的思路是先用其中一种方法求加速度，再用另一种方法求物体间的作用力或系统所受合力．无论运用整体法还是隔离法，解题的关键还是在于对研究对象进行正确的受力分析．例1如图1所示，物体A、B用不可伸长的轻绳连接，在竖直向上的恒力F作用下一起向上做匀加速运动，已知mA＝10kg，mB＝20kg，F＝600N，求此时轻绳对物体B的拉力大小(g取10m/s2)．图1答案400N解析对A、B整体受力分析和单独对B受力分析，分别如图甲、乙所示：对A、B整体，根据牛顿第二定律有：F－(mA＋mB)g＝(mA＋mB)a物体B受轻绳的拉力和重力，根据牛顿第二定律，有：FT－mBg＝mBa，联立解得：FT＝400N.针对训练1(多选)如图2所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻绳连接放在倾角为θ的固定斜面上，用平行于斜面向上的恒力F拉A，使它们沿斜面匀加速上升，A、B与斜面间的动摩擦因数均为μ，为了增大轻绳上的张力，可行的办法是()图2A．减小A物块的质量B．增大B物块的质量C．增大倾角θD．增大动摩擦因数μ答案AB解析当用沿斜面向上的恒力拉A，两物块沿斜面向上匀加速运动时，对整体运用牛顿第二定律，有F－(mA＋mB)gsinθ－μ(mA＋mB)gcosθ＝(mA＋mB)a，得a＝eq\f(F,mA＋mB)－gsinθ－μgcosθ.隔离B研究，根据牛顿第二定律有FT－mBgsinθ－μmBgcosθ＝mBa，则FT＝mBgsinθ＋μmBgcosθ＋mBa＝eq\f(mBF,mA＋mB)，要增大FT，可减小A物块的质量或增大B物块的质量，故A、B正确．例2如图3所示，固定在水平面上的斜面的倾角θ＝37°，木块A的MN面上钉着一颗小钉子，质量m＝1.5kg的光滑小球B通过一细线与小钉子相连接，细线与斜面垂直．木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现将木块由静止释放，木块与小球将一起沿斜面下滑．求在木块下滑的过程中：(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10m/s2)图3(1)木块与小球的共同加速度的大小；(2)小球对木块MN面的压力的大小和方向．答案(1)2.0m/s2(2)6.0N沿斜面向下解析(1)由于木块与斜面间有摩擦力作用，所以小球B与木块间有压力作用，并且以共同的加速度a沿斜面下滑，将小球和木块看成一个整体，设木块的质量为M，根据牛顿第二定律有：(M＋m)gsinθ－μ(M＋m)gcosθ＝(M＋m)a代入数据得：a＝2.0m/s2(2)选小球为研究对象，设MN面对小球的作用力为FN，根据牛顿第二定律有：mgsinθ－FN＝ma，代入数据得：FN＝6.0N根据牛顿第三定律，小球对木块MN面的压力大小为6.0N，方向沿斜面向下．二、动力学的临界问题1．临界问题：某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态．2．关键词语：在动力学问题中出现的“最大”“最小”“刚好”“恰能”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件．3．临界问题的常见类型及临界条件：(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触(或脱离)的临界条件是弹力为零．(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳上的张力为零．(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值．4．解答临界问题的三种方法(1)极限法：把问题推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态，从而找出临界条件．(2)假设法：有些物理过程没有出现明显的临界线索，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况与题设是否相同，然后再根据实际情况处理．(3)数学法：将物理方程转化为数学表达式，如二次函数、不等式、三角函数等，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件．例3一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图4所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g，试求：图4(1)当车以加速度a1＝eq\f(1,2)g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小；(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．答案(1)eq\f(\r(5),2)mg0(2)eq\f(3\r(2),2)mgeq\f(\r(2),2)mg解析设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左，大小为a0，由牛顿第二定律得，F1cos45°＝mg，F1sin45°＝ma0，可得：a0＝g.(1)因a1＝eq\f(1,2)g<a0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有：F11cosθ＝mg，F11sinθ＝ma1，得F11＝eq\f(\r(5),2)mg.(2)因a2＝2g>a0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12、F22，由牛顿第二定律得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F12cos45°＝F22cos45°＋mg,F12sin45°＋F22sin45°＝ma2))解得F12＝eq\f(3\r(2),2)mg，F22＝eq\f(\r(2),2)mg.例4如图5所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)．图5(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？答案(1)g(2)g(3)eq\r(5)mg解析(1)当FT＝0时，小球受重力mg和斜面支持力FN作用，如图甲，则FNcos45°＝mg，FNsin45°＝ma解得a＝g.故当向右运动的加速度为g时线上的拉力为0.(2)假设滑块具有向左的加速度a1时，小球受重力mg、线的拉力FT1和斜面的支持力FN1作用，如图乙所示．由牛顿第二定律得水平方向：FT1cos45°－FN1sin45°＝ma1，竖直方向：FT1sin45°＋FN1cos45°－mg＝0.由上述两式解得FN1＝eq\f(\r(2)mg－a1,2)，FT1＝eq\f(\r(2)mg＋a1,2).由此可以看出，当加速度a1增大时，球所受的支持力FN1减小，线的拉力FT1增大．当a1＝g时，FN1＝0，此时小球虽与斜面接触但无压力，处于临界状态，这时绳的拉力为FT1＝eq\r(2)mg.所以滑块至少以a1＝g的加速度向左运动时小球对滑块的压力等于零．(3)当滑块加速度大于g时，小球将“飘”离斜面而只受线的拉力和球的重力的作用，如图丙所示，此时细线与水平方向间的夹角α<45°.由牛顿第二定律得FT′cosα＝ma′，FT′sinα＝mg，解得FT′＝meq\r(a′2＋g2)＝eq\r(5)mg.1．(连接体问题)如图6所示，质量为2m的物块A与水平地面间的动摩擦因数为μ，质量为m的物块B与地面的摩擦不计，在大小为F的水平推力作用下，A、B一起向右做加速运动，则A和B之间的作用力大小为()图6A.eq\f(μmg,3) B.eq\f(2μmg,3)C.eq\f(2F－4μmg,3) D.eq\f(F－2μmg,3)答案D解析以A、B组成的整体为研究对象，由牛顿第二定律得，F－μ·2mg＝(2m＋m)a，整体的加速度大小为a＝eq\f(F－2μmg,3m)；以B为研究对象，由牛顿第二定律得A对B的作用力大小为FAB＝ma＝eq\f(F－2μmg,3)，即A、B间的作用力大小为eq\f(F－2μmg,3)，选项D正确．2．(连接体问题)(多选)如图7所示，在光滑的水平地面上，水平外力F拉动小车和木块一起做无相对滑动的加速运动．小车的质量为M，木块的质量为m，加速度大小为a，木块和小车之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则在这个过程中，木块受到的摩擦力大小为()图7A．μmg B.eq\f(mF,M＋m)C．μ(M＋m)g D．ma答案BD解析木块和小车无相对滑动，加速度a相同，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F＝(M＋m)a，则加速度a＝eq\f(F,M＋m)；以木块为研究对象，根据牛顿第二定律得，木块受到的摩擦力Ff＝ma＝eq\f(mF,M＋m)，选项B、D正确．3．(临界问题)如图8所示，物体A叠放在物体B上，B置于足够大的光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6kg、mB＝2kg.A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.若作用在A上的外力F由0增大到45N，则此过程中()图8A．在拉力F＝12N之前，物体一直保持静止状态B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始发生相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动D．两物体始终不发生相对运动答案D解析先分析两物体的运动情况，B运动是因为受到A对它的静摩擦力，但静摩擦力存在最大值，所以B的加速度存在最大值，可以求出此加速度下F的大小；如果F再增大，则两物体间会发生相对滑动，所以这里存在一个临界点，就是A、B间静摩擦力达到最大值时F的大小．以A为研究对象进行受力分析，A受水平向右的拉力、水平向左的静摩擦力，则有F－Ff＝mAa；再以B为研究对象，B受水平向右的静摩擦力，Ff＝mBa，当Ff为最大静摩擦力时，解得a＝eq\f(Ff,mB)＝eq\f(μmAg,mB)＝eq\f(12,2)m/s2＝6m/s2，此时F＝48N，由此可知此过程中A、B间的摩擦力达不到最大静摩擦力，A、B间不会发生相对运动，故选项D正确．训练1连接体问题一、选择题1.物块A、B(A、B用水平轻绳相连)放在光滑的水平地面上，其质量之比mA∶mB＝2∶1.现用大小为3N的水平拉力作用在物块A上，如图1所示，则A对B的拉力等于()图1A．1NB．1.5NC．2ND．3N答案A解析设物块B的质量为m，A对B的拉力为F，对A、B整体，根据牛顿第二定律有a＝eq\f(3N,m＋2m)，对B有F＝ma，所以F＝1N.2.(多选)(2019·滨州市高一上学期期末)如图2所示，在光滑的水平面上有A、B两木块，质量分别为m和2m，中间用原长为l0、劲度系数为k的水平轻质弹簧连接起来，现用一水平恒力F向右拉木块B，当两木块一起向右做匀加速直线运动时()图2A．两木块的加速度a的大小为eq\f(F,3m)B．弹簧的形变量为eq\f(F,3k)C．两木块之间弹簧的弹力的大小为FD．A、B两木块之间的距离为l0＋eq\f(F,k)答案AB解析对A、B整体：F＝3ma得a＝eq\f(F,3m)，A正确；对A：F弹＝kx＝ma＝eq\f(F,3)得x＝eq\f(F,3k)，A、B两木块之间的距离为l0＋eq\f(F,3k)，B正确，C、D错误．3．(多选)如图3所示，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ.用大小为F的水平外力推动物块P，若记R、Q之间相互作用力与Q、P之间相互作用力大小之比为k.下列判断正确的是()图3A．若μ≠0，则k＝eq\f(5,6) B．若μ≠0，则k＝eq\f(3,5)C．若μ＝0，则k＝eq\f(1,2) D．若μ＝0，则k＝eq\f(3,5)答案BD解析三个物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，根据牛顿第二定律有F－μ(m＋2m＋3m)g＝(m＋2m＋3m)a，解得加速度a＝eq\f(F－6μmg,6m).隔离R进行受力分析，根据牛顿第二定律有F1－3μmg＝3ma，解得R和Q之间相互作用力大小F1＝3ma＋3μmg＝eq\f(1,2)F；隔离P进行受力分析，根据牛顿第二定律有F－F2－μmg＝ma，可得Q与P之间相互作用力大小F2＝F－μmg－ma＝eq\f(5,6)F.所以k＝eq\f(F1,F2)＝eq\f(\f(1,2)F,\f(5,6)F)＝eq\f(3,5)，由于推导过程与μ是否为0无关，故选项B、D正确．4.如图4所示，在光滑的水平桌面上有一物体A，通过绳子与物体B相连，假设绳子的质量以及绳子与轻质定滑轮之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长且与A相连的绳水平．如果mB＝3mA，则绳子对物体A的拉力大小为()图4A．mBg B.eq\f(3,4)mAgC．3mAg D.eq\f(3,4)mBg答案B解析对A、B整体进行受力分析，根据牛顿第二定律可得mBg＝(mA＋mB)a，对物体A，设绳的拉力为F，由牛顿第二定律得，F＝mAa，解得F＝eq\f(3,4)mAg，B正确．二、非选择题5.(2019·江西上高二中高一期末)如图5所示，质量为2kg的物体A和质量为1kg的物体B放在水平地面上，A、B与地面间的动摩擦因数均为eq\f(1,3)，在与水平方向成α＝37°角、大小为20N斜向下推力F的作用下，A、B一起做匀加速直线运动(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．求：图5(1)A、B一起做匀加速直线运动的过程中加速度大小；(2)运动过程中A对B的作用力大小；(3)若3s后撤去推力F，求撤去推力F后1s内A、B在地面上滑行的距离．答案(1)eq\f(2,3)m/s2(2)4N(3)0.6m解析(1)以A、B整体为研究对象进行受力分析，有：Fcosα－μ[(mA＋mB)g＋Fsinα]＝(mA＋mB)a，代入数据解得a＝eq\f(2,3)m/s2.(2)以B为研究对象，设A对B的作用力为FAB，根据牛顿第二定律有：FAB－μmBg＝mBa代入数据解得FAB＝4N.(3)若3s后撤去推力F，此时物体A、B的速度：v＝at＝2m/s撤去推力F后，物体A、B的加速度为a′＝eq\f(μmA＋mBg,mA＋mB)＝μg＝eq\f(10,3)m/s2滑行的时间为t′＝eq\f(v,a′)＝0.6s则撤去推力F后1s内物体A、B在地面上滑行的距离等于0.6s内物体A、B在地面上滑行的距离，则x＝eq\f(v,2)t′＝0.6m.6.如图6所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为m、2m，A放在一倾角为30°并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接．托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为h，轻绳刚好拉紧，A和滑轮间的轻绳与斜面平行．现将B从静止释放，斜面足够长，B落地后静止，重力加速度为g.求：图6(1)B落地前绳上的张力的大小FT；(2)整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离L.答案(1)mg(2)2h解析(1)设B落地前两物块加速度大小为a，对于A，取沿斜面向上为正；对于B取竖直向下为正，由牛顿第二定律得FT－mgsin30°＝ma,2mg－FT＝2ma，解得FT＝mg.(2)由(1)得a＝eq\f(g,2).设B落地前瞬间A的速度为v，B自下落开始至落地前瞬间的过程中，A沿斜面运动距离为h，由运动学公式得v2＝2ah；设B落地后A沿斜面向上运动的过程中加速度为a′，则a′＝－gsin30°；设B落地后A沿斜面向上运动的最大距离为s，由运动学公式得－v2＝2a′s.由以上各式得s＝h，则整个运动过程中，A沿斜面向上运动的最大距离L＝2h.训练2临界问题1.(2019·银川一中高一上学期期末)如图1所示，在光滑的水平面上叠放着两木块A、B，质量分别是m1和m2，A、B间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要把B从A下面拉出来，则拉力的大小必须满足()图1A．F>μ(m1＋m2)g B．F>μ(m1－m2)gC．F>μm1g D．F>μm2g答案A解析以木块A为研究对象，则刚要发生相对滑动时，μm1g＝m1a以A、B整体为研究对象，则刚要发生相对滑动时，F0＝(m1＋m2)a解得F0＝μ(m1＋m2)g则拉力F必须满足F>μ(m1＋m2)g，故选A.2.(多选)一个质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角θ＝53°的斜面顶端，如图2，斜面静止时，球紧靠在斜面上，细线与斜面平行，不计摩擦及空气阻力，当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，则(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，取g＝10m/s2)()图2A．细线的拉力为1.60NB．细线的拉力为2eq\r(2)NC．斜面对小球的弹力为1.20ND．斜面对小球的弹力为0答案BD解析当小球对斜面的压力恰为零时，斜面的加速度为a0，根据牛顿第二定律可知mgtan37°＝ma0，解得a0＝7.5m/s2，由于a0＝7.5m/s2<10m/s2，则当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，小球将飘离斜面，设此时细线与竖直方向的夹角为α，则mgtanα＝ma，解得α＝45°，则此时细线的拉力FT＝eq\f(mg,cosα)＝2eq\r(2)N，选项B、D正确．3.如图3所示，质量为M、中间为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽球心和小铁球的连线与竖直方向成α角．重力加速度为g，则下列说法正确的是()图3A．小铁球受到的合外力方向水平向左B．F＝(M＋m)gtanαC．系统的加速度为a＝gsinαD．F＝mgtanα答案B解析隔离小铁球受力分析得F合＝mgtanα＝ma且合外力方向水平向右，故小铁球加速度为gtanα，因为小铁球与凹槽相对静止，故系统的加速度也为gtanα，A、C错误．对整体受力分析得F＝(M＋m)a＝(M＋m)gtanα，故B正确，D错误．4.(多选)如图4所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4kg、m2＝1kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是()图4A．50N B．100NC．125N D．150N答案CD解析若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律FN＝m2a；对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得F≥(m1＋m2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,μ1)＋μ2))g＝125N，选项C、D正确．5.(多选)(2020·玉溪第一中学高一期末)如图5所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6kg、mB＝2kg，A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始处于静止状态，现对A施加一个逐渐增加的水平力F，在F逐渐增大的过程中，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，则下列说法正确的是()图5A．当拉力F<12N时，物体A保持静止状态B．当拉力超过12N时，A、B开始相对滑动C．当F＝24N时，A的加速大小为3m/s2D．当拉力超过48N时，A、B才开始相对滑动答案CD解析由于B置于光滑水平面上，有力作用在物体A上，A、B整体加速运动；对B，当A、B间的摩擦力达到最大值时，此时的加速度达到最大，最大静摩擦力Fmax＝μmAg＝12N，则最大加速度，a＝eq\f(μmAg,mB)＝eq\f(12,2)m/s2＝6m/s2对整体运用牛顿第二定律，有F＝(mA＋mB)a＝48N知两物体开始没有相对运动，当拉力增加到48N时，发生相对滑动，故A、B错误，D正确；当F＝24N时，两物体没有相对运动，根据牛顿第二定律，A的加速度大小为a＝eq\f(F,mA＋mB)＝eq\f(24,6＋2)m/s2＝3m