普通高考（泄露天机）押题卷理科数学（一）

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数的共轭复数为，满足，则复数（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得，，所以，解得，所以复数．2．集合，，则集合（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，．3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为，，另一对短鼻子野生小鼠为，，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为，，，，共计4种，所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为．4．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的可能值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，所以．5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（）A．枚 B．枚 C．枚 D．枚【答案】B【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为缗，这一堆铜钱的数量为枚．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视图 侧视图A． B． C． D．【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，．7．如图的程序框图，当输出后，程序结束，则判断框内应该填（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的最大值为15，可知符合题意．8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，函数，当时，，时，，不满足题意；对于B，当时，递增，不满足题意；对于C，当时，，不满足题意；故选D．9．若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛物线方程联立，，消去，得，所以，所以所截得的弦长为，化简可得，，，，得或（舍），所以双曲线的离心率．10．若是函数QUOTEQUOTE的极值点，则函数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，∴，由已知得，，∴，解得．∴，∴，所以函数的极值点为，，当QUOTEQUOTE时，，所以函数是减函数，当或时，，函数是增函数．又当时，，，当时，，，∴在上，又当时，函数递减，当时，函数递增，∴．11．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】曲线可化为，表示圆心在，半径为的圆，，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，联立，解得或（舍去），当时，取得最大值，则，所以，所以，，当且仅当，时取等号．12．已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（）A．45 B．15 C．10 D．0【答案】A【解析】由函数，所以，当时，，而函数为定义域上的奇函数，所以，所以；由，得，由函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，可知关于对称，且在上是单调递增函数，由对称性猜想，下面用反证法说明，假设，知，则，，由对称性可知，，，则与题意不符，故不成立；同理也不成立，所以，所以，根据等差数列性质，．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量、满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】根据约束条件画出可行域，直线过点时，取得最小值是．14．已知，，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，因为，，所以，则，因为，所以，所以的最大值为．15．已知正方形的边长为1，为面内一点，则的最小值为____________．【答案】【解析】建立如图所示的坐标系，以为坐标原点，则，，，，设，则，，，，，当，时，的最小值为．16．如图，在四边形中，和都是等腰直角三角形，，，，沿把翻折起来，形成二面角，且二面角为，此时，，，在同一球面上，则此球的体积为___________．【答案】【解析】由已知可知，、的外接圆圆心分别为、的中点、，分别过、作、所在平面的垂线，垂线的交点即为球心，由已知可知即为二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，所以，所以．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，（1）若，求的值，（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，······1分∴，······2分∴，······3分∴，······4分又，∴，······5分．······6分（2）当时，，······7分∴，······8分∴，······9分∴，······10分∵，∴，即，当且仅当时等号成立，······11分∴，∴面积的最大值为．······12分18．（12分）据悉，2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元，中国占据全球市场份额10.8%．通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业，下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图．（1）求的值；（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？（3）在上述抽取的40个企业中任取2个，设为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值，求的分布列及期望．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，．·······2分（2）产值小于500万元的企业个数为：，·······3分所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为．·······6分（3）的所有可能取值为，，．·······7分，·······8分，·······9分．·······10分∴的分布列为：期望为：．·······12分19．（12分）在三棱锥中，，，．（1）求证：；（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）最大值为．【解析】（1）取中点，连接，，∵，又为中点，∴，·······1分同理可得：，·······2分又，∴平面，·······3分又平面，∴．·······4分（2）∵，，∴为直角三角形，且，，∴，，即，又，所以平面，·······5分∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系．∴，，，，设，，，，∴，∴，即，∴，·······6分，·····7分，，设是平面的法向量，∴，令，得，，∴，·······9分∴，···10分由，可知，∴，∴的最大值为．·······12分20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以，·····1分因为，所以，·······2分所以，·······3分所以椭圆的标准方程为．·······4分（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，，联立直线与椭圆，消去得，，，·······5分又，解得：，·····6分，，所以，·······7分所以：，即，化简得：，·······8分令，得，即，·······9分，·······10分令，则，所以，所以．·······12分21．（12分）已知函数；（1）讨论的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求的最大值．参考数据：1.61.71.84.9535.4746.0500.4700.5310.588【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】（1）根据题意可得，，·······1分当时，，函数是减函数，无极值点；·······2分当时，令，得，即，又在上是增函数，且当时，，所以在上存在一解，不妨设为，所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．所以函数有一个极大值点，无极小值点；总之：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点．·······5分（2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，可知：，要使恒成立，即②，·······6分由①可得，代入②得，即，因为，所以，·······7分因为，，且在是增函数，设为的零点，则，可知，·······8分由②可得，当时，，不等式显然恒成立；·······9分当时，，，令，，，所以上是减函数，且，，所以，·······11分所以，又，所以的最大值为．·······12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。【选修44：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：．（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为，·······3分直线的极坐标方程为：，化为普通方程为．······5分（2）设到直线的距离为，，·······7分∴到直线的距离