高一数学人必修课件向量数量积的运算律

汇报人：XX20XX-01-21高一数学人必修课件向量数量积的运算律目录向量数量积基本概念与性质向量数量积运算方法运算律及其证明典型例题分析与解答练习题与自测题课程小结与拓展延伸01向量数量积基本概念与性质向量数量积的定义对于两个向量a和b，它们的数量积（也称为点积）是一个标量，记作a·b，定义为a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模，θ是向量a和b之间的夹角。数量积的几何意义向量a和b的数量积等于向量a在向量b上的投影与向量b的模的乘积。向量数量积定义向量数量积性质交换律：a·b=b·a，即向量数量积满足交换律。分配律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，其中λ是实数，即向量数量积满足分配律。结合律：(a+b)·c=a·c+b·c，即向量数量积满足结合律。零向量与任何向量的数量积都是0。若向量a和b垂直，则a·b=0。向量数量积不满足向量加法的结合律和交换律。向量数量积与向量加法的关系向量数量积也不满足向量减法的性质。向量数量积与向量减法的关系向量数量积满足数乘的分配律，但不满足数乘的结合律和交换律。向量数量积与数乘的关系向量数量积与向量外积（叉积）是两个不同的概念，它们之间没有直接的运算关系。向量数量积与向量外积的关系与其他运算关系02向量数量积运算方法定义向量$vec{a}$与$vec{b}$的数量积定义为$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta$，其中$theta$为$vec{a}$与$vec{b}$的夹角。注意事项当两向量夹角为$90^circ$时，$costheta=0$，数量积为0；当两向量夹角为$180^circ$时，$costheta=-1$，数量积为负数。示例已知向量$vec{a}=(2,3)$，$vec{b}=(4,5)$，求$vec{a}cdotvec{b}$。定义法求向量数量积最后求得数量积$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta=sqrt{13}timessqrt{41}timesfrac{23}{sqrt{533}}=23$。解：首先计算两向量的模长，$|vec{a}|=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{13}$，$|vec{b}|=sqrt{4^2+5^2}=sqrt{41}$。然后计算两向量的夹角$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|times|vec{b}|}=frac{(2times4)+(3times5)}{sqrt{13}timessqrt{41}}=frac{23}{sqrt{533}}$。定义法求向量数量积定义对于平面上的两个向量$vec{a}=(x_1,y_1)$和$vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以通过坐标表示为$vec{a}cdotvec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。示例已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec{b}=(3,4)$，求$vec{a}cdotvec{b}$。解根据坐标法的定义，直接计算得$vec{a}cdotvec{b}=1times3+2times4=3+8=11$。注意事项坐标法适用于平面上的向量，对于空间中的向量需要采用类似的方法进行计算。坐标法求向量数量积注意事项投影法需要先确定一个向量在另一个向量上的投影长度，这通常通过计算两向量的夹角余弦值来实现。定义向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的投影长度乘以向量$vec{b}$的模长即为两向量的数量积，即$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|costhetatimes|vec{b}|$。示例已知向量$vec{a}=(2,3)$，$vec{b}=(4,5)$，求$vec{a}cdotvec{b}$。投影法求向量数量积解：首先计算两向量的模长，$|vec{a}|=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{13}$，$|vec{b}|=sqrt{4^2+5^2}=sqrt{41}$。然后计算两向量的夹角余弦值$costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|times|vec{b}|}$，由于我们要求的是数量积，这里可以用已知的模长和夹角余弦值来求解。最后求得数量积$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|costhetatimes|vec{b}|=sqrt{13}timesfrac{sqrt{13}}{sqrt{41}}timessqrt{41}=13$。投影法求向量数量积03运算律及其证明对于任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$。定义根据向量数量积的定义，$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescos<vec{a},vec{b}>$。由于点乘的结果是一个标量，并且标量的乘法满足交换律，因此$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{a}$。证明交换律定义对于任意三个向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$。证明根据向量加法的定义和向量数量积的分配律，$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=|vec{a}+vec{b}|times|vec{c}|timescos<vec{a}+vec{b},vec{c}>$。由于向量加法和数量积都是线性的，因此$(vec{a}+vec{b})cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+vec{b}cdotvec{c}$。结合律对于任意三个向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$，以及任意实数$lambda$和$mu$，有$(lambdavec{a}+muvec{b})cdotvec{c}=lambda(vec{a}cdotvec{c})+mu(vec{b}cdotvec{c})$。定义根据向量数乘的定义和向量数量积的线性性质，$(lambdavec{a}+muvec{b})cdotvec{c}=|lambdavec{a}+muvec{b}|times|vec{c}|timescos<lambdavec{a}+muvec{b},vec{c}>$。由于向量数乘和数量积都是线性的，因此$(lambdavec{a}+muvec{b})cdotvec{c}=lambda(vec{a}cdotvec{c})+mu(vec{b}cdotvec{c})$。证明分配律04典型例题分析与解答例1：已知向量$vec{a}$和$vec{b}$的夹角为$60^circ$，且$|vec{a}|=2,|vec{b}|=3$，求$vec{a}cdotvec{b}$。分析：直接应用数量积的定义$vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}|times|vec{b}|timescostheta$进行计算。解答：$vec{a}cdotvec{b}=2times3timescos60^circ=2times3timesfrac{1}{2}=3$。分析：利用数量积的性质和定义进行推导。解答：不正确。因为$vec{a}cdotvec{b}=vec{b}cdotvec{c}$只能推出$(vec{a}-vec{c})cdotvec{b}=0$，即$vec{a}-vec{c}$与$vec{b}$垂直，但不能推出$vec{a}=vec{c}$。0102030405涉及定义和性质问题例3：已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$，求$\vec{a}\cdot(\vec{a}+2\vec{b})$。涉及运算方法问题分析利用数量积的分配律进行计算。解答首先计算$vec{a}+2vec{b}=(1,2)+2(2,1)=(5,4)$，然后$vec{a}cdot(vec{a}+2vec{b})=(1,2)cdot(5,4)=1times5+2times4=13$。例4已知向量$vec{a}$和$vec{b}$满足$|vec{a}|=1,|vec{b}|=2$，且$(vec{a}+vec{b})perp(vec{a}-2vec{b})$，求$vec{a}$与$vec{b}$的夹角。涉及运算方法问题分析利用垂直条件$(vec{a}+vec{b})cdot(vec{a}-2vec{b})=0$和数量积的定义求解。解答由$(vec{a}+vec{b})cdot(vec{a}-2vec{b})=0$得$vec{a}^2-2vec{b}^2-vec{a}cdotvec{b}=0$，即$1-8-vec{a}cdotvec{b}=0$，解得$cos<vec{a},vec{b}>=-frac{sqrt{15}}{4}$，所以夹角为$arccos(-frac{sqrt{15}}{4})$。涉及运算方法问题验证向量数量积的结合律，即$(lambdamu)vec{a}cdotvec{b}=lambda(muvec{a})cdotvec{b}$。利用数量积的定义和标量的结合律进行验证。左边$=(lambdamu)vec{a}cdotvec{b}=(lambdamu)(|vec{a}||vec{b}|cos<vec{a},vec{b}>)$，右边$=lambda(mu|vec{a}|)|vec{b}|cos<muvec{a},vec{b}>=(lambdamu)(|vec{a}||vec{b}|cos<例5分析解答涉及运算律问题05练习题与自测题计算向量$vec{a}=(2,3)$与$vec{b}=(4,-1)$的数量积$vec{a}cdotvec{b}$。已知向量$vec{a}$和$vec{b}$的夹角为$60^circ$，且$|vec{a}|=3,|vec{b}|=4$，求$vec{a}cdotvec{b}$。若$vec{a},vec{b},vec{c}$是三个非零向量，且满足$vec{a}perpvec{b},vec{b}perpvec{c}$，证明：$vec{a}perpvec{c}$。已知向量$vec{a},vec{b},vec{c}$满足$|vec{a}|=|vec{b}|=|vec{c}|=1$，且$vec{a}+vec{b}+vec{c}=vec{0}$，求$vec{a}cdotvec{b}+vec{b}cdotvec{c}+vec{c}cdotvec{a}$的值。练习题自测题计算向量$\vec{u}=(1,2)$与$\vec{v}=(-3,4)$的数量积，并判断这两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角。已知向量$\vec{m}$和$\vec{n}$的夹角为$120^\circ$，且$|\vec{m}|=2,|\vec{n}|=5$，求$(2\vec{m}-\vec{n})\cdot(\vec{m}+3\vec{n})$。设$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$\vec{m}=(a,b),\vec{n}=(\cosA,\cosB)$，若$\vec{m}\cdot\vec{n}=c\cosC$，试判断$\triangleABC$的形状。已知向量$\vec{\alpha},\vec{\beta}$满足$|\vec{\alpha}|=1,|\vec{\beta}|=2$，且$\vec{\alpha},\vec{\beta}$的夹角为$120^\c