2024高考数学教材：平面向量、数系的扩充与复数的引入

2024高考数学教材:

平面向量,数系的扩充与复数的引入

目录

1.平面向量的概念及线性运算..................................................2

1.1.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀..............................2

1.2.课堂作业.................................................................4

1.3.互动课堂•考向探究........................................................6

1.3.1.考点一平面向量的概念自主练习...................................7

1.3.2.考点二平面向量的线性运算微专题.................................8

2.平面向量的基本定理及坐标表示...............................................17

2.1.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀..............................17

2.2.课堂作业................................................................18

2.3.互动课堂•考向探究.......................................................21

2.3.1.考点一平面向量基本定理的应用....................................21

2.3.2.考点二平面向量的坐标运算........................................24

2.3.3.考点三平面向量共线的坐标表示....................................27

3.平面向量的数量积............................................................33

3.1.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀.............................34

3.2.课堂作业................................................................35

3.3.互动课堂•考向探究......................................................38

3.3.1.考点一平面向量数量积的运算自主练习...........................38

3.3.2.考点二平面向量数量积的性质应用微专题..........................41

3.3.3.【例1】（配合考点一使用）若平面向量ei,e2满足|ei|=|3ei+e2|=2,则为

在e2方向上的投影的最大值为（）....................................................................................47

3.4.互动课堂•考向探究.....................................................49

3.4.1,考点—平面向量与平面几何.......................................49

3.4.2.考点二平面向量中的最值问题.....................................52

3.4.3.考点三平面向量与解三角形.......................................55

4.数系的扩充与复数的引入.....................................................63

4.1.教材回扣基础自测一一自主学习•知识积淀.............................63

4.2.课堂作业..............................................................65

4.3.互动课堂•考向探究......................................................67

第1页共73页

4.3.1.考点一复数的有关概念...........................................67

4.3.2.考点二复数的几何意义...........................................69

4.3.3.考点三复数的运算微专题........................................71

1.平面向量的概念及线性运算

考题举

内容要求考向规律

例

1.了解向量的实际

考情分析：主

背景

202。新要考查平面向量的

2.理解平面向量的

高考n线性运算（加法、减

概念，理解两个向量相

卷•△（向量的法、数乘）及其几何

等的含义

线性运算）意义、共线向量定

3.理解向量的几何

2018•全理，有时也会有创

表示

国I卷Z（向新的新定义问题；

4.掌握向量加法、

量的线性运题型以选择题、填

减法的运算，并理解其

算）空题为主，属于中

几何意义

2017•江低档题目。偶尔会

5.掌握向量数乘的

苏高在解答题中作为工

运算及其几何意义，理

考？2（向量具出现

解两个向量共线的含义

的线性运算）核心素养：数

6.了解向量线性运

学运算

算的性质及其几何意义

1.1.教材回扣基础自测-——自主学习知识积淀

一一Aq

1.向量的有关概念

（1）向量

两个方面：大小和方向。

第2页共73页

其中，向量的大小，叫做向量的长度(或模)。

(2)零向量

长度为Oz方向是任意的。

(3)单位向量：长度等于1个单位;方向是确定的。

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共

线向量O规定：。与任一向量平行O

(5)相等向量：长度相等;方向相同。

(6)相反向量：长度相等;方向相反。

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与

向量。平行的单位向量有两个，即向量言和一台。

2.向量的线性运算

向量定运算

法则(或几何意义)

运算义律

⑴交

换律：。+

求两ab=bJt-a；

三角形法则

加法个向量和⑵结

的运算y合律：3

a+))+c=

平行四边形法则a+S+c)

求a

与力的相a-b

减法反向量一b="+(一

的和的运b)

三角形法则

算

第3页共73页

A(JLld)

⑴|必=|2|同；—；

求实(2)当2>0时，2a的(2+

数/I与向方1可与a的方向相向;4)。=%+

数乘

量a的积当A<0时，2a的方1可与

的运算a的方向相反;当2=0

时，觞=0b)=Aa-\~

Xb

•微提醒・

向量加法的多边形法则

多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a+b+

。表示从起点指向终点的向量，只关心起点、终点。

3.共线向量定理

。是非零向量，若存在一个实数九使得力=痴，则向量〃与

非零向量a共线。

・微提醒・

-1

1.若尸为线段AB的中点，。为平面内任一点，则0P=]

—►—►

(QA+03)。

—►—►-►

2.。4=%。8+〃。。(九〃为实数)，若A,B,C三点共线，则

%+〃=1。

1.2.课堂作业

第4页共73页

一、常规题

1.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）

A.|A3|=|AD|一定成立

—►—►-►

B.AC=A3+A。一定成立

C.AD=BC一定成立

—►—>—►

D.8O=AO—AB一定成立

解析在平行四边形ABCD中，AC=AB+A。一定成立，

-A-A-A-A—►—►

=3。一定成立，8O=AO—AB一定成立，但|AB|=|AD|不一定成

立。故选A。

答案A

2.如图所示，已知AC=33C,。4=0,OB=b,OC=c,则

下列等式中成立的是（)

A.c—^b—^a

B.c—2b—a

C.c—2a—b

c31,

D.c=/a一矽

解析因为AC=38C,OA=a,OB=b,所以OC=QA+AC

33131

=0A=OA+](08—QA)=/0吐=/b—于。

第5页共73页

答案A

3.设a与〃是两个不共线向量，且向量a+乃与一（力一2a）

共线，则%=o

解析依题意知向量。+劝与2a—力共线，设。+乃=左（2a

1—2左=0,1

一》），则有（1—2Z）a+（hH迫=0,所以，…解得％=万，

%+2=0,z

；=-20

套案--

u木2

二、易错题

―►

4.（对向量相等隐含条件认识不清）若四边形ABCD满足AO

—>—>-A

〃3c且|AB|=|OC|,则四边形ABCD的形状是

解析当|AD|=|BC|时，四边形A3CD是平行四边形；当|AD

―►

|W|3C|时，四边形A3CD是等腰梯形。

答案等腰梯形或平行四边形

5.（两向量的方向关系不清）已知同=2,网=5,则|。十"的

取值范围是o

解析当。与办方向相同时，|a+"=7;当a与8方向相反

时，|a+"=3;当。与b不共线时，3<|。+例<7。所以|a+b|的取

值范围为［3,7］。

答案［3,7］

考点例析对点微练

1.3.互动课堂•考向探究

第6页共73页

L3.L考点一平面向量的概念自主练习

1.下面说法正确的是（）

A.平面内的单位向量是唯一的

B.平面内所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有的单位向量的模相等

解析因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；

当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以

选项B错误；当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两

个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量的模都等于

1,所以选项D正确。

答案D

2.下列四个命题中，真命题为（）

A.若a//b,则a=b

B.若⑷=|例，则

C.若|0|=步|,则。〃力

D.若a=b,则|a|=l5I

答案D

3.下列四个命题中，正确的是（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

—►—►

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且则四边

形A3CD为平行四边形

C.a=）的充要条件是⑷=|加且a〃b

D.已知九〃为实数，若Za=曲,则。与〃共线

解析A错误，若两个向量起点相同，终点相同，则两个向

量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，

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因为AB=OC,所以|AB|=|Z）C|且A8〃0C,又A,B,C,。是不

共线的四点，所以四边形ABCQ为平行四边形；C错误，当a〃

8且方向相反时,即使⑷=步|,也不能得到所以“⑷=网

且。〃b"不是“a=b”的充要条件，而是必要不充分条件；D错

误，当丸=〃=0时，。与〃可以为任意向量，满足觞=曲，但a

与b不一定共线。

答案B

—————-—

*•-_=_II一；1L二I

向量有关概念的关键点

1.向量定义的关键是方向和长度。

2.非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制。

3.相等向量的关键是方向相同且长度相等。

4.单位向量的关键是长度等于1个单位。

5.零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线。

1.3.2.考点二平面向量的线性运算微专题

微考向1：平面向量的加法、减法运算

【例1】（1）（多选）如图所示，在△A3C中，。是AB的中

点，下列关于向量CD表示不正确的是（）

A.CD=CA+DB

—►—►-►

B.CD=BC+DA

f1ff

C.CD^^AB+AC

第8页共73页

D.CD=!CA+《CB

解析对于A,因为。是48的中点，所以AO=DB,因为

—►-A-A—►-A-A

CD=CA+AD,所以CO=CA+DB,所以A正确；对于B,由三

―►—►—►—►—►―►―►

角形法则得，CQ=CB+BO=CB+D4=—BC+D4,所以B不

正确；对于C,CD=CA+AD=^AB~AC,所以C不正确；对于

11

D,因为。是A3的中点，所以。。=5。4+不。8,所以D正确。

故选BC。

答案BC

(2)(2021冻北育才学校模拟)如图，在平行四边形ABCD,

——3—

后为3C的中点，尸为。石的中点，若AF=%A3+京。，则％=

()

32

A-4B-3

C』D1

J24

-1

解析连接AE(图略)，因为尸为。石的中点，所以A尸=]

(AD+AE),而AE=A3+BE=A3+4BC=AB+H。，所以A尸=5

一1(——1—'

(AD+AE)=-^AD-\-AB+2AD,^AF=xAB+海

第9页共73页

m,1

所以％=2。

答案C

———一———..

w-二-']]”!TF,，1■,匚I

平面向量的线性运算技巧

1.不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解。

2.含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，

充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知

向量用已知向量表示出来求解。

微考向2：向量共线问题

【例2】设向量ei，02是平面内的一组基底，若向量。=

i3^1—02与力=C1一202共线，则丸=（）

1

二--

A.3B.3

C.-3D.3

解析因为a与力共线，所以存在〃£R,使得a=〃b,即

—3ei—e2=〃（ei—屁2）,即一3ei—02=〃2一加02,比较系数，得〃

=-3,—Aju=-1,故丸=一；。

答案B

二二=­j।匚।

两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包

含两种情况：同向共线或反向共线。

一般地，若。=劝（。70）,则a与力共线：

1.当z>0时，a与8同向；

2.当丸<0时，°与力反向。

微考向3：三点共线问题

[例3]（1）（2021•郑州模拟）设白与外是两个不共线的向

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量，A3=3ei+2e2，CB=ke\+ei，CD=3e、-2ke2,若A,B,D

三点共线，则％的值为O

解析因为A,B,。三点共线，所以必存在一个实数九使

^AB=XBDO又A3=3ei+2e2,CB=ke\+e2,CD=3e\~2ke2,所

以3。=。。-08=3d一2既2一(既1+02)=(3—幻幻一(2%+1)62,所

以3ei+2e2=〃3—Z)ei—〃2左+1)02,又仍与⑪不共线，所以

3=43一2),9

解得k=—］。

2=T(2%+1),

答案V9

(2)设。4,。8不共线，求证：P,A,8三点共线的充要条件

-A-A—>

是：OP=%OA+〃OB且2+〃=1,九〃£R。

证明充分性：因为％+〃=1,

—►-►-A-A-A—►—A-A

所以0P=A0A+〃08=(l—4)0A+〃08=0A+〃(08—QA)

—►—►

=0A+〃A5。

—►—►-►

所以OP—OA=〃AB。

—►—►—►-►

所以AP=〃AB,所以AP,A3共线。

因为两向量有公共点A,所以A,P,3三点共线。

必要性：若P,A,3三点共线，

-A-A-A-A

则AP=〃A8=〃(08—0A)。

—>—►-A-►

所以0尸一0A=3—"0Ao

第11页共73页

所以OP=(1—〃)。4+〃0瓦

-A-►-►

令人=1一〃，贝|QP=%OA+〃QB,其中〃+2=1。

-A-►―►

综上，P,A,3三点共线的主要条件是：OP=AOA+^OB^L

2+〃=1,A,〃£R。

总结反思

1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向

量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时,

—►—►

才能得出三点共线，即A,B,。三点共线台AB,AC共线。

-►­►—>•

2.A,B,C三点共线的一个充要条件是。4=203+〃0。(2

+〃=1)(0是平面内任意一点),此结论在解决三点共线问题时非

常方便。

【题组对点练】

1.(微考向1)设。为△A4C所在平面内一点，BC=3CD,

若AQ=143+〃AC,则2一〃=()

54

A.-3B.—3

C.gD.|

解析由BC=3CO,可知8,C,。三点在同一直线上，如

图所示。根据题意及图形，可得AD=AC+CD=AC+"(AC—A3)

14145

,所以丸=一,，所以〃

2—=-333°

故选A。

第12页共73页

答案A

—►—►-►

2.(微考向1)(多选)已知平面向量OA,OB,0C为三个单位

—►-►-A—>-A

向量，且。403=0,^OC=xOA+yOB{x,j£R),则x+y的可

能取值为()

A.0B.1

C.也D.2

解析依题意，QA,是一组垂直的单位向量，如图建立

坐标系，向量03作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆

上任一点C(cosQ,sin0)(3表示由x轴非负半轴旋转到OC所形

—►-►-A

成的角)构成的向量OC,附0,2兀),因为。A=(l,0),03=(0,1),

-►-A->—►

(?C=(cos0,sinO'),OC=xOA~\-yOB,所以％=cos仇j=sin0,

故x+y=cos9+sin9=gsin。+彳，[0,2兀)，故％+y£[―

也也,可以取0,1,也。故选ABC。

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答案ABC

3.（微考向3）如图所示，在aABC中，。是3C的中点，过

点0的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N,若

AC=nAN,则m+n的值为（）

-―.----------..A

mn

解析解法一:连接AO,则AO=1(AB+AC)=EAM+]AN,

mn

因为Af,0,N三点共线，所以万+5=1,所以〃?+〃=2。

1

解法二：连接A0。由于。为的中点，故AO=］（AB+

AC）,MO=AO-AM^AB+AC）-^iAB=\^--^B+^AC,同

理，NO=pB+|j一力4。。由于向量MO,NO共线，故存在实数

第14页共73页

（11）11-*（八_

2使得M0=AM9,即一/川+济仁支/钻+攻\一小。。由于

-fiiiino

AC不共线，故得不一=万/1且5=%万一二，消掉2,得（

AB,乙777乙乙it）m—

2）（〃-2）=也〃，化简即得机+〃=2。

答案B

4.（微考向2）设两个非零向量。与〃不共线。若痴+力与。

+kb共线，则k—o

解析因为①+力与。+心共线，则存在实数2,使加+8

=%3+劭），即（女一人加=（"一1）儿又。，。是两个不共线的非零

向量，所以％—2=欣一1=0。消去九得3—1=0,所以左=±1。

答案±1

教师备用题

【例1】（配合例1使用）在△A3C中，。为边3C上一点，

AAA[-►>

E是线段AO的中点，若CE=^AB+^iAC,贝!J2+〃=

()

A-3B.一

〃77

C.70D.—76

f]fff(1)+]

角窣析CE=^CB-CA)+^AC=-jCB+^-^-MCA=—^~

1

（112+11

CD+1—Q—〃JCA,因为石是AQ的中点，所以一丁=13-

=；,解得丸=3，//=—|,故2+〃=—'。故选B。

答案B

【例2】（配合例1使用）已知数列｛斯｝是正项等差数列,

第15页共73页

在△ABC中，BD=tBCQ£R),若人。：的人与+益人。，则的小的

最大值为()

A.1B.；

C』D1

J458

―►—►-►

解析因为BD=tBC,所以B,C,。三点共线。又因为A。

—►—►

=a^B+asAC,所以。3+恁=1。由数列｛。〃｝是正项等差数列，

得“3>0,恁>。，所以1=43+45、

2\/a3a5,解得的当且仅当的=%=夕寸取等号。故选

Co

答案c

【例3】(配合例3使用)如图，在△ABC中，。为5c的

—►—►—►―►—►

中点，AE=2EC,AD与BE相交于点G,若AG=xGQ,BG=

—►

yGE,贝ij%+y=()

A.4B.与C.2D.冷

—►—►-►

解析由题意得向量AG=%GO,。为3c的中点，且AE=

-A―A—►—►—►-►

XXXX

2EC，可得AG=yzpjAQ=2(l+%)/§+2(1+%)/0=2(1+x)/3

3r-X3尤

+4(1+%)"及因为&G,石二点共线，所以2(1+%)+4(1+%)

第16页共73页

=1,解得了=4。由BG=yGE,。为8c的中点，_ELAE=2EC,

可得的南南服+孤卜南服+胸）,=

-AA-A

、/A+二/、BD。因为A,G,。三点共线，所以

3（1+y）3（1+y）3（1+y）

+4%=1，解得尸点所以％+y=?。故选D。

答案D

2.平面向量的基本定理及坐标表示

内容要求考题举例考向规律

考情分析：平面

1.了解平面向

向量的坐标运算承前

量的基本定理及其

启后，不仅使向量的

意义2018•全国III

加法、减法和实数与

2.掌握平面向卷・13（向量共线

向量的积完全代数

量的正交分解及其的坐标表小）

化，也是学习向量数

坐标表小2017•全国in

量积的基础，因此是

3.会用坐标表卷18（平面向量

平面向量中的重要内

不平面向量的加的坐标运算）

容之一，也是高考中

法、减法与数乘运2015•江苏高

命题的热点内容。在

算考二6（平面向量

这里，充分体现了转

4.理解用坐标的坐标运算）

化和数形结合的思想

表不的平面向量共

核心素养：数学

线的条件

运算

2.1.教材回扣基础自测—自主学习•知识积淀

、基础细梳理知识必备・固根基.

第17页共73页

1.平面向量基本定理

(1)基底：不共线的向量6,02叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

(2)定理：如果白，62是同一平面内的两个不共线向量,那么

对于这一平面内的任意向量。，有且只有一对实数为，丸2，使a

=』1C1+2262。

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与％轴、y轴方向相同的两个

单位向量i,j作为基底，该平面内的任一向量。可表示成“=%

i+yj,a与数对(%,y)是一一对应的，把有序数对(%,y)叫做向量

a的坐标，记作a=(%,y),其中a在％轴上的坐标是％,。在y

轴上的坐标是y。

3.平面向量的坐标运算

设。=（%i，y）,b=g,竺），则a+1=（%i+%2，yi+y2），

向量的加法、减法

a-b—但一©，y1—>2）

向量的数乘设a=（%,y）,贝！Jia=（/be2"）

向量坐标的求法

设A（%i，y）,5（X2,竺），则AB=（%2—幻，丫2-yi）

4.平面向量共线的坐标表示

右,4=(%],yD，b—(X2>”)，则a〃8-%2丫1=0。

•微提醒•

1.平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，反之亦然。

2.若a与8不共线，痴+〃力=0,则2=〃=0。

3.已知a=(%i,yi),b=(x2,y2),如果％2WO,"WO,贝股〃

，可弋。

2.2.课堂作业

一、常规题

第18页共73页

1.已知点Pi(l,3),P2(4,0),若尸是线段P1P2的一个三等分

点，则点P的坐标为()

(2,2)(3,-1)

(2,2)或(3,-1)(2,2)或(3,1)

-A1-A-A2-A-A

解析由题意得=或=RP2=(3,-3)O

ff1f

设P(%,y),则P1P=(%—1,y—3),当P1P=§P1P2时，(X-I,y一

1-2一

3)=§(3,-3),所以％=2,y=2,即尸(2,2)o当PiP=]PE时，

2

(x-1,y—3)=g(3,-3),所以％=3,y=l,即尸(3,1)。故选D。

答案D

-A->

2.如图，在正方形ABCD中，石为。。的中点，若

-►

+〃AC,则2+〃的值为()

D.-1

11

解析因为E为。。的中点，所以AC=AB+AD=]A3+]

AB+AD=^AB+DE+AD=^AB+AE,即AE=—NB+AC,所以

答案A

第19页共73页

3.已知向量a=(l,2),b=Q,—2),c=(l,A)o若c〃(2a

+b),则2=o

解析由题意可得2a+b=(4,2)。因为c〃(2a+))，c=(l,

A),所以42—2=0,即%=:。

较安—

u木2

二'易错题

4.(忽视基底不共线)给出下列三个向量:

—3),c=(—2,6)。从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基

底的组数为o

解析这三个向量中，b//c,a与6c不平行，所以可以构

成基底的是a与6a与c,所以能构成两组基底。

答案2

5.(忽视共线的两种情况)已知点A(—1,3),BQ,-1),则与

向量A8共线的单位向量是。

-A-►-A

解析AB=(3,-4),|AB|=^32+(-4)2=5,所以与A3共线

的单位向量是序一刁或［一右刁。

令口士案［G予一小4V或,f［一3于45,)

6.(向量共线的坐标公式掌握不牢)已知点8(4,2)和

-A-A

向量4=(2,2),若。〃AB,则实数2=；若a=〃A5,

则4=。

-A->

解析由题意得A8=(3,l),因为a〃AB,所以“一2=0,

第20页共73页

2f[3〃=2,

解得2=鼻。由a=fiAB,得（2,2）=（3〃，//）,所以，故〃

J〔〃=九，

_2

=3°

答案,2:2

考点例析对点微练

2.3.互动课堂•考向探究

2.3.1.考点一平面向量基本定理的应用

【例1】（1）（2021•郑州模拟）如图，在直角梯形ABCO中，

A3=2AO=2QC,石为8C边上一点，BC=3EC,/为AE的中

解析如图，取A3的中点G,连接QG,CG,易知四边形

—————[—

OC5G为平行四边形，所以3C=GO=AQ—AG=AO—%B,所

—f—*1?

以AE=A3+8E=AB+w8C=AB+wAD—=|AB+|AD,于

1、

—►—►―►[―►-►1

^BF=AF~AB=^AE~AB9-Fk1

^+-7—AB=gAO。

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故选c。

答案c

f2f1一

(2)在△ABC中，点P是A3上一点，且CP=gCA+§CB,Q

是3C的中点，A。与CP的交点为M,又CM=tCP,则实数，的

值为o

解析因为。尸=（。1+«8,所以3cp=2C4+C8,即2cp

-2CA=CB-CP,所以2Ap=PB。即P为AB的一个三等分点

(靠近A点)，又因为A,M,。三点共线，HAM=XAQO所以CM

———►f—►[f'f)一)—2f

=AM-AC=XAQ-AC=X^AB+^AC-AC=^AB+^~AC,又

CM=tCP=t(AP—AC)=t^AB—AC=—tAC。故

<3JJ

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答案i3

总结反思

平面向量基本定理的实质及应用思路

i.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边

形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算。

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一

组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过

向量的运算来解决。

【变式训练】(1)在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,

—►—►-►

M,N分别为CO,的中点。若A8=14M+"AN,则2+〃等

于O

-A-A-A-►—A-A-A-A

解析因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=

ffff]—ff8—4一

2AN+CM+MA=2AN~^AB~AM,所以A3=gAN—5AAf,所以

.48“，…4

A=-予4=予所以

4

套案-

u木5

(2)如图，已知平行四边形A3CD的边3C,CO的中点分别

-A-A-A-A

是K,L,且AK=ei，AL—e2.>试用ei，e?表不JBC,CD。

解设BC=*,CD=y,

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则3K=；x,DL=—^y0

-►-►—>—>—>—►

由AB+8K=AK,AD+DL=AL,

〃1

—y+/=ei①，

得J1

x—^y=e2②，

①+②X(—2),得;x—2x=ei—2e2,

224

即x=-1(ei-2e2)=一?1+予2,

,一24

所以BC=—gei+ge2。

42

同理可得y=—+$2,

-42

即CD=—,01+^02。

2.3.2.考点二平面向量的坐标运算

【例2】(1)如图，原点。是△ABC内一点，顶点A在x

-A-A-►

轴上，ZAOB=150°,ZBOC=90°,\0A\=2,\OB\=1,\OC\=

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C.一小D.小

解析由题意可得A(2,0),小一坐，(|,一啕。因

—►—►-►

为0C=%0A+"05,所以由向量相等的坐标表示得

&蛆_3

2z—n_3

Z2逆解得忆=_35，所吟小。故选0。

、2一2'

答案D

—►-A

(2)在平行四边形ABCQ中，AC=(2,3),BD=(-1,4),则

—►—►

AB=；AD—o

—►―►―►—►―►—►

解析AB+AD=AC=(2,3),AB~AD=DB=(1,一4)。所以

f-(3n一

2A5=(2,3)+(1,-4)=(3,-1),即一a，2AD=(2,3)

-(1,-4)=(1,7),即AO=b，引。

(3)设向量G,b满足同=24,8=(2,1),且。与力的方向相

反，则。的坐标为o

解析设a=(%,y),x<0,y<0,则％—2y=0且x2+y2=20,

解得％=4,y=2(舍去)，或者％=—4,y=—2,即a=(—4,一

2)o

答案(-4,-2)

总结反思

1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数

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乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应

相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解。

2.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代

数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为

数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟

知的数量运算。

【变式训练】⑴已知点M(3,-2),N(—5,-1),且MP

=，N,则点P的坐标为()

(,3〕

A.(—8,1)B.-1,1万

(3)

C.1,5D.(8,-1)

\乙)

11

解析设点P{x,y),则MP=(%-3,y+2),而］A/N=/(一

卜一3=-4,

8,1)=—4,5,所以＜I.1解得＜3所以

(1卜+2=于［产一于

L，一办

答案B

(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=

〃仇九

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解析以向量a和力的交点为原点建立如图所示的平面直

角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(l,-1),3(6,2),

C(5,-1),所以a=AO=(—l,1),b=0B=(6,劣,c=BC=(一

1,—3)o因为油,所以(一1,—3)=2(—1,1)+〃(6,2)o

一2+6〃=—1,

即＜

4+2〃=—3,

答案4

2.3.3.考点三平面向量共线的坐标表示

[例3](1)(多选)已知向量。4=(1,-3),08=(—2,1),

0C=(r+3,r-8),若点A,B,。能构成三角形，则实数f可以

为()

A.—2