第四章 弯曲内力教材

第四章弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例

§

4.2受弯杆件的简化

§

4.3剪力和弯矩

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4.4剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图

§

4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4.6平面曲杆的弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例

起重机大梁镗刀杆车削工件P火车轮轴PPPPPP

受力特点：构件受到垂直于其轴线的载荷作用。

变形特点：构件的轴线由直线变成曲线。具备上述受力与变形的构件，称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁(beam)。常见弯曲构件截面对称弯曲（平面弯曲）

具有纵向对称面

外力都作用在此面内

弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线§4.2受弯杆件的简化

一、支座的几种基本形式固定铰支座活动铰支座固定端火车轮轴简化二、载荷的简化

集中力

分布载荷

集中力偶正负号规定：集中力和分布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力偶逆时针为正、顺时针为负。吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷非均匀分布载荷可动铰支1(Ry)固定铰支2(Rx，Ry)固定端3(M，Rx，Ry)RyRxMRy图示法反力未知反力数名称RxRy梁的支承方式及反力三、静定梁的基本形式根据梁的支承情况可以将梁分为3种基本形式：简支梁一端固定铰支座一端活动铰支座悬臂梁一端固定一端自由外伸梁一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置§4.3剪力和弯矩

FNFSM

FS剪力，平行于横截面的内力合力。

M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。FNFSMFAyFByFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。+_左上右下为正；反之为负。左顺右逆为正；反之为负。解：1、确定支反力FAyFBy2、用截面法研究内力FSEME[例1]求图示简支梁E截面的内力。FAyFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEOFAyFBy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。FAyFSE2FFSEFAyFBy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。MEFAy2FMElq[例2]求图示简支梁x

截面的内力。qFAyMAB在x

处截开，取左半部分分析画出外力、约束反力、弯矩

x

截面剪力、力矩平衡方程qxFS可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线——抛物线。弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有由对称性，可以求得lqAB§4.4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图

若将梁上的内力写成如下关于位置坐标x的函数的表达式：这两个函数表达式称之为梁的剪力方程和弯矩方程。如同轴力图和扭矩图，如果我们将上述关于位置坐标x的函数表达式用数学作图的方法绘制出来，则绘制出来的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图的绘制方法完全相同。q[例3]图中悬臂梁受均布载荷的作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qxBAlFAYFBY[例4]图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力FAy＝Fb/l

FBy＝Fa/l2、写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3、依方程画出剪力图和弯矩图。CFabBAlFAYFBY[例5]图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力2、写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3、依方程画出剪力图和弯矩图CMabFAy＝M/lFBy＝-M/lBAlFAYqFBY[例6]简支梁受均布载荷作用，试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力FAy＝FBy＝ql/22、写出剪力和弯矩方程yxCx3、依方程画出剪力图和弯矩图FSxMx某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。Bqly[例7]已知平面刚架上的均布载荷集度q，长度l，试画出刚架的内力图。Bql解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆AB：A点向上为yyB横杆CB：C点向左为xBqlyFN(x)M(x)xFS(x)x竖杆AB：Bqly3、根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系

载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：1、q＝0，Fs=常数，剪力图为直线；

M(x)

为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2、q＝常数，Fs(x)

为x的一次函数，剪力图为斜直线；

M(x)

为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q<0），抛物线呈凸形。3、剪力Fs=0处，弯矩取极值。4、集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变。无载荷集中力集中力偶均布力线分布力计算简图FS方程常数(C处突变)常数(C处不变)x的一次函数x的二次函数M方程x的一次函数x的一次函数(C处不变)x的一次函数(C处突变)x的二次函数x的三次函数FS图抛物线M图三次曲线微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面;

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值;

建立FS-x和M-x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中;

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN[例8]简支梁受力的大小和方向如图示，试画出其剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

根据力矩平衡方程2、确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3、建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系。

5、根据微分关系连图线4、应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN（-）（+）解法2：1、确定约束力FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

2、确定控制面为A、C、D、B两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3、从A截面左测开始画剪力图。Fs（

kN）0.891.11（-）（-）4、从A截面左测开始画弯矩图。

M（

kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（

kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右qBADa4aFAyFBy[例9]试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2、确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3、建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系。

OFSxOMx4、确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5、确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1、确定约束力2、确定控制面，即A、B、D两侧截面。3、从A截面左测开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqaFs

9qa/4

7qa/4qa4、求出剪力为零的点到A的距离。

B点的弯矩为-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325、从A截面左测开始画弯矩图。

81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）Fs[例10]试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1、确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA2、画剪力图和弯矩图§4.6平面曲杆的弯曲内力

定义：轴线为平面曲线的曲杆称为平面曲杆。链环吊钩一般说来，从平面曲杆的载荷特点来看，它兼具有拉压、弯曲甚至扭转的特点，或者说它不属于任何一种我们已经研究过的基本变形的特点，所以说，平面曲杆可能有比任何一种基本变形更复杂的内力。但其内力的分析我们还是采