2020-2021学年山东省菏泽市定陶区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年山东省荷泽市定陶区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（每小题3分）

1.下列多边形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个菱形

C.两个矩形D.两个正方形

3

2.如图，在菱形A8CQ中，DE1AB,cosA=*BE=2,则8。的值（）

5

A.2B.炳C.2代D.5

3.如图，在。。中，直径CD，弦A8,则下列结论中正确的是（）

A.AC=ABB.ZC=—ZBODC.ZC=ZBD.ZA=ZBOD

2

,,,9

4.a、b是头数，点A(2,〃)、B(3,b)在反比例函数y=--的图象上，贝U()

x

A.a<b<0B.b<a<0C.a<0<bD.b<0<a

5.如图，在△ABC中，。是边AC上一点，连5。，给出下列条件：①NA5O=NAC&

@AB2=AD•AC；@AD^BC=AB^BD；@AB^BC=AC*BD.其中单独能够判定△ABCs

△AO3的个数是（）

D.

'B

C

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

6.已知方程尤2-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为

()

A.9B.12C.12或9D.不能确定

7.如图，ZiABC内接于OO,4c=120°,48=AC=4,8。为。。的直径，则8。等

于()

8.关于尤的一元二次方程x2+2(m-1)x-2根=0的根的情况是()

A.无法确定B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.无实数根

9.某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营

业额增长率为无，则下面所列方程正确的是()

A.90(l+.r)2=144

B.90(1-x)2=144

C.90(l+2x)=144

D.90(l+.r)+90(1+x)2=144-90

10.关于龙的一元二次方程(a-1)N-2x+3=0没有实数根，则整数。的最小值是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题(共24分)

11.2sin60°-tan60°+—cos45°=.

2---------

12.已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4,则当x=6时，y的值为.

13.关于x的方程X2+5X+MJ=0的一个根为-2,则另一个根是.

14.抛物线y=(x-1)2-1的顶点在直线y=kx-3上，则k=.

15.如图，。。是△ABC的内切圆，切点分别为。、E、F,NA=80°,点尸为。。上任意

一点(不与E、F重合)，则/£7乎=.

16.如图，五一黄金周期间，某景区规定A和8为入口，C,D,E为出口，小红随机选一

个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从。，E出口离

开的概率是.

出口

一D------------------------

5人口

C出口

AE|

An出口

17.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点2,点P在y轴上,

X

18.如图，直线工=2与反比例函数y/和2y二二1的图象分别交于A、8两点，若点尸是y

XX

轴上任意一点，则△PA3的面积是

三、解答题(66分)

19.解方程：

(1)尤2-2(3尤-4)=0；

(2)3(x-5)2=2(5-%).

20.小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被

同一所高中提前录取，并将被编入A、&C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.

(1)请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；

(2)求两人再次成为同班同学的概率.

21.已知：如图，△ABC中，AB=AC,是中线，尸是上一点，过C作C/〃延

长B尸交AC于E,交CF于F、求证：BP2=PE-PF.

22.如图，小明在M处用高1米(OM=1米)的测角仪测得旗杆48的顶端3的仰角为30°,

再向旗杆方向前进10米到厂处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高

度(取E^L73,结果保留整数)

23.如图，48是。。的直径，弦COLAB于点E,点尸在O。上，Z1=ZC.

(1)求证：CB//PD-,

2

(2)若BC=3,sin/C=^,求CD的长.

o

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数>=自+/?(20)的图象与反比例函数丫式

x

(m^O)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与1轴交于。点，点3的坐标为(6,

3

几).线段04=5,E为x轴上一点，且COSNAOE=M.

5

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现.该种

健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=-2x+80(20WxW40),

设这种健身球每天的销售利润为w元.

(1)求卬与x之间的函数关系式；

(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-.2+汝+<:与x轴交于A,B两点，其中

O

B(6,0),与y轴交于点C(0,8),点尸是无轴上方的抛物线上一动点(不与点C重

合).

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点尸作PO_Lx轴于点Q,交直线8c于点E,点E关于直线PC的对称点为E',

若点皮落在y轴上(不与点C重合),请判断以P,C,E,E'为顶点的四边形的形状,

并说明理由；

(3)在(2)的条件下直接写出点尸的坐标.

参考答案

一、选择题（共30分）

1.下列多边形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个菱形

C.两个矩形D.两个正方形

【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析.

解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等.

矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定

相等，故不一定相似，A、B、C错误；

而两个正方形，对应角都是90°,对应边的比也都相当，故一定相似，。正确.

故选：D.

2.如图，在菱形ABC。中，DE±AB,cosA=-^-,BE=2,则BD的值（）

5

A.2B.遥C.2“D.5

【分析】直接利用菱形的性质结合锐角三角函数关系得出ADAE的长，进而利用勾股

定理得出BD的长.

解：•••四边形ABC。是菱形，

：.AD^AB,

3

\'DE±AB,COSA=£,

5

・••设AE=3x,则AD=5x,故8E=2x,

•:BE=2,

.\x=l,故AB=AD=5,

则QE=4,

故BD=VDE2+BE2=2VS-

故选：c.

3.如图，在O。中，直径弦A3,则下列结论中正确的是()

A.AC=ABB.ZC=—ZBODC.ZC=ZBD.ZA=ZBOD

2

【分析】根据垂径定理得出会=而，讪=前，根据以上结论判断即可.

解：4根据垂径定理不能推出AC=A8,故A选项错误；

B、•.,直径弦AB,

-'•AD=BD>

:俞对的圆周角是/C,面对的圆心角是N8。。，

：.ZBOD=2ZC,故B选项正确；

C、不能推出故C选项错误；

D、不能推出NA=N30。，故。选项错误；

故选：B.

4.〃、匕是实数，点A(2,〃)、B(3,b)在反比例函数y=-三的图象上，则()

x

A.a<b<0B.b<a<0C.a<0<bD.b<0<a

【分析】根据反比例函数的性质可以判断。、b的大小，从而可以解答本题.

9

解：;尸---，

X

9

・・・反比例函数y=-三的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，

x

・・,点A(2,〃)、B(3,b)在反比例函数y="的图象上，

x

故选：A.

5.如图，在△ABC中，。是边AC上一点，连瓦)，给出下列条件：®ZABD=ZACB；

@AB2=AD•AC；@AD^BC=AB^BD；@AB^BC=AC^BD.其中单独能够判定/XABCs

△AO5的个数是()

D.

'B

C

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①，根据两边对应成比例且夹角

相等的两个三角形相似，可判断断②③④.

解：ZABD^ZACB,ZA=ZA,AAABC^AADB；

AR

@'：AB-=AD-AC,；•*=*,ZA=ZA,AABC^AADB；

JABAD

@'：AD-BC=AB-BD,.•.华=察，ZA=ZA,△ABC与△ADB不相似；

ADBD

@'：AB'BC=AC'BD,，黑=整，ZA=ZA,△ABC与△AQ8不相似；

ABBD

故选：A.

6.已知方程N-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为

()

A.9B.12C.12或9D.不能确定

【分析】可先求得方程的两根，再根据等腰三角形的性质，结合三角形三边关系进行判

断，再求得三角形的周长即可.

解：

解方程N-7x+10=0可得尤=2或x=5,

.•.等腰三角形的两边长为2或5,

当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、5、5,满足三角形三边关系，此时等腰三角形

的周长为12；

当底为5时，则等腰三角形的三边长为5、2、2,2+2<5,不满足三角形三边关系；

等腰三角形的周长为12,

故选：B.

7.如图，△ABC内接于OO,ZBAC=120°,AB=AC=4,8。为。。的直径，则80等

于()

D

A.4B.6C.8D.12

【分析】根据三角形内角和定理可求得NC=NABC=30°,再根据圆周角定理及直角三

角形的性质即可求得的长.

解：VZBAC=120°,AB=AC=4

：.ZC=/A8C=30°

AZD=30°

是直径

ZBAD=90°

：.BD=2AB=8.

故选：C.

8.关于龙的一元二次方程N+2(m-1)x-2%=。的根的情况是()

A.无法确定B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.无实数根

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出：△="Cm-1)]2-4X(-2m)=

44+2>0,即可判定方程有两个不相等的实数根.

解：'/△=[2(m-1)]2-4X(-2m)—4m2+2>0,

...关于龙的一元二次方程N+2(机-1)x-2m=0有两个不相等的实数根.

故选：B.

9.某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营

业额增长率为x,则下面所列方程正确的是()

A.90(1+无)2=144

B.90(1-x)2=144

C.90(l+2x)=144

D.90(1+x)+90(1+x)2=144-90

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，由此可以求出

第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额己经知道，所以可以列出一个方

程.

解：设平均每月营业额的增长率为X,

则第二个月的营业额为：90X(1+X),

第三个月的营业额为：90X(1+x)2,

则由题意列方程为:90(1+x)+90(1+x)2=144-90.

故选：D.

10.关于尤的一元二次方程(a-1)尤2-2x+3=0没有实数根，则整数。的最小值是()

A.0B.1C.2D.3

【分析】要使方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0,由此可求出

。的范围，就可解决问题.

解：：关于龙的一元二次方程(«-1)尤2-法+3=0没有实数根，

：.a-l#0MA<0,

：.a^lMA=4-4X3X(a-1)<0,

4

.,.0>可且

整数。的最小值是2.

故选：C.

二、填空题(共24分)

11.2sin60°-tan60°+—cos45°=返.

2一4一

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

解：原式=2义亨-«弓X亨

哼

=返

4,

故答案为：零■.

4

12.已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4,则当尤=6时，y的值为-2.

【分析】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答

案.

解：设反比例函数为〉=上，

k

当x=-3,y=4时，4=--,解得％=-12.

-3

反比例函数为y=*.

x

-19

当尤=6时，y=-1=-2,

0

故答案为：-2.

13.关于x的方程无2+5X+MJ=0的一个根为-2,则另一个根是-3.

【分析】设另一根为尤，利用根与系数的关系可求得x的值.

解：

设方程的另一根为龙，

:方程x2+5无+机=0的一个根为-2,

.,.x+（-2）=-5,解得x=-3,

即方程的另一根是-3,

故答案为：-3.

14.抛物线尸（x-1）2-1的顶点在直线尸乙-3上，则k=2.

【分析】首先求出抛物线的顶点坐标，然后把顶点坐标代入＞=丘-3,进而求出左的值.

解：•..抛物线解析式为尸（%-1）2-1,

抛物线的顶点坐标为（1,-1）,

•顶点在直线y^kx-3,

-l=k-3,

故答案为2.

15.如图，。。是AABC的内切圆，切点分别为。、E、F,NA=80。，点尸为上任意

一点（不与£、尸重合），则50°或130°.

【分析】有两种情况：①当P在弧匹尸上时，连接。£、OF,求出NEOF,根据圆周角

定理求出即可；②当尸在弧上时，NEPF=NEMF,根据圆内接四边形的性质得

到/EMF+/ENF=180°,代入求出即可.

解：有两种情况：

①当P在弧即尸上时，NEPF=/ENF,

连接OE、OF,

:圆。是△ABC的内切圆，

：.OE±AB,OF±AC,

：.ZAEO^ZAFO^90°,

VZA=80°,

：.ZEOF=360°-ZAEO-ZAFO-ZA=100°,

/ENF=NEPF=，/EOF=5。。,

②当尸在弧EMF上时，ZEPF=ZEMF,

NFPE=NFME=18。°-50°=130°,

故答案为：50°或130。.

16.如图，五一黄金周期间，某景区规定A和8为入口，C,D,E为出口，小红随机选一

个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从。，E出口离

开的概率是《.

一3一

出口

-----------D---------------------------

5人口

C出口

AE|

入口出口

【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式

求解即可.

解：画树状图如图:

开始

由树形图可知所有可能的结果有6种，小红从入口A进入景区并从。，E出口离开的结

果数为2,

p1

所以她选择从A入口进入、从。，E出口离开的概率是1=占，

63

故答案为：

17.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点8,点P在y轴上，

x

△ABP的面积为1,则上的值为-2.

【分析】连接。A,作轴于C点，由于轴，则AB〃OP,根据同底等高的

三角形面积相等得到SAOAB=SA?AB=1,则有SSEA50c=2SAOAB=2,根据人的几何意义得

到因=2,即k=2或k=-2,然后根据反比例函数性质即可得到k=-2.

解：连接。4,作ACJ_y轴于C点，如图

轴，

：.AB//OP,

••S/\OAB=S/\PAB=1,

••S矩形ABOC=2SZ\OAB=2，

・••因=2,即k=2或k=-2,

・・,反比例函数图象过第二象限，

:.k=-2.

故答案为-2.

18.如图，直线x=2与反比例函数y=—不□y=」的图象分别交于A、B两点，若点尸是y

XX

轴上任意一点，则△PA3的面积是

一2

1x=2

【分析】先分别求出48两点的坐标,得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可

得出△PA2的面积.

21

解：•.•把x=2分别代入y/、y=—,得y=l、尸

XX

・・・A(2,1),B(2,-y),

12

•.AB=1-(--).

22

・・•尸为y轴上的任意一点，

・••点P到直线x=2的距离为2,

12

：./\PAB的面积=右钻义2=45=手.

3

故答案是：—.

三、解答题(66分)

19.解方程：

(1)x2-2(3x-4)=0；

(2)3(x-5)2=2(5-x).

【分析】(1)整理为一般式，再利用因式分解法求解即可;

(2)利用因式分解法求解即可.

解：（1）整理，得：N-6X+8=0,

（x-2）（尤-4）=0,

则x-2=0或x-4=0,

解得无1=4,无2=2；

(2)V3(%-5)2=2(5-x),

A3(%-5)2+2(x-5)=0,

(尤-5)(3尤-13)=0,

'.x-5=0或3x-13=0,

13

解得尤i=5,X9一1.

ZO

20.小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被

同一所高中提前录取，并将被编入A、8、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学.

(1)请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；

(2)求两人再次成为同班同学的概率.

【分析】(1)画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；

(2)由(1)可知两人再次成为同班同学的概率.

解：

(1)画树状图如下：

由树形图可知所以可能的结果为AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC；

(2)由(1)可知两人再次成为同班同学的概率=寻2=a1.

21.已知：如图，△ABC中，AB=AC,是中线，尸是上一点，过C作C/〃AB,延

长2尸交AC于E,交C尸于R求证：BP2=PE・PF.

【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似,

要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可.

【解答】证明：连接尸C,

,：AB^AC,是中线,

.•.A。是△ABC的对称轴.

；.PC=PB,/PCE=NABP.

•：CF//AB,.,./刊（=/48尸（两直线平行，内错角相等），

NPCE=ZPFC.

又：/CPE=/EPC,

.,.△EPCsACPF.

二P靠C壬P，F（相似三角形的对应边成比例）.

FErC

：.PC1=PE-PF.

'：PC=BP

：.BP2=PE'PF.

22.如图，小明在M处用高1米米）的测角仪测得旗杆A3的顶端2的仰角为30。，

再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60。，请求出旗杆A8的高

度（取代Q1.73,结果保留整数）

B

【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用

其公共边构造边角关系，进而可求出答案.

解：VZBD£=30°,/BCE=6Q°,

：.ZCBD=60°-NBDE=3Q°=NBDE,

.*.8C=CO=10米，

在RtZXBCE中，sin60°=兽，即匹=粤，

BC210

解得BE=5依米，

AB=BE+AE=5«+Cl0米.

答：旗杆AB的高度大约是10米.

23.如图，AB是。。的直径，弦CDLAB于点E,点P在。。上，Z1=ZC.

(1)求证：CBHPD；

2

(2)若5C=3,sinZC=^-,求CQ的长.

O

【分析】(1)欲证明C8〃PD,只要证明=即可.

(2)根据三角函数的定义求出BE,再利用勾股定理求出EC可得结论.

【解答】(1)证明：

又•；/：!="

：.Z1=ZP,

J.CB//PD.

(2)解：连接AC.

ZACB=90°,

y,'：CDLAB,

•■•BC=BD'

：.ZP=ZCAB,

・

••s.in//rC-_可2-—B而E，

又,：BC=3,

：.BE=2,

C£=7BC2-BE2=V32-22=V5>

:.CD=2EC=2烟.

24.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，一次函数>=依+6（ZW0）的图象与反比例函数产生

X

（机#0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与％轴交于。点，点5的坐标为（6,

3

ri'）.线段04=5,E为入轴上一点，且COSNAOE=F.

5

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

2

【分析】（1）过A点作ADLOE,垂足为。，已知。4=5,cosNAOE=S，解直角三

5

角形求OD、AD,确定A点坐标，根据A点坐标求反比例函数和B点坐标，根据A、B

两点坐标，求一次函数的解析式；

（2）根据直线AB的解析式求C点坐标，再求△AOC的面积.

解：（1）过A点作垂足为。，

3

在RtZXAO。中，'：0A=5,cosZAOE~,

5

OD=OA9cosZAOE=3,

由勾股定理，得AD=4,

则A（-3,4）,

:A、8两点在反比例函数丫建（加W0）的图象上,

X

C.m--3X4=6〃，

解得m=-12,n=-2,

~3k+b=4

将A(-3,4),B(6,-2）代入丁=辰+。中，得,

6k+b=-2

解得广3,

.b=2

故反比例函数解析式为尸T，-次函数解析式为尸母+2；

9

（2）在一次函数y=-可x+2中，令y=0,得x=3,故C（3,0）,

O

25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现.该种

健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=-2x+80（20WxW40）,

设这种健身球每天的销售利润为w元.

（1）求卬与x之间的函数关系式；

（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元?

【分析】(1)根据总利润=每个利润X销售量可得函数解析式;

(2)将所得函数解析式配方成顶点式即可.

解：(1)根据题意可得：w=(x-20)y

=(x-20)(-2x+80)

=-2x2+120x-1600,

w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；

(2)根据题意可得：w=-2N+120%-1600=-2-30)2+200,

-2<0,

・••当x=30时，w有最大值.w最大值为200.

答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.

一9一

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-可N+bx+c与％轴交于A,B两点，其中

B(6,0),与y轴交于点C(0,8),点尸是x轴上方的抛物线上一动点(不与点C重

合).

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P作PD±x轴于点D,交直线BC于点E,点、E关于直线PC的对称点为E',

若点E'落在y轴上(不与点C重合),请判断以P,C,E,E'为顶点的四边形的形状,

并说明理由；

(3)在(2)的条件下直接写出点尸的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式；

(2)利用对称的性质得NE'CP=ZECP,E'C=CE,E'P=EP,由PE〃E'C得/

EPC=ZE'CP,贝I]NEPC=/ECP,于是可判断“=EC,所以EC=EP=PE'=E'C,

则根据菱形的判定方法得到四边形EPE'C为菱形；

(3)先利用