东莞威远职中文化课数学教案：集合与简易逻辑

东莞威远职中文化课数学教案：集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，

用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素X在

集合A中，称x属于A,记为xeA,否则称x不属于A,记作x纪A。例如，通

常用N,Z,Q,B,。+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理

数集，不含任何元素的集合称为空集，用。来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号

隔开表示集合的方法，如{1，2,3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括

号内表示集合的方法。例如{有理数},{x|x>0}分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合A与团如果集合4中的任何一个元素都是集合6

中的元素，则A叫做8的子集，记为A=例如N=Z。规定空集是任何集

合的子集，如果A是8的子集，B也是A的子集，则称A与8相等。如果A是

8的子集，而且6中存在元素不属于A,则A叫6的真子集。

定义3交集，An8={x|xwA且xwB}.

定义4并集，AU8={xkeA或ceB}.

定义5补集，若&=则GA={#cw/,且xeA}称为A在/中的补集。

定义6差集，A\B^{X\XEA,SLX^B}o

定义7集合国4<》<6,犬€凡4<6}记作开区间(4,匕)，集合

{x［a<x<b,x&R,a<b］记作闭区间［a,b},R记作(-oo,+oo).

定理1集合的性质：对任意集合4,B,C,有:

(1)An(8uc)=(AnB)u(Anc)；(2)AU(8nc)=(AU3)n(4Uc)；

(3)GAUG6=G(an8)；(4)GanG6=GSUB).

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。

(1)若xwAn(BUC)，则xwA,且xeB或xwC,所以xe(AnB)或

xe(AAC),即xw(AnB)U(AnC);反之，xe(4AB)U(AfiC)，则工^仍口⑶

或xw(4nc)，即xwA月.xw3或xwC,即xwA且xw(5UC)，即

x"n(BUC).

(3)若xeCjAUGB，则xeC]A或X^GB，所以x®A或x史8,所以

xe(ADB),又xe/,所以xeG(AnB),即UG台1G5□8)，反之也

有G(A「B)±CAUCB.

定理2加法原理：做一件事有〃类办法，第一类办法中有吗种不同的方法，第

二类办法中有吗种不同的方法，…，第〃类办法中有，%种不同的方法，那么完

成这件事一共有N=??l]+帆2+…+用”种不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分〃个步骤，第一步有明种不同的方法，第二步有

叫种不同的方法，…，第〃步有凡种不同的方法，那么完成这件事一共有

N=7叫〃?“种不同的方法。

二、方法与例题

1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1设"={《a=X?-yLx,〉eZ},求证:

(1)2%-leM,(左eZ)；

(2)4k-2eM,(«eZ)；

(3)若peM,qeM，则pqeA/.

［证明］(1)因为左,k-l€Z,且2左一l=/2一伙一1)2,所以2%-leM.

(2)假设4人一2eM(AeZ),则存在x,yeZ,使4k-2=——由于工一》和

x+y有相同的奇偶性，所以/-y2=a—y)(x+y)是奇数或4的倍数，不可能

等于4%-2,假设不成立，所以4%-2纪

(3)设p=/-y2,g=/ez,则pq=(/_/乂/一匕2)

=a2a2+y2b2-x2b2-y2a~=(xa-yb)2-(xb-ya)2eM

(因为xa-yaeZ,x/?-yaGZ)□

2.利用子集的定义证明集合相等，先证再证6则4=8。

例2设A,B是两个集合，又设集合M满足

AflM=8口"=An8,AU8UV=AU6，求集合M(用A,8表示)。

【解】先证(AnB)=M,若xw(AnB),因为AnM=AnB,所以

x&AC\M,x&M,所以(AnB)=M；

再证Mq(An8),若xe",则xeAU8UM=AUB.1)若xeA,则

xeAC\M=Ar\B-,2）若xeB,则％€8口加=4口8。所以〃=（4口8）.

综上，M=AHB.

3.分类讨论思想的应用。

例3A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-l=0},C={x|x2-mx+2=0},若

AljB=A,AnC=C，求。，丸

【解】依题设，A={1,2},再由一一取+4—1=0解得x=。—1或》=1,

因为AU6=A,所以所以a—leA,所以a—1=1或2,所以a=2或3。

因为4口。=。，所以C=A,若C=0,则△=机2一8<0,即一2&<〃?<20,

若C/0,则leC或2wC,解得机=3.

综上所述,a=2或a=3；〃z=3或一2-/2<m<2V20

4.计数原理的应用。

例4集合A,B,C是/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集，（1）若AU8=/,

求有序集合对（A,B）的个数；（2）求/的非空真子集的个数。

【解】（1）集合/可划分为三个不相交的子集；A\B,B\A,ADB,/中的每个元

素恰属于其中一个子集，10个元素共有3埼种可能，每--种可能确定一个满足条

件的集合对，所以集合对有31°个。

（2）/的子集分三类：空集，非空真子集，集合/本身，确定一个子集分十步，

第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第

10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有21°=1024个，非空真子集有1022个。

5.配对方法。

例5给定集合/={1,2,3,…,〃}的人个子集：AM2,…满足任何两个子集的

交集非空，并且再添加/的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求女的值。

【解】将/的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2"T对，每一

H

对不能同在这2个子集中，因此，k<2-';其次，每一对中必有一个在这人个子

集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为GA与A,并设4nA=0，则

4=GA，从而可以在女个子集中再添加GA，与已知矛盾，所以人22"T。综

上，k=2"-'o

6.竞赛常用方法与例问题。

定理4容斥原理；用⑶表示集合A的元素个数，则|AU8|=H|+|M-|AnM，

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Anc|-|Bnc|+|AnBnc|,肄/此结论

可以推广到〃个集合的情况，即Z

n_n

UAnA/+z14nAJDAJ—+(-i)n1P)A-

f=l/=1Hj\<i<j<k<nr=l

定义8集合的划分：若AU&U…LM“=/，且A,nA;.=0(l<i,j<n,i^j)，

则这些子集的全集叫/的一个”-划分。

定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6抽屉原理：将〃?〃+1个元素放入”(">1)个抽屉，必有一个抽屉放有不少

于m+1个元素，也必有一个抽屉放有不多于“个元素；将无穷多个元素放入“个

抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的数的个数。

【解】记/={1,2,3,…,100"={巾一4100,且工能被2整除(记为2卜)},

B={x|l<x<100,3|x},C={x|l<x<100,5|x),由容斥原理,

|AUSUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|Bnc|-|cnA|+|AnBnc|=岑+与+

100100100100100

74,所以不能被2,3,5整除的数有

610~15

|/|-|AU8UC=26个。

例7S是集合｛1,2,…，2004｝的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7,

问S中最多含有多少个元素？

【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两

个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组

只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知

矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182x11+2,所以S一共至多含

有182x5+2=912个元素，另一方面，当

5=｛4=1炊+//=1,2,4,7,10,广42004,人”时，恰有间=912,且S满足题目

条件，所以最少含有912个元素。

例8求所有自然数〃2),使得存在实数卬，取,…,明满足:

{|a,.</<；<«}={1,2,-,^=^).

【解】当〃=2时，％=0,=1；当〃=3时，a]=0,%=L%=3；当〃=4时,

ax=0,〃2=2,%=5,%=1。下证当〃25时,不存在外〃满足条件。

令0=%<。2<…，贝II%=

所以必存在某两个下标i<),使得,-%卜氏-1,所以*-1=-4=或

。“-1=%,所以%=竽,%;%-1或%=修，4=1。

(i)若1,考虑%-2,有0,「2=%或%-2』-电，

即用=2，设a,一2=。“一2,贝2=。“一%-1，导致矛盾，故只有的=2.

考虑%-3,有a“一3=a—或％一3=a“一%，即%=3，^.an-3=an_2,则

%-*_2=2=出一g，推出矛盾，设的=3，则％-a0T=1=%-々，又推出

矛盾，所以a,-=出，"=4故当〃25时，，不存在满足条件的实数。

S若%=怨g=l，考虑。「2,有4一2=%或―一牝，即

%=2,这时%—2=〃2-"i，推出矛盾，故。〃一1=a〃一2。考虑。〃-3,有

。“一3=。〃_2或—3=。“一生，即。3=3，于是%—。2=一。〃一1，矛盾°因此

2=。〃-3,所以％_]-*_2=1=。2-，这又矛盾，所以只有。“_2=%，所以

〃=4。故当〃之5时，不存在满足条件的实数。

例9设4={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,…,〃},在4中取三个数，B

中取两个数组成五个元素的集合4,i=l,2,…,20,|A,n4|42,l〈i<JK20.求〃

的最小值。

【解】“mi"".

设B中每个数在所有A,中最多重复出现k次，则必有人44。若不然，数机出现

k次（火〉4）,则弘〉12.在机出现的所有A,中，至少有一个A中的数出现3次，

不妨设它是1,就有集合{1，a,,a2,w,fr]}{l,a3,a4,m,b2},{l,a5,a6,m,b3},其中

%eA,\<i<6,为满足题意的集合。生必各不相同，但只能是2,3,4,5,6

这5个数，这不可能，所以女44.

20个A,中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以〃216。当〃=16

时，如下20个集合满足要求：

{1,2,3,7,8},{1,2,4,12,14},{1,2,5,15,16},{1,2,6,

9,10},

{1,3,4,10,11},{1,3,5,13,14},{1,3,6,12,15},{1,4,5,

7,9},

{1,4,6,13,16},{1,5,6,8,11},{2,3,4,13,15},{2,3,5,

9,11),

{2,3,6,14,16},{2,4,5,8,10},{2,4,6,7,11},{2,5,6,

12,13},

{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9},{3,5,6,7,10},{4,5,6,

14,15}o

例10集合｛1,2,3〃｝可以划分成〃个互不相交的三元集合｛x,y,z｝，其中

x+y=3z，求满足条件的最小正整数〃.

【解】设其中第i个三元集为{XQ,Z,},i=L2,…,〃，则1+2+...+3〃=£4Z,,

/=!

所以3〃(3〃+1)=4£G。当〃为偶数时，有8|3〃，所以“28,当〃为奇数时，有

2i=i

8|3〃+1,所以"25,当〃=5时，集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6),

{9,12,7},{10,14,8}满足条件，所以〃的最小值为5。

三、基础训练题

1.给定三元集合则实数x的取值范围是

2.若集合A="辰2+2x+1=0,aeR,xeR｝中只有一个元素，则

a--o

3.集合8=｛1,2,3｝的非空真子集有