2020年中考数学考点一遍过考点24解直角三角形（含解析）

考点24解直角三角形

知识整合,

一、锐角三角函数的定义

在RtZXABC中，ZC=90°,

NA的对边NA的对边a

正弦：sinA=-；正切：tanA=

斜边c邻边b

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形.

二、特殊角的三角函数值

asinacosottana

£

30°走也

223

①V2

45°1

2

V3

60°百

2

三、解直角三角形

1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用关系:

在Rt2\A8C中，ZC=90°,则:

(1)三边关系：

o

(2)两锐角关系：ZA+Zfi=90;

,,.__haba

(3)应与角关东;：sinA=cosB=—,cosA=sin8=—,tanA=—；

ccb

(4)sin2A+cos2A=l.

3.科学选择解直角三角形的方法口诀:

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便

已知直边求直边，理所当然用正切：

已知两边求一边,勾股定理最方便;

已知两边求一角,函数关系要记牢;

已知锐角求锐角,互余关系不能少;

已知直边求斜边,用除还需正余弦.

四、解直角三角形的应用

1.仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

2.坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，・=，.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,i=tana.

坡度越大，a角越大，坡面越陡.

3.方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角叫做方向角.

北北偏东30度

4.解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次

求边，或通过公共边相等，列方程求解.

5.解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题;

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确：

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

点考向.

考向一求三角函数的值

（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.

（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为々（有时也可设为1）,在求三角函数值的过

程中约去北

（3）正确应用勾股定理求第三边长.

（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值.

典例引领

典例12sin45°的值为

历

A."B.百C.V2D.1

2

【答案】C

【解析】把痴45。=也代入原式得：原式=2*也=夜.故选C.

22

变式拓展

1.如图，在△ABC中，ZC=90°.若A8=3,BC=2,则sinA的值为

口有

R2A/5ny[5

352

考向二利用特殊角的三角函数值求值

锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

典例引领

a

典例2已知NA为锐角，且sinA=yi,那么乙4等于

2

A.15°B.30°

C.45°D.60°

【答案】D

【解析】VsinA=^-,ZA=60°.故选D.

2

变式拓展

2.已知a是锐角，sina=cos60°,则a等于

A.30°B.45°

C.60°D.不能确定

考向三解直角三角形的应用

解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函

数值解答问题.

典例引领

典例3某山的山顶2处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角N8OC为30。，山高BC为100

米，点E距山脚力处150米，在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60。，则观光塔AB的高度是

A.50米B.100米

C.125米D.150米

【答案】A

【解析】如图，作E尸，AC于凡EGLDC于G,在RtZ\0EG中，EG=-DE=15,

2

=255

ZAEF=60°,

/.ZA=30°,

EF_2573

：.AF=tanAg=75，

T

：.AB=AF-BF=50（X）,故观光塔4B的高度为50米,

故选A.

变式拓展

3.如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树8,在这个湖心岛的湖边。处

测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树6在北偏东36。方向上，又测得8、C之间的距离等于200米,

求A、8之间的距离（结果精确到1米）.

(参考数据：0al.414，sin36°«0.588,cos36°«0.809,tan36°«0.727,cot36°«1.376)

声点冲关*

1.如图，在△ABC中，若NC=90°,则

A.sinA=—B.sinA=—

cc

ah

C.cosA=—D.cosA=—

ba

2.计算VLsin45°」cos60°的值为

2

A-B-

3.在Rt/XABC中，ZC=90°,ZB=53。，若BC=m,则A8的长为

m

A.-------B.m-cos53°C.m-sin53°D.m-tan53°

cos53°

4.在中，ZC=90°,AC=-ABf则cosA等于

3

272172

A.------B.-c.2V2D.—

334

那么tanO为

5.菱形A3CD的对角线AC=10cm,B£>=6cm,

2

5553

A.-B.一C.j-D..——

34V34V34

6.如图是边长为1的小正方形组成的网格图,其中点A,B,C均为格点，则sin/A4c为

A也

B逐°叵D.——

25510

3

7.在RtZSABC中,ZC=90°,若A3=10,sinA=-,则斜边上的高等于

A.5B.4.8C.4.6D.4

8.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则tanNABC的值为

「

反-----

5

9.如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:6,堤坝高为40m,则迎水坡面的是

A.80mB.80GmD.40Gm

10.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55。方向，距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行

到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是

A

t北

B

A.2海里B.2sin550海里

C.2cos550海里D.2tan55°海里

11.钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤A2的坡度为1：2.4,AB长为3.9米,

钓竿AC与水平线的夹角是60。，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线的夹角也是60。，则浮漂。与

河堤下端8之间的距离约为（参考数据：V3-1.732）

12.如图，在RtAABC中，NC=90。，BC=12,tanA=—,则sinB=

5-

13.在△ABC中，AB=2亚,AC=6,tanNB=；,则BC的长度为.

14.已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距3c=50m.小王为测量电线杆的高度，在两根

电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°,已知测

角仪EF高1.5m,则电线杆的高度约为m.（精确到0.1m,参考数据：sin23°«0.39,

cos23°«0.92,tan23°«0.43）

15.已知：如图，在菱形ABC。中，AELBC,垂足为E,对角线BD=8,tanNCBO=』.

2

(1)求边A8的长；

(2)求cos/BAE的值.

16.如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCQ)靠墙摆放，高AZ)=80cm,宽AB=48cm,小强的

身高为166cm,其中下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80。角(NFGK=80。)，身体前倾成125。

角(NEFG=125。)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点。，C,G,K在同一直线上).

(1)此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？

(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点。的正上方，他应向前或后退多少？

（sin80°=0.98,cos800=0.17,72=1.41,结果精确到0.1cm）

直通中考，'

U3-

1.（2019•天津）2sin60°的值等于

A.1B.V2

C.73c）.2

2.（2019•怀化）已知/a为锐角，且sina='，则

2

A.30°B.45°

C.60°D.90°

3.（2019•宜昌）如图，在5x4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小

正方形的顶点上，则sin/BAC的值为

I

B

A.-B.

34

4

cTD.

55

4.（2019•广州）如图，有一斜坡A8,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是/8AC,若

2-

tanZBAC=y,则此斜坡的水平距离AC为

A.75m

C.30mD.12m

5.（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼43的高度，将测角仪8竖直放置在与教学楼水平距

离为18#m的地面上，若测角仪的高度为l$m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高

度是

A

A.55.5mB.54mD.18m

6.（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高AB为1.5米，她先

站在A处看路灯顶端。的仰角为35°,再往前走3米站在C处，看路灯顶端。的仰角为65°,则路灯

顶端。到地面的距离约为（已知sin35°=«0.6,cos35°=«0.8,tan35°弋0.7,sin65°^O.Q,cos65°=»

0.4,tan65°弋2.1)

A.3.2米B.3.9米

C.4.7米D.5.4米

7.（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABC。斜靠在墙边（OCLOB,点A,B,C,D,。在同一平面内），

已知AB=a,AD=b,ZBCO=x,则点A到OC的距离等于

A.asinx+bsinxB.acosx+bcosx

C.asinx+bcosxD.“cosx+Z?sinx

8.（2019•甘肃）在△ABC中，NC=90°,tan4=、l,则cos8=.

3

9.（2019•杭州）在直角三角形ABC中，若2A8=AC,则cosC=.

10.（2019•天津）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角

为31。，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,

计算这座灯塔的高度C。（结果取整数）.参考数据：sin31020.52,cos31°^0.86,tan31°七0.60.

11.（2019•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC,45=600米，ADLBC,施工队站在点。处看

向8,测得仰角为45°,再由。走到E处测量，DE//AC,E£>=500米，测得仰角为53°,求隧道8c

434

长.(sin53°弋一,cos530,tan53°«=—).

553

ED

12.（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝

塑像CE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达

8处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求炎帝塑像。E的高度.

（精确到1m.参考数据：sin34°七0.56,cos340=0.83,tan34°七0.67,石七1.73）

13.（2019•甘肃）为「保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的

范围是260mm〜300mm含（300mm）.高度的范围是120mm〜150mm（含150mm）.如图是某中学

的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下:A2,8分别垂直平分踏步EF,G”,各踏步互相平行,

AC=900mm,ZACD=65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.（结果精确到1mm,参

考数据：sin65°«=0.906,cos65°«=0.423)

14.（2019•江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线2-A-0表示固定支架，AO垂直水

平桌面OE于点O,点B为旋转点，8C可转动，当BC绕点8顺时针旋转时，投影探头始终垂直

于水平桌面0E,经测量：AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.（结果精确到0.1）.

（1）如图2,ZABC-70°,BC//OE.

①填空：ZBAO=.

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离.

（2）如图3,将（1）中的8c向下旋转，当投影探头的端点。到桌面OE的距离为6cm时，求/ABC

的大小.

（参考数据：sin70°-0.94,cos20°-0.94,sin36.8°-0.60,cos53.2°-0.60）

15.（2019•安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》

中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆.已知圆心

在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，NOA8=41.3°,若点C为运行轨道的最高点（C,O

的连线垂直于AB）,求点C到弦AB所在直线的距离.

（参考数据：sin41.3°弋0.66,cos41.30弋0.75,tan41.3°七0.88）

图1图2

16.（2019•贵阳）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道

口直径，03为可绕转轴。自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河

水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB=OP=100cm,0A为检

修时阀门开启的位置，且O4=OB.

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中/POB的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达08位置时，在点A处测得俯角NCA2=67.5。，若此

时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度.（结果保留小数点后一位）

(行=1.41,sin67.5G0.92,cos67.5°=0.38,tan67.5F.41,sin22.5°=0.38,cos22.5°=0.92,tan22.5°=0.41)

会参考答塞

变式拓展

------

1.【答案】A

Be2

【解析】在RtZ\A2C中，VZC=90°,AB=3,BC=2,.*.sinA=——=一，故选A.

AB3

由题意，得NACH=45°,/BCH=36。,3c=200,

在中，sinZBCH=­,Asin360=—,

BC200

,/sin36°«0.588,，3”。117.6,

乂cosNBCH=,：.cos36°=,

BC200

,/cos36°«0.809,/.WC«161.8,

AH

在RtZ\A"C中，tanZACH=­,

HC

•••ZAC”=45°,:.AH=HC，AA/7«161.8,

又AB=AH+3H，，ABa279.4,仪279（米）.

答：A、B之间的距离为279米.

考点冲关

----

1.【答案】A

【解析】A、sinA=-,此选项正确：

B、sinA=—,此选项错误;

c

b

C、cosA=—,此选项错误;

c

b

D、cosA=一,此选项错误;

c

故选A.

2.【答案】D

B111Q

【解析】原式=J^X注—±x±=|-±=故选D.

22244

3.【答案】A

【解析】如图,

BC

Vcos530=—,

AB

m

：.AB=----------

cos53°

故选A.

4.【答案】B

【解析】如图所示:

5.【答案】A

【解析】如图，由题意得，AOl.BOfAO=—AC=5cm,BO=—BD=3cm,

22

B/A05

则lan—=tanZOBA=---=一.故选A.

2B03

6.【答案】D

【解析】如图所示：连接8。，交AC于点E,

由正方形的性质可得：BDVAC,故2。=a,A8=6,

则2AC啜故选D.

7.【答案】B

【解析】如图所示，CDLAB,CD即为斜边上的高,

，」3

在RtZAkABC中，ZC=90°,AB=\O,sinA=-,

5

BCBC3

/.sinA=-----=------=—即BC=6,

AB105

根据勾股定理得：AC=dAB2_BC2=8,

11

,?SABC=-AGBC=-CD-AB,

&22

ACBC6x8

：.CD=8,

AB10

故选B.

8.【答案】B

【解析】NABC所在的直角三角形的对边是3,邻边是4,

3

所以，tanZABC--.

4

故选B.

9.【答案】A

【解析】•••堤坝横断面迎水坡48的坡比是1：V3,.-.—=4,,

AC

VBC=40m,：.AC=40\[3m,：.>4B=yjAC2+BC2-80m,故选A.

10.【答案】C

【解析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.

根据题意可知/APC=55。，PC//AB,AP=2海里.

'：PC//AB,NAFC=55°,二N以8=55°.

•.,在RtZkABP中，AP=2海里，ZPAB=550,

.".AB=APcosZB4B=2cos55°（海里）.

故选C.

11.【答案】c

【解析】如图，延长CA交DB延长线与点E,过点4作AFLBE于点F,

贝l」NCED=60。，

,：AB的坡比为1:2.4,

AF15

•*.=—=—,贝！］设4F=5x,BF—12,x）

BF2.412

：48=3.9米，

在直角AAB尸中，由勾股定理知，3.92=25x2+1441.

3

解得.

10

318

.".AF=5x=—,BF=12x=—,

25

33

AF2AF20

；.EF=----------=~T==—,AE=-------=—r=-=v3,

tan60°G2sin60°下）

T

ZC=ZC££>=60°,

...△COE是等边三角形，

VAC=4.5米，

DE=CE=AC+AE=4.5+73（米），

WOBD=DE-EF-BF=4.5+73--1.766（米），

答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米.

故选C.

12.【答案】—

13

,,,12BC12„,1212

【ri解n析4r】在RtZ\ABC中，ZC=90°,3c=12,tanA=—，得——=一，即——=一，

5AC5AC5

：.AC=5.由勾股定理，WAB=VAC2+BC2=13.所以疝8=二=工，故答案为：—.

AB1313

13.【答案】5

【解析】如图，过点4作A。，8c交于D.

“AO1

•tan/B=---=一

BD2

设A£)=x,则8D=2x,

•：AB=2下,

...在△ABO中，由勾股定理得(2^/5)2=%2+(2%)2,

解得，笛=2,K=-2(不符合，舍去)，

二80=4,

同理，在△AC。中，由勾股定理得，DC=\JAC2-AD2=75-4=1>

：.BC=DC+BD=4+l=5,

故答案为：5.

14.【答案】16.5

【解析】过点F作48、CO的垂线，垂足为点G、H,如图所示:

设AG=xm,则有DH=xm,

AGAGY

-------------1------------B-C,/.tan23°二-----，解得沪15.0,

tan45°tan23°50-%

.,MB=r+1.5=16.5.电线杆的高度约为16.5m.故答案是：16.5.

15.【解析】(1)连接AC,AC与8。相交于点0,

:四边形A8CD是菱形，C.ACLBD,B0=-BD=4,

2

oc1

•・・RtZ\8OC中，tanZCBD=——二一，：.OC=2,

OB2

.\AB=BC=y]BO24-CO2=+2、=2A/5：

(2)U：AE1BC,：.S^ABCD=BCAE=-BDAC,

2

\'AC=2OC=4,A2V5AE=-x8x4,：.AE=^-,

25

，BE=y/AB2-AE2==竽，

675

,BEM3

・・cos/ABE=---=—产=—.

AB2>/55

16.【解析】(1)如图，过点F作FNLDK于N,过点E作£M_LRV于

VEF+FG=166,FG=100,:・EF=66,

'：/尸GK=80。，FN=100sin800^98,

・.,ZEFG=125°,/.Z£FM=180°-125°-10°=45°,

EW=66cos450=33行工46.53，:・MN=FN+FMW44.5,

・・・此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm.

(2)如图，过点E作ERLA8于点P,延长OB交MN于H.

:48=48,。为中点，

：.AO=BO=24fEM=66sin45%46.53,

：.PH-46.53,VG/V=100cos80°~17,CG=15,

・•・0/7=24+15+17=56,OP=OH-PH=56-46.53=9.47=9.5,

・••他应向前9.5cm.

直通中考

1.【答案】B

【解析】锐角二角函数计算，2sin60°=2x@=g,故选A.

2

2.【答案】A

【解析】丁Na为锐角，且sina=',.故选A.

2

3.【答案】D

【解析】如图，过。作COL487。，则NAOC=90。，,心,AD?+5="+42=5.

CD4

sinZBAC=---二一.故选D.

AC5

4.【答案】A

■-22BC30“口

【解析】VZBCA=90°o，lanNBAC=一，BC=30m,：.tanZBAC=-=——=——，解得AC=75,

55ACAC

故选A.

5.【答案】C

lAE

【解析】过。作。£_L舫交A5于E，£>E=5C=18j5，在Rt/XAOE中，tan30"=—,

DE

.­.AE=18>^x—=18(m),AAB=18+1.5=19.5(m),故选C.

3

6.【答案】C

【解析】如图，过点。作OEL4c于点E,延长50交OE于点凡

o

J-

「"'I

//;

【II

HCE

设DF=x,

OF

Vtan65°=-----,OF=xtan65°,BF=3+x,

DF

OF

Vtan35°=——，：.0F=(3+x)tan35",A2.1x=0.7(3+x)，.\x=1.5,

BF

：.OF=1.5X2.1=3.15,・・・0E=3.15+1.5=4.65心4.7,故选C.

7.【答案】D

【解析】如图，过点4作AELOC于点E,作AFLOB于点.四边形ABCD是矩形，...NA8C=90。,

VZABC^ZAEC,NBCO=x,：.ZEAB^x,：.ZFBA^x,'：AB-a,AD=b,：.FO-FB+BO^a*cosx+b-sinx,

故选D.

8.【答案】-

2

/7]

【解析】VtaiL4=—,ZA=30°,>/ZC=90°,/.ZB=60",.,.cosB=cos600=-.

32

故答案为：

2

9.【答案】立或2叵

25

r-rr.,|cBCy/3x6

【解析】若N8=90°设A8=x,则AC=2x,所以8C=J(2X)2—X2=J3x,所以cosC=-----=-------=——；

AC2x2

若NA=90°,设A8=x,则AC=2x,所以BC=J(2x>+Y=石世，

AT2x_2百

所以cosC="

BC亚x5

综上所述，cosC的值为3或2叵.

25

故答案为：立或2叵.

25

CD

10.【解析】在RtZXCAD中，tan/C4£>=——，

AD

在Rt/XCBO中，NCBD=45°,；.BD=CD,

'：AD^AB+BD,：.-CD^CD+30,解得C£>=45,

3

答：这座灯塔的高度CD约为45m.

II.【解析】如图，在RtZ^483中，AB=AD=600,作EM_LAC于M,

CBMA

则AM=DE=500,：.BM=100,

,,CMCM4

在RtzAXCEM中，tan53°o=——=——=-,，CM=800,

EM6003

，BC=CM-8M=800-100=700(米).

答：隧道BC长为700米.

12.【解析】VZAC£=90",ZCA£=34°,CE=55m,

CECE55

tanZCAE=---,.'.AC=------：=----===82.1(

ACtan340.67

VAB=21m,：.BC=AC-AB^6\A(m),

CD

在RlaBC。中，tan