2021-2022学年新疆兵团二中高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年新疆兵团二中高一（下）期末数学试卷

试题数：22,总分：150

1.（单选题，5分）已知z=l+i,则2（z+l）的模是（）

A.V10

B.10

C.V2

D.2

2.（单选题，5分）设a,B为不重合的平面，m,n为不重合的直线，则其中正确命题的序号

为（）

①m||a,a||0,则m||p：

②mua,nep,a||P，则m||n；

③mla,nip,a10,则mln；

（4）nep,mla,m||n,则alfk

A.①③

B.②③

C.②④

D.③④

3.（单选题，5分）若两个向量不、3满足|d|=1,|B|=6,a»b=3,则＜3与3的夹角是

（）

C.-

3

D.-

2

4.（单选题，5分）复数z满足|z|=L则的最大值为（）

A.V2-1

B.1

C.V2

D.V2+1

5.（单选题，5分）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（）

AN不可能为纯虚数

B.Z2在复平面内对应的点可能位于第二象限

C.Z2在复平面内对应的点一定位于第三象限

D.Z2在复平面内对应的点可能位于第四象限

6.（单选题，5分）袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、

“红"、“旗"四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红"、“旗”的两个球都摸

到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1,2,3,4分别代表

“风”、"展"、"红"、"旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟

产生了以下20组随机数：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）

7.（单选题，5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三

产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经

济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.

下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）

A.第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平

B.第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值

C.若“住宿和餐饮业"生产总值为7500亿元，贝『'房地产”生产总值为22500亿元

D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

8.（单选题，5分）如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，过AiBi的截面与AC交于点D,与BC交

于点E,该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则丝=（）

4a

2-V3

Lr.-----

2

D.d

2

9.（多选题，5分）下列式子中，一定正确的是（）

A.o+d=d

B.a—a=0

C.|a+b|>|a-b\

D.（a•b）•c=a•（b•c）

10.（多选题，5分）有甲、乙两组数据，甲：1、2、a、b、10,乙：1、2、5、6、11,其中

a,beN*,若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的

方差，则（a,b）可以为（）

A.（5,6）

B.（7,5）

C.（6,6）

D.（8,4）

11.（单选题，5分）下列四个命题正确的个数为（）

①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为:；

②现有7名同学的体重（公斤）数据如下：50,55,45,60,68,65,70,则这7个同学

体重的上四分位数（第75百分位数）为65；

③新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两

科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为J

A.3

B.2

C.1

D.0

12.（多选题，5分）三棱锥S-ABC中，平面SABL平面ABC,zSAB=zABC=3zBAC=90。，

SA=AC=2,贝I（）

A.SA1BC

B.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为等

C.点A到平面SBC的距离为二

6

D.二面角S-BC-A的正切值为学

13.（填空题，5分）已知AABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,%=产安，

sinB2-cosB

3

cosA=-,SAABC=6,贝!Ja=—,

14.（填空题，5分）在四边形ABCD中，已知荏=（4,-2）,AC=（7,4）,AD=（3,

6）,则四边形ABCD的面积是

15.（填空题，5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获

胜的概率为|,乙获胜的概率为『各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得

比赛的概率为

16.（填空题，5分）在三棱锥P-ABC中，ZABC=6O°,ZPBA=ZPCA=9O°,点P到底面ABC

的距离为V2,若三棱锥P-ABC的外接球表面积为6n,则AC的长为_.

17.（问答题，10分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c（sinB-VI

cosB）+y/3a=0.

（I）求角C的大小；

（II）若AABC的外接圆半径R=夕，b=4,求AABC的面积.

18.（问答题，12分）某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高

一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中

毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选

取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同）.

（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；

（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；

（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率.

19.（问答题，12分）如图，已知棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是平行四边形，且侧面均为正方

形，F为棱AAi的中点，M为线段BDi的中点.

(1)作出面DiFB与面BBiCiC的父线并证明.

(2)求证：MF||面ABCD.

20.(问答题，12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺

水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居

民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准X,用水量不超过x的部分按平价收费,

超出x的部分按议价收费.下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.

①求直方图中a的值；

②试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；

③设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

④如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x,那么标准x定为多少比较合理？

频率

I组距

0.52--------------

0.40-------------

a______

S16

S12

O

S08

-4

O.O

0.5I1.522.533.544.5月均用水量（吨）

21.(问答题，12分)如图，三棱柱ABC-AiBiCi,侧面AiABB」底面ABC,侧棱BBi=2,

BA=1,4ABBI=60。，点E、F分别是棱CiC、A1B1的中点，点M为棱BC上一点，且满足

1

AM=j,B1M1BC.

(1)求证：EF||平面CBiA；

(2)求证：ABilBC；

(3)求直线BAi与平面MBiA所成角的余弦值.

E

22.(问答题，12分)如图，平面四边形ABCD中，BC1CD,AB=AD=BC=3,BD=2V3,以

BD为折痕将AABD折起，使点A到达点P的位置，且PC=遥.

(1)若E为棱PD中点，求异面直线CE与PB所成角的余弦值；

(2)证明：平面BCD1平面PBC；

(3)求二面角P-BD-C的平面角的正弦值.

5,

2021-2022学年新疆兵团二中高一(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

试题数:22,总分：150

1.(单选题，5分)已知z=l+i,则2(z+1)的模是()

A.V10

B.10

C.V2

D.2

【正确答案】：A

【解析】：根据已知条件，结合共辄复数的定义，以及复数模公式，即可求解.

【解答】：•.-z=l+i,

•••z(z+1)=(1-i)(1+i+l)=(1-i)(2+i)=3-i,

z(z+1)的模是J32+(-1)2=V10.

故选：A.

【点评】：本题主要考查共辗复数的定义，以及复数模公式，属于基础题.

2.(单选题，5分)设a,0为不重合的平面，m,n为不重合的直线，则其中正确命题的序号

为()

①m||a,a||0,则m||0；

②mua,nep,a||0,则m||n；

③mla,nip,a10,则mln；

(4)nep,mla,m||n,则al0.

A.①③

B.②③

C.②④

D.③④

【正确答案】：D

【解析】：由直线与平面平行、平面与平面平行的关系判断①；由两平面平行分析两平面中

直线的位置关系判断②；由线面垂直与面面垂直的关系分析③;由直线与平面垂直的性质

及面面垂直的判定判断④.

【解答】：解：①若m||a,a||0,则m|||3或mu0,故①错误；

②若mua,nep,a||p,则m||n或m与n异面，故②错误；

③若mla,aip,则mu0或m||0,又nlj则mln,故③正确;

④若m_La,m||n,则n_La,又nu0,可得a_L|3,故④正确.

故选：D.

【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间

想象能力与思维能力，是基础题.

3.（单选题，5分）若两个向量N、石满足|日|=1,|b|=6,a»b-3,则五与3的夹角是

（）

【正确答案】：C

【解析】：利用向量夹角余弦公式直接求解.

【解答】：解：•.・两个向量2、3满足|菊=1,|B|=6,a>b=3,

7、a»b31

■••COS<ab>=^j=京=5

v<a,b>6[0,IT],a,b.

则2与B的夹角是『

故选：C.

【点评】：本题考查向量的运算，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

4.（单选题，5分）复数z满足|z|=L贝的最大值为（）

A.V2-1

B.1

C.V2

D.V2+1

【正确答案】：D

【解析】：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解.

【解答】：解：设2=2+/，a,beR,

.•,a2+b2=l,表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆，

|z-l-i|表示单位圆上的点与（1,1）距离之和的最大值，即原点与（1,1）距离加半径，

则的最大值为J（l—0）2+（1—0）2+1=72+1.

故选：D.

【点评】：本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

5.（单选题，5分）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（）

AN不可能为纯虚数

BN在复平面内对应的点可能位于第二象限

C.z2在复平面内对应的点一定位于第三象限

DN在复平面内对应的点可能位于第四象限

【正确答案】：D

【解析】：根据复数的代数式，复数的几何意义，复数的乘法运算即可求解.

【解答】：解：设2=2+E，其中a,beR,i为虚数单位，

•••z在复平面内对应的点位于第二象限，

且b>0,

•1.z2=（a2-b2）+2abi,且2ab<0,

对A,当a2-b2=0时，如为纯虚数，；.A错误；

对B,TZabCO,；以2在复平面内对应的点不可能位于第二象限，；.B错误；

对C,：a2-b2的符号不确定，且2abe0,；.z2在复平面内对应的点不一定位于第三象限，；.C

错误；

对D,•.•2ab<0,.•.当a2-b2>0时，z?在复平面内对应的点位于第四象限，.汨正确.

故选：D.

【点评】：本题考查数的代数式，复数的几何意义，复数的乘法运算，属基础题.

6.（单选题，5分）袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、

“红"、"旗"四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有"红”、“旗”的两个球都摸

到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1,2,3,4分别代表

“风"、“展"、"红"、"旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟

产生了以下20组随机数：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）

【正确答案】：B

【解析】：求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.

【解答】：解：经随机模拟产生了以下20组随机数：

411231324412112443213144331123

114142111344312334223122113133

共有20组随机数，

恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324,443,334,共有3个，

所以恰好在第三次就停止摸球的概率为总.

故选：B.

【点评】：本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件

的基本事件数，属于基础题.

7.（单选题，5分）新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三

产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经

济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.

租赁和商务服务业

住宿和餐饮业

信息传输、软件和信息技术服务

其他服务业

批发和零售业

金融业

交通运输、仓储和邮政

房地产业

0%10%20%30%

图2

下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）

A.第一产业的生产总值与第三产业中"其他服务业”的生产总值基本持平

B.第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值

C.若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，贝『'房地产”生产总值为22500亿元

D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元

【正确答案】：D

【解析】：利用国内三大产业比重和第三产业中各行业比重统计图，能求出结果.

【解答】：解：对于A,第一产业的生产总值占比6%,

第三产业中"其他服务业”的生产总值占比57%x32%=18.24%,

・•・第一产业的生产总值与第三产业中"其他服务业”的生产总值差距明显，故A错误;

对于B,对于A,第一产业的生产总值占比6%,

第三产业中“金融业”的生产总值占比57%X16%=9.12%,

・•・第一产业的生产总值没有超过第三产业中“金融业”的生产总值，故B错误；

对于C,若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，

则“房地产”生产总值为：等X13%=32500亿元，故C错误；

对于D,若"金融业"生产总值为41040亿元，

则第二产业生产总值为潟盘X37%=166500亿元，故D正确.

故选：D.

【点评】：本题考查命题真假的判断，考查国内三大产业比重和第三产业中各行业比重统计图

的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.（单选题，5分）如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，过AiBi的截面与AC交于点D,与BC交

于点E,该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则竽=（）

A

E

c.2

2

D.d

2

【正确答案】：D

【解析】：利用棱柱，棱台的体积公式结合条件即可求解.

【解答】：解：由题可知平面AiBiED与棱柱上，下底面分别交于AiBi，ED,

则AiBi||ED,ED||AB,显然CDE-QAiBi是三棱台，

设AABC的面积为1,ACDE的面积为S,三棱柱的高为h,

+,解得遍=早，

由ACDEs^CAB,可得生=*=立二.

ACVI2

故选：D.

【点评】：本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于中档题.

9.(多选题，5分)下列式子中，一定正确的是()

A.0+a=a

B.a—a=0

C.|a+b|>|a-b\

D.(a•,b)•c=d•(h•c)

【正确答案】：AB

【解析】：根据向量的线性运算，向量数量积的定义即可求解.

【解答】：解：显然AB正确，

当向量工B的夹角大于90。时，演+同〈口一可，C错误.

又向量,，1的方向不一定相同，且五・3与3・己不一定相等，；.D错误.

故选：AB.

【点评】：本题考查向量的线性运算，向量数量积的定义，属基础题.

10.(多选题，5分)有甲、乙两组数据，甲：1、2、a、b、10,乙：1、2、5、6、11,其中

a,b£N*,若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的

方差，则(a,b)可以为()

A.(5,6)

B.(7,5)

C.(6,6)

D.(8,4)

【正确答案】：BCD

【解析】：根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解.

【解答】：解：由题意可得，：x(l+2+a+b+10)=5,解得a+b=12,平均数为5,

乙组数据的平均数为|x(1+2+5+6+11)=5,

••・甲组数据的方差小于乙组数据的方差，

22222

(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(b-5)+(10-5)<(1-5)+(2-5)+(5-5)+(6-5)

2

2+(11-5)2,即(a-5)2+(b-5)<12,

•••a,beN,,

(a)b)可以为(4,8),(6,6),(5,7),(7,5),(8,4).

故选:BCD.

【点评】：本题主要考查平均数和方差的公式，考查计算能力，属于基础题.

11.(单选题，5分)下列四个命题正确的个数为()

①抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为:；

②现有7名同学的体重(公斤)数据如下：50,55,45,60,68,65,70,则这7个同学

体重的上四分位数(第75百分位数)为65；

③新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两

科参加高考，则选出的两科中含有政治学科的概率为J

A.3

B.2

C.1

D.0

【正确答案】：B

【解析】：①③：根据古典概型的概率计算公式即可求解；②：根据百分位数的求解公式

即可求解.

【解答】：解：①：抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为6X6=36种，

向上点数之和不小于10的基本事件有（4,6）,（5,5）（5,6）,（6,4）,（6,5）,

（6,6）共6种，

所以所求事件的概率P=5=9故①正确，

36o

②：因为（7+1）x75%=6,

所以这7个同学体重的上四分位数（第75百分位数）为68,故②错误，

（D：从政治、地理、化学、生物四个学科中任取两科参加高考的基本事件个数为C：=6,

选出的两科中含有政治学科的基本事件有（政治，地理），（政治，生物），（政治，化学）

共3种，

所以所求事件的概率P=：=；,故③正确，

6Z

故选：B.

【点评】：本题考查了命题的真假判断，涉及到古典概型的概率计算公式以及百分位数的求解,

考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

12.（多选题，5分）三棱锥S-ABC中，平面SAB1平面ABC,zSAB=zABC=3zBAC=90°,

SA=AC=2,贝I」（）

A.SA1BC

B.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为整

C.点A到平面SBC的距离为善

D.二面角S-BC-A的正切值为竽

【正确答案】：AD

【解析】：根据SA1平面ABC可判断A正误；求出直径SC,再根据球的表面积公式可判断B

的正误；根据面面垂直的性质定理可知点A到平面SBC的距离为AG,求出AG可判断C正误;

根据题意可知，可得NSBA为二面角S-BC-A的平面角，进而求出正切值可判断D正误.

【解答】：解：对于A,因为平面SAB1平面ABC,ZSAB=9O°,即SAIAB,

平面SABCI平面ABC=AB,SAu平面SAB,所以SAI平面ABC,

又因为BCu平面ABC,所以SA1BC,故A正确；

对于B,因为SA1BC,AB1BC,SAnAB=A,

所以BC1平面SAB,

因为SBu平面SAB,所以BC1SB,

又SAJ•平面ABC,ACu平面ABC,

所以SAIAC,即ZSAC=ZSBC=9O°,

所以三棱锥S-ABC外接球的直径为SC,

因为SA=AC=2,所以SC=7sAz+4c2=?五,

所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4兀管了=4兀（四了=&兀，故B错误;

对于C,因为BC1平面SAB,BCu平面SBC,

所以平面SABI平面SBC,过点A作AG1SB,交SB于点G,

根据面面垂直的性质定理，可得AG_L平面SBC,

故点A到平面SBC的距离为AG,由ZABC=3NBAC=90。，AC=2,

得力B=g,则SB=J22+（V3）2=V7,

对于D,SB1BC,AB1BC,所以ZSBA为二面角S-BC-A的平面角,

在RtASAB中，tcmNSB/='=昌=也，故D正确.

ABV33

故选：AD.

【点评】：本题考查了空间中的垂直关系、距离问题和空间角问题等,属于中档题.

sinA1+cosA

13.（填空题，5分）已知AABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、C,-：—=-------

sinB2-cosB

3n.

cosA--,SAABC=6,贝Ua=

【正确答案】：[1]4

【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的

应用求出结果.

【解答】：解：由吗=产胃，整理得

sinB2-cosB2sinA=sinB+sinC,

利用正弦定理：2a=b+c；

由于cosA—|,故sinA—g；

Ii

由于S^ABC=-bcsinA=6,

解得bc=15；

利用余弦定理cosA=号也=|,

2bc5

解得a=4.

故答案为：4.

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，正弦定理和余弦定

理及三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

14.(填空题，5分)在四边形ABCD中，已知方=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,

6),则四边形ABCD的面积是

【正确答案】：[1]30

【解析】：根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形ABCD为矩形，再根据向

量的模的计算得到，矩形的长和宽，即可求出面积.

【解答】：解：•.•荏=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),

...荏•亚=4X3-2X6=0,BC^AC-AB(3,6)=而，UC^AC-AD=(4,2)=AB,

XB1AD,BC\\AD,AB\\DC,

四边形ABCD为矩形，

v|AB|=J42+(—2)2=V20,IAD|=V32+62=V45,

.••四边形ABCD的面积为V20xV45=30,

故答案为：30.

【点评】：本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，判断出四边形形状是关

键，属于中档题.

15.（填空题，5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获

胜的概率为|,乙获胜的概率为］各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得

比赛的概率为

【正确答案】：［1吟

ol

【解析】：根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第

二局输，第三局和第四局赢，由此可求出概率.

【解答】：解：根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：

甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，

则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为|X；X|X；=3.

J333ol

故答案为：.

【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法

公式的灵活运用.

16.（填空题，5分）在三棱锥P-ABC中，zABC=60。，/PBA=zPCA=90。，点P至U底面ABC

的距离为V2,若三棱锥P-ABC的外接球表面积为6TT,则AC的长为—.

【正确答案】：口］旧

【解析】：PN1平面ABC,垂足为点N,连接NB,NC,由条件可知AN是四边形ABNC外接

圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出|AN|=2,根据同弦所对的圆周角相等，可

知NANC=60。，求出AC的长.

【解答】：解：PN1平面ABC,垂足为点N,连接NB,NC,

PN1AB,PB1AB,

••.AB1平面PBN,BNu平面PBN,

•••AB1BN,同理AC1CN,

p

取AN的中点M,即M是四边形ABNC外接圆的圆心，

作OM_L平面ABC,贝I」OA=OB=OC=ON,

过PN的中点H作PN的垂线，交0M于点0,则0N=0P,

,•，0A=0B=0C=0N=0P,

.•-0是三棱锥P-ABC外接球的球心，

S=4TCR2=6TT,.•./?=—2,0M=—2,

\AM\—7R2-0M2=1=1,

••.|AN|=2,即底面外接圆的直径是2,

­.•ZABC=6O°,••ZANC=6O°,

\AC\=yX|4W|=V3.

故答案为：V3.

【点评】：本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

17.(问答题，10分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sinB-V3

cosB)+y/3a=0.

(I)求角C的大小；

(II)若AABC的外接圆半径R=V7,b=4,求AABC的面积.

【正确答案】：

【解析】：(I)由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可

得tanC的值，结合范围CC(0,IT),可求C的值.

(II)由题意利用正弦定理可求c的值，根据余弦定理可求a的值，进而根据三角形的面积

公式即可求解.

【解答】：解：(I)因为c(sinB-V3cosB)+V5a=0,

由正弦定理可得sinCsinB-V3sinCcosBH-V3sinA=0,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以sinCsinB-V3sinCcosB+V3sinBcosC+V3cosBsinC=0,即sinCsinB+V3sinBcosC=0,

因为sinBHO,

所以sinC+遮cosC=0,即tanC=-次，

因为Ce(0,TT),

所以C=?

(II)因为c=紫，4ABC的外接圆半径R=V7,

所以由-r——2R,可得c=2bx咚=V21，

sinC2

因为b=4,

由余弦定理c2=a2+b2・2abcosC,KTW21=a2+16+4a,BPa2+4a-5=0,解得a=l,(负值舍

去)，

所以AABC的面积S=(absinC=3xlx4xF=V^.

【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定

理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

18.(问答题，12分)某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高

一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中

毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选

取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).

(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；

(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；

(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率.

【正确答案】：

【解析】：(1)利用古典概率计算公式求解.

(2)先求出从这6名同学中选出的2名同学代表没有1名女同学的概率，再利用对立事件的

概率计算公式求解.

(3)对于从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校分类讨论，再利用互斥

事件的概率计算公式求解；或者利用相互对立事件的概率计算公式求解.

【解答】：解：(1)在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率P=^=S

6010

(2)从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率P=l-g=l-|=|；

55

(3)从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率

或p=*=i弓途

【点评】：本题考查了古典概率计算公式、对立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公

式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

19.(问答题，12分)如图，已知棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面是平行四边形，且侧面均为正方

形，F为棱AAi的中点，M为线段BDi的中点.

(1)作出面DiFB与面BBiCiC的交线并证明.

(2)求证：MF||ffiABCD.

【正确答案】：

【解析】：(1)作辅助线CiQ,证得DiF||CiQ||BP,则Di,F,B,P四点共面，所以BP

为平面DiFB与平面BBiCiC的交线；

(2)连接AiC,AC,利用中位线定理证得MF||AC,利用直线与平面判定定理证明即可.

【解答】：（1）证明：设BiB中点为Q,CiC中点为P,

连BP,CiQ,FQ,BP为所求交线，

•••F,Q,P为AAi,BBi,CCi中点，

••.C1D1||FQ,且CiD尸FQ,

••・四边形GD1FQ为平行四边形，

•1.C1QHDiF,

■••C1QHBP,

■•.BP||DiF,即Di，F,B,P四点共面,

平面DiFBCl平面BBiCiC=BP.

(2)证明:

连接AiC,AC,为BDi中点，

••.A1C过点M,且M为AiC中点，

又「F为AAi中点，

.•.MF||AC,

•.•MFC平面ABCD,ACu平面ABCD,

；.MF||平面ABCD.

【点评】：本题主要考查直线与平面平行的证明，熟练运用直线与平面判定定理是解决本题的

关键.

20.（问答题，12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府

为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准X,

用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.下面是居民月均用水量的抽

样频率分布直方图.

①求直方图中a的值；

②试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；

③设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由;

④如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x,那么标准x定为多少比较合理？

频率

I组距

0.52--------------

0.40-------------

a__________

S16

S12

O

S08

-4

O.O前用水量（吨）

0.5I1.522.533.544.5

【正确答案】：

【解析】：①利用频率分布直方图能求出a；

②由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数和平均数即可；

③根据频率分布直方图，求出月均用水量不低于3吨人数所占百分比，计算对应的人数；

④求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过

标准的值.

【解答】：解：①由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1,

•.•频率=（频率/组距）*组距，

•••0.5X（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1,解得：a=0.3,

••.a的值为0.3；

②由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数为等=2.25（吨），

估计该市居民月均用水量的平均数为：

0.5

（0.25x0.08+0.75x0.16+1.25x0.3+1.75x0.4+2.25x0.52+2.75x0.3+3.25x0.12+3.75x0.08+

4.25x0.04）=2.035（吨）.

③由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5X(0.12+0.08+0.04)=12%,

.••全市月均用水量不低于3吨的人数为：30义12%=3.6(万)；

④由频率分布直方图得月均用水量低于2.5吨的频率为：

0.5X(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73<85%,

月均用水量低于3吨的频率为：

0.5X(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%,

门十、

••・x=2r.L5+1c0.L5x-0-.8--5----0-.7-3-=2r.9c(Z吨).

0.3X0.5

【点评】：本题考查频数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

21.(问答题，12分)如图，三棱柱ABC-AiBiCi，侧面AiABB4底面ABC,侧棱BBi=2,

BA=1,zABBi=60。，点E、F分别是棱C1C、AH的中点，点M为棱BC上一点，且满足

1

AM=pBiMIBC.

(1)求证：EF||平面CBiA；

(2)求证：ABilBC；

(3)求直线BAi与平面MBiA所成角的余弦值.

【正确答案】：

【解析】：(1)设AiBCABi=O,连接OC,OF,利用中位线定理可证明四边形CEF。为平行

四边形，则EF||OC,由线面平行的判定定理证明即可；

(2)利用已知的边角关系可得，ABlABi,由面面垂直的性质定理可得ABil平面ABC,即可

证明结论；

(3)先利用线面垂直的判定定理证明BC1平面MBiA,可得NBOM为BAi与平面MBiA所成

的角，然后在三角形中，由边角关系求解即可.

【解答】：(1)证明：设AiBCABi=O,连接OC,OF,

因为0，F分别为AiB,AiBi的中点，则OF||BBi,OF=|SB1,

因为E为CCi的中点，

所以CE=[CCi=池1,且CCi||BBi，

所以OF||CE,OF=CE,

则四边形CEFO为平行四边形，

故EF||OC,因为OCu平面CBiA,EFC平面CBiA,

故EF||平面CBiA；

(2)证明：因为zABBi=60。，AB=1,BBi=2,

所以NBiAB=90。，BPABlABi，

因为平面AiABBil平面ABC,且平面AiABBm平面ABC=AB,

所以AB」平面ABC,又BCu平面ABC,

故AB4BC；

(3)解：因为BiMIBC,ABilBC,

XBiMnABi=Bi,B1M,AB】u平面MBiA,

故BC_L平面MBiA,

连接