2021年高中数学人教B版必修第四册全册分章节分课时同步练习+单元测试

第九章解三角形

9.1正弦定理与余弦定理

9.1.1正弦定理

三三三三三三三三三三—三・—三三―三壬工――

课后篇巩固提升

…一基础达标练

1.在AABC中，下列关系式中一定成立的是()

A.〃>bsinAB.4=0sinA

C.a<hsinADaNbsinA

蠲D

|解析［由正弦定理，得就，所以。二::鬻.在△ABC中,0〈sin5W1,故《^21,所以a^bsinA.

2.在ZkABC中,。=4封6=4/音,则3=()

答案A

蓟由正弦定理可得看=焉，

..nbs\nA

•-sinB=-------

a4V32,

又。=4百>力=4,・：A>A.：8=”.故选A.

o

3.在AABC中，已知6=3,c=8,A/则AABC的面积等于（）

A.6B.12C.6V3D.12V3

gSc

解析SAA8c=gbc-sinA=gx3x8xsin三=6遍.故选C.

4.(2020黑龙江大庆四中高一月考)在AABC中，角A,B,C的对边分别为“力,c.若邛=等，则B=()

4或当

答案k

眼丽由正弦定理得鬻=篝=1,所以tan8=1.又因为BC（O,兀），所以8=*

5.（2020江苏南京秦淮中学高一期中）在AABC中，若a=2g,A=30°，则的值为（）

sino.+二sin,c二

A.4V3B.2V3C.4D.2

S1]A

庭丽由题可知4=2百,4=30°，令号=3=啖=2R（R为HNBC的外接圆半径），

所以卜+，_2/?sinB+2/?sinC=2/?=_a_=莘_=小点即^__"£_=4百

sinF+sinCsinF+sinCsin41'sinF+sinC

2

6.（2020浙江绍兴一中高一期中）在△ABC中，若力=2,则下列说法错误的是（）

O

A.若〃=1,则c有一解

B.若。二百，则c有两解

C.若4=1则C有两解

D.若。=3厕c有两解

量D

丽|由b=2,A="pMnA=2sin]=l¥a=\或“》2时,c有一解，当1<a<2时,c有两解，结合选项知选

----OO

D.

7.（多选题）（2020江苏如东高级中学高一期中）已知A,B,C是AABC的三个内角,下列结论一定成立的

有（）

A.sin（B+C）=sinA

B.cos（A+B）=cosC

C.若A>B,则sinA>sin8

D.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形

答案|AC

解析由A+B+C=TI,得sin（B+0=sin（7t-A）=sin力，故A正确;cos（A+8）=cos（兀-C）=-cosC,故B不正确；由

三角形中大角对大边,A>8,则a>"根据正弦定理有sinA>sin氏故C正确;在三角形中，若sin2A=sin

2B,则2A=28或2A+28=兀,所以A=8或A+8=]则AABC是等腰三角形或直角三角形，故D不正确.故

选AC.

8.在AABC中力,c分别是A,B,C所对的边.若A=105°,B=45°力=2在，贝ijc=QABC的面

积为.

答案|2V3+1

丽由题得C=180°-105°-45°=30°.

根据正弦定理白=肃，可知需=木，解得c=2.

故M8C的面积为5=^sinA=|x2V2x2xsin105。=2夜＞罕=遍+1.

9.已知在中方C=15,AC=10,A=60°,则cosB=

由正弦定理得益=饴

/CsinA_10x孚_

V3

所以sinB=

BC15-3'

因为ACvBC,所以B<A=60°,则8为锐角,

V6

所以cosB==—

3°

10.在△A8C中，若―=―=―则△ABC是三角形.

cos2cos2cos2

丽由正弦定理得当=普=当,

cos2cos?cos?

uu1、1.4.B.C

所以sm-=sin-=sin-.

因为A,8,Ce（（U）,所以捐,黑（0,£

所以?=5=a所以A=B=C.故"BC为等边三角形.

11.在AABC中M=2,c=&,sinA+COSA=0,则角B的大小为.

|解析|因为角A是三角形的内角，所以Ae（0,jc）.又因为sinA+cosA=0,所以tanA=-l.所以A=%.由正弦

定理可知三=-7,则1=3,所以sinC=；.因为A=%所以Ce（0,；）,因此C=?.由三角形内角和

sm4smCV2smC24\4/6

~2

定理可知8=7C-A-C吟.

12.在A48C中，求证:产券=等.

b-ccosAsm力

怔明因为在AABC中，就=熹=媪^=2R（R为AABC的外接圆半径）,

所以左力_2RsinA-2RsinCcos8

2RsinB-2RsinCcosA

_sin(B4-C)-sincosB_sin8cosc_sin8_右边

sin(i4+C)-sinCcos/lsinAcosCsinA'

所以等式成立，即卫竺=驾.

b-ccosAsinA

…一能力提升练

1.满足条件C=60°,AB=%,8C=：的△48<7有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

^gc

隆明由于BCsinC=M<V3<，所以AABC有两解.故选C.

2.在"BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,acosB=(ac-b)cosA,则角A的大小为()

A?B，7C.qD.J

6432

|解析［由正弦定理得sinAcosB=(V2sinC-sinB>cos4,即sin(A+B)=&sinCeosA,即sinC=V2sinCeos

A,所以cosA=冬故A=］故选B.

3.已知A4BC的内角A,B,C的对边分别为4力,。,且满足a=6,c=2仿tanA+tan8=鬻，则SaAfic=()

A.3V2B.9V2C.9V3D.3%

量B

解析由2sin

----tanA+tanB=cosAf,

得sin4cosB；co_sinB=誓因为/A#),所以吗=2sinC.因为sinC/),所以cosB=g,又因为BG

cosAcosBcosAcosB2

(0,兀)，所以8带,所以SM8c=%csinB=gx6x2乃x?=9企.

4.在锐角AABC中，若C=2B,则押范围为()

A.(V2,V3)B.(V3,2)

C.(0,2)D.(V2,2)

量A

臃丽由正弦定理得:=喝=等=2cosB.

----bs\nBsmB

:'△ABC是锐角三角形，,：三个内角均为锐角，

即0<B4,0<284,0<7I-3B4解得夫BC，.：［<COS8<景.：笑(夜,遍).

ZZZO4ZZ0

5.(多选题)(2020山东济南历城第二中学高一月考)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若

C=［,c=3且该三角形有两解，则a的值可以为()

O

A.4B.5C.6D.7

^M］AB

解丽丁该三角形有两解,C=/c=3,

・：asid<c<a,即3<。<6.故选AB.

o

6.在A4BC中,AB=AC=4,BC=2.O为AB延长线上一点,BO=2,连接8,则ABOC的面积

是.

|解析|过点4作BC的垂线，交BC于点E,则所以sin/ABC=^，则sinZCBD=sin(K-Z

480=乎，所以SA8°=；BZ>8Csin/CBO="x2x2x乎=乎.

7.在A4BC中,8=120°,AB=&，角A的平分线A£>=K，则AC=.

答案历

解析如图,

B

由正弦定理易得・

sinZ-ADBsinB'

s\nZ.ADB-sin120°

故sinNAD8磴即NAD8=45°.

在△A5O中，已知N3=120°,NAO3=45°，即N84Q=15°.由于AO是N34。的角平分线，故N

3AC=2NBAQ=30°.在△ABC中,N5=120°,N3AC=30°,易得NACB=30°.在^ABC中，由正弦定理

得..即,H=.黑。，故AC=®

s\nz.ABCs\nz.ACBsmlzOsm30

8.(2020浙江高一检测)己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且“cosC+V3asinC=6+c,则

A=；若4=百，且AABC只有唯一解，则b的取值范围为.

匿案g(0,㈣U⑵

|解析|因为acosC+V3asinC=h+c,

所以由正弦定理得sinAcosC+V3sinAsinC=sinB+sinC,则sinAcosC+V3sinAsinC=sinAcos

C+cosAsinC+sinC,

所以gsinA=cosA+l,则sin(A-，=g,

所以A=5

当。二加呜或a^b时,ZkABC有唯一解，即b二市给=2,或0<bWV5,所以Z?^(0,V3]U{2}.

9.在NBC中，角A,B,C的对边分别为。力,。,已知到=若.

acos/l

(1)求角A的大小;

⑵设a=20,b=3；求sin(2B-A)的值.

g(1)由正弦定理可得2sinC：inB=cosB,

—sin/iCOSA

即2sinCeosA=sinAcosB+cosAsinB

=sin(A+B)=sinC.

因为sinCWO,所以cos

又因为AW(0,7t),所以A=]

(2)由正弦定理捻=熹，得sin5=等=鬻=竽，所以cosB=±』-sin2B=土耳.

所以cos2B=1-2sin2B=1-2

sin2B=2sinBcosB=±噜.

lo

当sin25二时,sin(23-A)=sin2BcosA-cos2Bsin

163，

当sin28=-^^时,sin(28-A)=sin28cos/A-cos28sin

lo32

所以sin(2B-A)的值是吟星或冷竺

…八素养培优练

在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且满足当=sinB+sinC

cosB+cosC

⑴若"BC还同时满足下列四个条件中的三个:@=7,②6=10,③?=8,④"BC的面积5=10百,请指

出这三个条件，并说明理由；

⑵若。=3,求AABC周长L的取值范围.

翻因为列上.=sinB+sinC

I—Icos4cosB+cosC'

所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,

即sinAcosB-cosAsinB=sinCeosA-cosCsinA,

所以sin(A-B)=sin(C-74).

因为A,民(0,兀)，

所以A-8=CA即2A=B+C,所以人存

(□△ABC还同时满足条件①③④理由如下：

若AABC同时满足条件Q像

则由正弦定理得sin8=粤竺=竽＞1,

所以AABC不能同时满足条件。诊,

所以XABC同时满足条件(3)(?),

所以AABC的面积S=，csinA=|xZ?x8xy=10V3,^以A=5,与②f盾，所以AABC同时满足条件

(D@④.

(2)在AABC中，由正弦定理得上肃=急=2

因为C=--B,

所以/?=2V3sinB,c=2V3sin（竽-8）,

+3=6（：sinB+：cos+3=6sin3+?+3.

所以L=a+b+c=sinB+sin佟一J

ZLO

因为BG(0年)，

所以(],^I),sin(B+3)G1J,

6666Z

所以2^8(：周长心的取值范围为(6,9].

第九章解三角形

9.1正弦定理与余弦定理

9.1.2余弦定理

三三三三三三三三三三—三・—三三―三壬工――

课后篇巩固提升

…一基础达标练

1.在AABC中，角A,8,C的对边分别是a,b,c,若Z?=3,c=2,cosA=g,则a=()

A.5B.V7C.4D.3

§1]D

|解析何余弦定理可得a2=b2+c2-2i>ccosA=9+4-2x3x2xg=9,解得a=3.故选D.

2.在AA8C中，已矢口h2=ac且c=2a,贝ljcosB等于()

答案|B

解析因为b2=ac,c=2a,^ff以『=2cF,b=&a.所以cosB="_3

------Zac2Q2Q4

3.已知为△"(?的三边长,若满足3+b-c>(a+Z?+c)=的则C的大小为()

A.60°B.90°C.120°D.1500

ggc

解析因为(ci+b-c)(a+/?+c)-ab,

所以J+zAc'二.曲即a

cabL

所以cosC=4,所以C=120°.

4.在AABC中,si吗=*,b,c分别为角A,8,C的对应边），则AABC的形状为（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

薪B

底明因为si魔=土罗=软所以cos=空2亦总2,2整理得下+必］,符合勾股定理.故“BC为直

角三角形.

5.在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a力,c,已知sinA/sinB/sinC=3/5；7,那么这个三角形中最大

角的度数是（）

A.135°B.90°C.120°D.1500

ggc

解析因为sinA/sinB/sinC=3/5；7,故a.b,c=3/5：7,设〃=3A（Q0）,则b=5k,c=7k.由大边对大

角定理可知，角C是最大角，由余弦定理得cosC=萼M=W.因为0°<C<180°,因此,C=120°.故选

ZabL

C.

6.

某地需要建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰

三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为（）

答案D

|解析|设等腰三角形的顶角为a,由三角形的面积公式，得4个等腰三角形的面积和为4xix400x400sin

a=320000sina,由余弦定理可得正方形边长为4002+4002-2x400x400cosa=4002-2cosa,故

正方形面积为160000(2-2cosa)=320000(1-cosa),所以所求占地面积为320000(1-cosa+sina)=320

00[v2sin(a-=)3n

0+1」,所以当a-7=［，即当时,占地面积最大，此时底角为一^=故选D.

424Lo

7.（多选题）（2020海南中学高一期中）已知AABC中，角A,民。所对的边分别为。力,c,且

A=60°,h=2,c=>/3+1，则下列说法正确的是（）

A.C=75°或C=105。

B.B=45°

C.a=\［6

D.该三角形的面积为粤

答案BC

艇画由余弦定理，得/=/+。2-2从'cosA=4+4+2百-2x2x(d5+l)x：=6,所以。=逐.由正弦定理，得

卷=焉所以如片等=等=弃于。。＜8＜12。。，所以8=45。.所以C=18。。BA=75。.

三角形4BC的面积为，csinA=gx2x(百+l)x苧=昔"综上所述，选BC.

8.在AABC中，边a,b的长是方程f-5x+2=0的两个根，则a+b=，若C=60°，则边

c=.

答案|5V19

解析由题意得〃+〃=5,。〃=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2ahcosC=a2^h1-ah=(a+h)2-3ah=52-3'X-2=[9,^

c=V19.

9.在锐角三角形A3C中,A3=3,AC=4.若AABC的面积为3次测5c的长是.

|解析|由题可知/8/0而4=38,所以sinA埒.又因为△48C为锐角三角形，所以A=60°,由余弦定

理cosA-,得即BC=y/13.

/：2：bcQ

10.设2a+\,a,2a-\为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是.

腹氨2,8)

庭画因为2a-1＞0,所以最大边为加+1.因为三角形为钝角三角形，所以a1+(2a-\)2＜(2a+1产,化简

得0＜。＜8.又因为〃+2〃-1＞2。+1,

所以。＞2,所以2＜。＜8.

11.在A48C中，求证:答=3优).

怔明右边=sinAcosB-cosAsinB

sinC

sin71八sinB.

=^-7-C0SB-^-T-COSA

smcsine

_aa2+c2-b2bb2+c2-a2

c2acc2bc

_a2+c2-b2b2+c2-a2_a2-b2

~~2?2?—-c2

=左边.

所以。2一户=sin(48)

c2sinC•

能力提升练

1.（2020江苏扬州大桥高级中学高一月考）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。力£,若（L+c^Btan

8=遮这,则B的值为（）

屋或常D.抖茎

ga]D

|解析|**（a2+c2-fe2）tanB=V^ac,且cosB=七哈亘•，二sin8=苧,.：8=三或拿故选D.

2.在"BC中，已知A8=3,BC=Vn,AC=4,则边AC上的高为（）

.3V23百C.|D.3V3

A—BT

答案|B

解雨如图,

在中,BD为AC边上的高，且AB=3,8C=g,AC=4.因为cosA=之型空所以sjnA=?

ZX3X4LL

故BD=AB-sinA=3x苧=

3.已知A43C中,A,5,C的对边的长分别为〃力,“=120°,〃=&1,”3C的面积为则c+h=（）

A.4.5B.4V2C.5D.6

ggc

=

I解析[由三角形的面积公式可得S^ABc^bcsinA=1/?cx^y=苧?c=g，所以bc=4.由余弦定理得

6Z2=/?2+C2-2Z?CCOSA,即/+。2-2乂4乂(1)=21,得b2+c2=17.所^(/?4-c)2=/?2+c2+2Z?c=174-2x4=25,0

此,c+6=5.故选C.

4.(2020辽宁高一期中)AABC的面积S=〃2_3-c)2,则sin4=()

A塔B.A嘘D片

17171517

|解析|根据S=1z?csinA,又a2=b2+c^-2bccosA,则S=cT-^b-c)1-cT-bl-c'+2bc--2bcco3A+2bc,^以-2Z?ccos

A+2bc=：hcsinA,化简得sinA=-4cosA+4,联立［sin,4cosA+4,解得sjn

2(sin27l+COS2A=1,17

5.(2020广东高三模拟)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代语言表

示为:在ZkABC中，角A,B,C所对的边分别为〃力,c,则“8。的面积S也[(也2-(等马2].根据此公

式，若acos3+3+3c)cosA=0,且广上廿二2,则aABC的面积为()

A.V2B.2V2C.V6D.2V3

宣A

解析由czcos8+(/?+3c)cosA=0,得sinAcosB+cosAsinB+3sinCeosA=0,即sin(A+B)+3sinCeosA=0,

即sinC(l+3cosA)=0.因为sinC#0,所以cosA=f.由余弦定理，得//-/="ccosA=|bc=2,所以

bc=3,由ZkABC的面积公式得S=J；[(be产。-)2]=x(32-l2)=故选A.

6.(多选题)(2020江苏南京秦淮中学高一期中)^.AABC中，角A,氏C所对的边分别为。力c且(。+勿；

(a+c)；S+c)=9/10；11,则下列结论正确的是()

A.sinA/sinB.sinC=4/5/6

BZABC是钝角三角形

C."3C的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则NBC外接圆半径仅为苧

答案|ACD

(a-\-b=9x,

|解析|因为(a+b)；(a+c)；(Z?+c)=9；10：11,所以可设Q+c=10%,其中x>0,解得a=4x,b=5x,c=6x,所

b+c=11%

以sinA；sinB/sinC=a：b；c=4；5；6,所以A正确;由上可知c边最大，所以三角形中C最大.

-27222

又cosC=a汽c=(4x)+:x)；(6x)=卜所以c为锐角，所以B错误;由上可知4边最小，所以

2ab2x4xx5x8

三角形中A最小，又cos4=殁J=8)；?黑?』=*所以cos24=2面41/所以cos2A=cosC,

由三角形中C最大且C为锐角可得2AG(0,兀),CG所以2A=C，所以C正确;由正弦定理得

2穴=就，又sinC=JLeos2c=唱，所以2R=搭，解得/?=苧，所以D正确.故选ACD.

7.在AABC中,sin1=竿HB=5,8C=1,则AC=.

gm]4V2

画画由余弦定理得AC2=AB2+BC1-2ABBCcofiB,

又cosB=1-2sin2^=1-2x^=-1-

故Ad=25+l-2x5xlx(-|)=32,

所以AC=4\[2.

8.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知/?=3,a+c=3V5,sinC=2sinA

⑴求a,c的值；

⑵求sin(2B+；)的值.

廨|(1)由正弦定理看=就^及sinC=2sinA,得c=2a.因为a+c=3V5,所以a=y/5,c=2\[5.

(2)由余弦定理得b^a+e-laccosB,

4

所以cosB=-.

因为3是三角形内角，所以0<3<兀

所以sinB=Jl-cos2B=1.

24

所以sin2B=2sinBcosB=—,

、7

cos2B=2cos-fl-l=—.

所以sin(284-；)=sin28cos7+cos28sin7

\4/44

24V2,7V231V2

25225250.

素养培优练

(2020山东泰安高三模拟)已知a,b,c分别为aABC内角A,B,C的对边，若AABC是锐角三角形，若

△A8C同时满足下列四个条件中的三个:©4(勃=13;③?=15;瑟inC=g.

⑴条件①④能否同时满足,请说明理由；

(2)以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的AABC的面积.

网(1)AABC不能同时满足①④.理由如下：

若AABC同时满足①④则在锐角三角形A8C中,sinC=1<所以0<C<[

DZo

又因为A音，所以g<4+C<],

所以B>5,这与AABC是锐角三角形矛盾，

所以△ABC不能同时满足(D@.

(2)因为^ABC需同时满足三个条件，由(1)知不能同时满足而④，故只可能同时满足①@③氮②③

④若同时满足②③@因为c>a,所以C>A,则则8:这与AABC是锐角三角形矛盾.故AABC

OL

不能同时满足②③④

若同时满足①②⑥，因为a2=b2+c2-2hccosA,所以©/十©Dx*15xg,解得6=8或b=l.

当b=7时cosC=^-^-^-=~<0

HJ'2x7x1326'

所以c为钝角，与题意不符合，

o2।-1o2ii

当b=8时,C==白所以为锐角，满足题意，所以.所以的面积

cosZ7X„oX；U；Zo>0,C6=8AABC

S=1/?csinA=30b.

第九章解三角形

9.2正弦定理与余弦定理的应用

课后篇巩固提升

L如图，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为

50&m,/ACB=45°，/C48=105°后，就可以计算A,8两点间的距离为()

A.100mB.50V3m

C.100V2mD.200m

ggA

I解桐在M8C中4c=50痘m,NAC8=45。,NC4B=105°，即NABC=30°,

由正弦定理得一巧方=-4^7-

sinZJlcBs\n/J\BC

所以备=舒，解得AB=100(m).故选A.

2.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CO的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前

进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为4则

cos0=()

A

A.2V3+1B.2V3-1

C.V3-1D.V3+1

|g丽在AABC中,由正弦定理得BC=%；累(=嘿嚓1=50(n-V2),

1-------1smZ-ACBsin(45-15)

在4BCD中,sinNBDC=BCsi吸一=50空问x学=国-1,又因为cos8=sinNBDC,所以cos

6=75-1.故选c.

3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于CQ两点，已知AAC。为等边三角形，且0c=gkm,当目

标出现在B点（A,B两点位于8两侧）时，测得NC£>B=45°,/8C£>=75°,则炮兵阵地与目标的距离

约为（）

A.l.lkmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km

ggc

I解析

如图所示,NCBQ=180°-ZCDB-ZBCD=180°-45°-75°=60°,

在ABC。中，由正弦定理，得噂=「培「，故BO=2sin75°.在AABO中,NADB=45°+60°=105°,

V3sin/5

~2

由余弦定理，得AB2=AZ）2+B。221c.BOcos105°，所以AB=，5+2V^2.9（km）.

故炮兵阵地与目标的距离为2.9km.故选C.

4.（2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中）如图所示，位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距

40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距

20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东6的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos0等于（）

.北

I壬东

喑

谭

随明在△ABC中48=40,AC=20,NBAC=120°，由余弦定理得BC^^AE^+A^-lABACcos

120°=402+202-2X40X20XCOS1200=2800,所以BC=20夕.由正弦定理得ainZACB=ABsi^BAC=

亨.由N8AC=120°知NACB为锐角，故cos/4cB=苧.故cos8=cos(/ACB+30°)=cos/ACBcos

o•/•o_2V7V3V211_x/21,,、出

3a0A-sinNAACBsin3a0nx-------—x—=•故选DB.

5.如图，从气球4上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,

则河流的宽度是（）

A.240(V3-l)m

B.180(V2-l)m

C.30(V3+l)m

D.120(V3-l)m

ggD

解桐由题意可知/A8C=105°,/8AC=45°,C=30°，所以AC=£=一桨'=120.

------sinesm30

BC_AC尸r_ACs\n^.BAC_120sin450

sinZBAC=sin乙48C'仔'•一siUBC=sinl050

60V2

-=120(V3-l),

sin600cos4504-cos60°sin45

即河流的宽度为120（g-l）m.故选D.

6.如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为/2=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得

仰角为6=60°,a=30°,若山坡高为〃=35,则灯塔的高度是（）

解析|过点B作BE_LDC于点E,过点4作于点F,如图所示,

在"BD中，由正弦定理得缶=亮而,即一［91:(9。0加=

所以AD="等，在Rt^ADF中,DF=ADs\n夕=螭等些,又山高为则灯塔CD的高度是

sin(p-a)sin(p-a)

CP=DF-CF=/lcos7in-a=40XTX^-35=60-35=25.古攵选B.

7.某船在4处看到灯塔S在北偏西40°方向，它向正北方向航行50海里到达B处，看到灯塔S在北偏

西76°方向，则此时船到灯塔S的距离为海里(sin40°=0.6428,sin76°=0.9703,sin

36°=0.5878,结果精确到0.1).

答案|54.7

解画由条件可得/BS4+/8AS=76°,

所以NBSA=76°-40°=36°.

在ASAB中，由正弦定理，得.党°=.一

s\nz.BASsin乙8sA

/Bsin/BAS50sin40°

所以BS二=54.7.

s\nz.BSAsin36°

8.(2020山东济南济钢高级中学高一期中)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，公路北侧

有一座山，山脚C与公路处于同一高度，当汽车行驶到A处时测得山顶。在北偏西45°的方向上，仰

角为火行驶300米后到达B处,测得此山顶D在北偏西15°的方向上，仰角为彼.若夕=45°,则仰角a

的正切值为.

答案］存1

由题意可得N048=45°，/ABC=105°,AB=300米,/CB£>=45°.

在AABC中，可得/AC8=180°-45°-105°=30°,

利用正弦定理可得遥CBAC

sin45=sinl05.

解得C8=300A/I米,AC=150（乃+V2）<.

在RtABCD中，由/CBO=45°可得CC=C8=300鱼米，在Rt"CQ中，可得tana=<=

300/

=V3-1.

150(V6+V2)

9.如图，在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一

个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B间的距离为

10后米，则AN=米，旗杆的高度为米

/旗杆

产尊二1跳/

|观礼台启一八60。

A八

答案|20百30

回明依题意可知NNBA=45°,NBAN=180°-60°-15°=105°,

所以NBN4=180°-45°-105°=30°.

48NA

由正弦定理可知

sin乙BNAsin^NBA'

所以米.

s\n^.BNA

所以在RtAAMN中,MN=ANsin/N4M=2075X苧=30(米)，所以旗杆的高度为30米.

10.如图所示，我国渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站8,某

时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，

上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里州的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分

钟后到达D处，此时观测站测得B,D间的距离为21海里.

⑴求sinNBDC的值;

(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?

陶⑴由已知可得CD=40x1=20,4iABDC中，根据余弦定理求得cos/BCC=嚓票奈=}

所以sin/BDC=竽.

(2)由已知可得/84。=20°+40°=60°,

所以sin/ABQ=sin(N8OC-60°)

_4V31_/1\V3_5V3

在AABD中，由正弦定理可得AD=BDxsir^ABD=空篝祟=匕,所以仁益x60=22.5分钟.即海警

s\nz.BADsmZ.BAD40

船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.

11.(2020江苏高一期末)如图，我方炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设在C,D两处.已知AAC。为

正三角形.当目标出现在点8时，测得BC=1千米,8。=2千米.

(1)若测得求AA8C的面积；

(2)若我方炮火的最远射程为4千米，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？

网(1)在△BCD中,由余弦定理得CDr^B^+Blf^BDBCcosZDBC,

.：CD2=1+4-2=3.

VBLT^CCT+BC1,

.：NBC£>=],

1

・：SAA*ACBCsinZACB

=；xgxlxsing+p

Q)设NCBD=a,/CDB=。,在&BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cosa,

由正弦定理得COsiny?=sina.

在△A3。中，

AB2=BD1+AD2-2BDADcos0+p

=9-4cosa-2AOcos夕+2V^AOsinfi

=9-4cosa-2Ji4Z)2-sin2a+2V3sina

=9-4cosa-2(2-cosa)+2V3sina

=5+4sinQ-j)

D

W9,

当且仅当a=?时,4B取至U最大值3,

:，3<4,.：目标B在我方炮火射程范围内.

第九章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a:b:c=4:3:2,则"黑患二=（）

答案|D

画由题意舞薯=察鬻=盛，因为“:b公4；3；2，设。=433224,由余弦定理可

2sinA-s\nB

得cosC=

sin2c

2.如图，从地面上CQ两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CZ）=100米点C位于

8。上,则山高AB等于（）

A.100米B.5OV5米

C.50（百+1）米D.50Vl米

|解析|设AB=/z,在△A8C中,N4CB=45°,所以BC=h.在4ADB中,=苧,

解得〃=50（g+1）米.故选C

3.（2020黑龙江齐齐哈尔实险中学高一期中）在△ABC中,“2+反+°2=2拉;cosA+2accos仇则AABC一定

是)

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

ggc

解析*'(T+b2+c2=2Z?ccosA+2accosB,

.2,.2,2b2+c2-a2a2+c2-b2

..a+b+c=2bc—2rrb——c+2ac-2-a-c---,

.：(T+b2+c2-b1+c2-cr+a2+c2-&2-2c1,

即/+/=C2,.：AABC一定是直角三角形

故选C.

4.在直角梯形ABC。中/B〃CQ,N45c=90°工B=2BC=2C£>,则cos/D4C=()

°F

gg]c

臃责如下图所示,不妨设BC=CD=\,»]AB=2,过点D作DEJ_AB,垂足为点E.

易知四边形BCZ)E是正方形，则BE=CD=1,

所以AE=A8-BE=1.

在RtMDE中工。=山IE2+DE2=&,在RtAABC中,ACfMB2+B>2=瓜

在"8中,由余弦定理得cosN"Ze-=益亚=母•故选C.

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若戾in2A+夜asin8=0力=或。,则（的值为（）

A.1C.f鸣

ggc

解析因为bsin2A+&〃sinB=0,

所以由正弦定理可得sinBsin2A+V2sinAsin8=0,

即2sin8sinAcosA+V2sinAsinB=0.

由于sinBsinAM,所以cosA=4,因为

0<A<兀，所以A二率又h=y/2c,

由余弦定理可得<72=/?2+c2-2chcosA=2c2+C2+2C2=5C2,

所以£=2.故选C.

6.（2020湖北黄冈麻城实验高级中学高三模拟）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广

泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的儿何学和其他学科仍有深刻的影响.下图是《易经》中记载

的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形

代表八卦田.已知正八边形的边长为10m,阴阳太极图的半径为4m,则每块八卦田的面积约为（）

A.114m2B.57m2

C.54m2D.48m2

ggc

解函如图所示,

设。A=。