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文档简介
关于直线回归法的公式推导主要内容
回归直线法的原理回归直线的公式推导一二第2页,共16页,2024年2月25日,星期天0x业务量(件)y
成本(元)y=a+bx一、直线回归法的原理直线回归发的原理——微积分极值原理第3页,共16页,2024年2月25日,星期天
从散布图法可以看出,我们总能设法找到一条尽可能通过所有坐标点,也就是所有误差最小的惟一直线y=a+bx。设ei为当业务量为xi时,实际值(又称观测值)yi与计算值(a+bxi)的误差,即
ei=yi–(a+bxi)二、直线回归法公式推导第4页,共16页,2024年2月25日,星期天
怎样判断一条直线方程就是我们所要找的所有误差最小的那条直线y=a+bx呢?可以考虑的办法有三:第一,判断所有误差的代数和是否最小。即:Σei=0
但由于误差有正有负,可能相互抵消,会存在无数满足上述条件的直线,因而无法据此作出最终判断。二、直线回归法公式推导第5页,共16页,2024年2月25日,星期天所有误差的代数和是否最小示意图?0x业务量(件)y
成本(元)满足Σei=0的条件满足Σei=0的条件二、直线回归法公式推导第6页,共16页,2024年2月25日,星期天
第二,判断所有误差绝对值的合计是否最小。即:Σ│ei│=0
但上式展开后,涉及到绝对数运算,非常麻烦:
Σ│ei│=±e1±e2±e3±…±en-1±en
因而也无法据此作出判断。二、直线回归法公式推导第7页,共16页,2024年2月25日,星期天
第三,判断所有误差平方和是否最小。即:Σei2=0
这种方法既排除了正负误差的符号问题,又避免了绝对值运算的麻烦。因此,可以根据误差的平方和是否达到最小,来判断直线方程y=a+bx的总误差是否达到最小。此法又称最小二乘法或最小平方法。二、直线回归法公式推导第8页,共16页,2024年2月25日,星期天
根据上述道理,回归直线法就是求能使Σei2=0成立的回归系数a和b的值。因为ei=yi–(a+bxi)
所以Σei2=Σ[yi–(a+bxi)]2
按照微分极值原理,令上式=0,并分别对a和b求偏导数,就可以求出能满足Σei2
达到极小值的a和b。按照此法推导的a,b计算公式,称为
公式法。二、直线回归法公式推导第9页,共16页,2024年2月25日,星期天Σe2=Σ[y
–(a+bx)]2=Σ[y
2–2y
(a+bx)+(a+bx)2]=Σ[y
2–2ay–2bxy+a2+2abx+b2x2]=Σy2–2aΣy–2bΣxy+na2+2abΣx+b2Σx2令:Σy
2–2aΣy–2bΣxy+na2+2abΣx+b2Σx2=0对上式求a的偏导数,得:
–2Σy+2na+2bΣx=0整理得Σy=na+bΣx(1)式1.按公式法推导a,b计算公式的过程第10页,共16页,2024年2月25日,星期天对Σy2–2aΣy–2bΣxy+na2+2abΣx+b2Σx2=0求b的偏导数,得:
–2Σxy+2aΣx+2bΣx2=0整理得
Σxy=aΣx+bΣx2
(2)式解联立方程,即可求出a,b的值。1.按公式法推导a,b计算公式的过程Σy=na+bΣxΣxy=aΣx+bΣx2第11页,共16页,2024年2月25日,星期天2.用行列式求二元一次方程组中a和b的解Σy=na+bΣxΣxy=aΣx+bΣx2因为下列联立方程中,未知数为a和b,Σy,Σxy为已知常数,n,Σx和Σx2分别为a和b的系数,则有常数列
ΣyΣxy用行列式的方法解法如下:第12页,共16页,2024年2月25日,星期天Δ==nΣx2-(Σx)2Δa==ΣyΣx2-ΣxΣxy
nΣxΣxΣx2ΣyΣxyΣxΣx2Δb==nΣxy-ΣxΣynΣxΣyΣxy
nΣx2.用行列式求二元一次方程组中a和b的解第13页,共16页,2024年2月25日,星期天a=ΔaΔb=ΔbΔnΣx2-(Σx)2ΣyΣx2-ΣxΣxy=nΣxy-ΣxΣy=nΣx2-(Σx)2∵Σy=na+bΣx可以同时计算出a和bΣy-bΣxn∴a=必须先计算出b,然后才能计算a2.用行列式求二元一次方程组中a和b的解第14页,共16页,2024年2月25日,星期天
上述联立方程也可以不用求偏导数的方法来建立,可利用一种所谓简捷法来实现。∵y=a+bx∴Σy=Σ(a+bx)=na+bΣx(1)式又∵xy=x(a+bx)=
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