2024届哈尔滨市六中高三数学4月二模考试卷附答案解析

届哈尔滨市六中高三数学4月二模考试卷2024.4全卷满分150分．考试用时120分钟．一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，且，则（

）A． B．C．或 D．2．已知复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．9 B．21 C．39 D．514．2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．116．已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．7．针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可（

）附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．48 B．54 C．60 D．668．如图，P，M，Q，N是抛物线上的四个点（P，M在轴上方，Q，N在轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为和2，且直线PQ与MN相交于点，则（

）A． B． C． D．2二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数的最小正周期为，则（

）A．B．是图象的一个对称中心C．在区间上单调递增D．在区间上的最小值为10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（

）A． B．当时，C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为611．已知函数，下列说法正确的有（

）A．当时，则在上单调递增B．当时，函数有唯一极值点C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有D．若函数有三个零点，则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数.13．设，则.14．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求角的大小;(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点.(1)求证：平面BDM；(2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值.17．已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.(1)证明：和均为定值；(2)设线段的中点为，求的最大值.18．已知函数.(1)求时，在处的切线方程；(2)讨论在上的最值情况；(3)恒成立，求实数的取值范围.19．高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成A，B，C三个小组，分别有15，15，20人.(1)若体检一切正常每组需要二十分钟，若有异常所在组需延长十分钟，每位同学正常的概率为p，求七十分钟内能完成班级检测的概率；(2)若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自A组且B组比C组结束的早的概率；(3)若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求A组同学全部结束所需时间的期望.1．D【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合.【详解】因为，可知，若，则，此时，，不合题意；若，则，此时，，符合题意；综上所述：，，则.故ABC错误，D正确.故选：D.2．B【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：B3．B【分析】根据条件，利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：B.4．A【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决.【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种，又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种，故选：A.5．B【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】易知，则，当且仅当，即时取得等号.故选：B6．B【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，在中，，且，由余弦定理得，设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，在直角中，可得，所以球的表面积为.故选：B.7．A【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解.【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表：男生女生合计喜欢冰雪运动不喜欢冰雪运动合计则，因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以B、C、D正确，A错误.故选：A8．A【分析】设出点的坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式分别求得，再求结果即可.【详解】设，则直线的方程为，联立抛物线方程可得，，则；又直线方程为，联立抛物线方程可得，则，；故，，，；故.故选：A.9．BC【分析】由周期公式可得A错误；由余弦函数的对称中心可得B正确；由余弦函数的递增区间可得C正确；由余弦函数的单调性可得D错误.【详解】A：由最小正周期是，故A错误；B：因为，对称中心，解得，当时，对称中心为，故B正确；C：由余弦函数的递增区间可知，解得，当时，在区间上单调递增，故C正确；D：由C可知，在上单调递增，故最小值为，故D错误；故选：BC.10．ABD【分析】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.【详解】对A，，故A正确；对B，当时，公差，此时，故B正确；对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；对D，当时，，又，故D正确.故选：ABD11．ACD【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.【详解】对于A：当时，，则，令，则，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以在上单调递增，A正确；对于B：当时，，则，令，则，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以在上单调递增，无极值，B错误；对于C：令，得，令，则，令，则，所以在上单调递减，又，所以当时，，单调递增，且，当时，，单调递减，且，若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，则不妨取，当时，，所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），因为，所以，设，则当时，令，得，单调递减，，得，单调递增，所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，所以，令，得，单调递减，，得，单调递增，所以，所以，所以，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.12．-1【分析】由已知等式可得，两边平方后，结合数量积运算，即可求得答案.【详解】由题意知，故，则，即，即，解得或，时，，不合题意，故，故答案为：13．57【分析】分别令和，再根据二项展开式求解即可.【详解】令，则，令，则，故.又，故.故，则.故答案为：5714．【分析】构造数列先计算，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.【详解】由，令，若为奇数，则，若为偶数，则，即奇数项与偶数项分别成以为公差的等差数列，易知，所以，则，若为奇数，则有解，即，由指数函数的单调性可知；若为偶数，则有解，即，由指数函数的单调性可知；综上满足题意.故答案为：【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指数函数的单调性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和，得到，从而求出角；（2）由三角形面积公式和余弦定理得到，从而求出周长.【详解】（1）由已知，得，根据正弦定理，得，即，即，由于，，所以，所以；（2）因为，所以，因为直线为的平分线，所以，所以，则，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍），故的周长为.16．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明；（2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角.【详解】（1）连接AC交BD于，连接MN，因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点，所以在中，有，又平面平面，所以平面；（2）如图，建立空间直角坐标系，设，则，又是AE的中点，故，，因为，所以，解得，设，即，可得，则，又，设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，即，设直线PM与平面AEF所成角为，则所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为.17．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可得出，，根据的面积求得、的值，可得出和的值；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得和的值，进而得出结论；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可直接求得的值；在直线的斜率存在时，求得、关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，所以，，在椭圆上，①，又，②由①②得，，此时，；当直线的斜率存在时，是直线的方程为，将直线的方程代入得，，所以，，，点到直线的距离为，，整理得，即，所以，，综上所述，，结论成立.（2）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，因此；当直线的斜率存在时，由（1）知，，，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.综上所述，的最大值为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.18．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由已知，求出，再求出和，再由点斜式写出方程；（2）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论在上的最值情况；（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出，从而得到的参数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，则，，又当时，所以在处的切线方程为：.（2）由得①当，即时，在上单调递增，函数无最值；②当，即时，由，解得，+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由得，③当，即时，，且时，时，，此时无最值；④当，即时，，且时，时，，所以有最小值，无最大值.综上可知，当时，有最小值，无最大值；当时，无最值.（3）由，，，所以是在处的切线，若，则当，且时所以此时，所以存在x使得，不符合条件；当时，设现证明，得，故在