人教A版高中数学第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难) (四)(有解析)

第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(4)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知函数/(X)=siMx+asinx+3-Q,x6[0,n].

(1)求/(%)的最小值g(a)；

(2)若f(%)在[0,扪上有零点，求。的取值范围.

2.已知函数/(%)=4sin(3%+中)(4>0,口>0,|?|V兀)，在同一周期内，当％=合时，/(无)取得

最大值3；当x兀时，/(%)取得最小值-3.⑴求函数/⑸的解析式；

(2)求函数/(x)的单调递减区间；

(3)若工€[-旌]时，函数九(x)=2/"(X)+1-m有两个零点，求实数，”的取值范围.

3.在大力推进城镇化的旧房改造进程中，小张家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小张准备

将店面改建成超市，遇到如下问题：如图①所示，一条直角走廊宽为2米，小张欲将一根铁棒

4B(铁棒粗细忽略不计，不变形)水平穿过该直角走廊.请结合所学知识帮小张解决如下问题:

(1)若铁棒卡在直角走廊内，且=O<0<p试将铁棒的长AB表示为0的函数f(。)；

(2)设0<8<会利用直角三角形的三边关系(如图②,在Rt△ACB中，“=90°,设“4B=9,

CA—x,CB=y)>求证：1<sin。+cos。W方；

(3)若铁棒AB想要顺利通过该直角走廊，其长度不能超过多少米?

4.已知函数f(x)=sin2x+cosx—a,aeR.(1)当a=0时,

(i)求f(X)在,,兀］上的值域;

(五)证明：/(%)在崂,兀］上只有一个零点；

(2)讨论/(功在［0,兀］上的零点的个数.

5.函数/(制=后也(3+£)(3>0)的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B,C为图象与x

轴的交点，4aBe为等边三角形.将函数“X)的图象上各点的横坐标变为原来的兀倍后，再向右平

移半个单位，得到函数y=g(x)的图象.

(1)求函数g(%)的解析式；

(2)若不等式3siMx-\y/3g(n-2%)-3m|<m+2对任意％6R恒成立，求正实数m的取值范

围.

6.已知函数/(%)=Inx-/ex4-1在区间(0,+8)上的最大值为0.

(1)求攵的值；

(町求函数丫=/(%)与y=1-2sin%的图象的交点个数.

7.如图所示，角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点4Q1，yj,将射线0A按逆

时针方向旋转号后与单位圆交于点8(如、2)，/(a)=x1-x2.

(1)若角a为锐角，求/(a)的取值范围;

(2)比较/(2)与f(3)的大小.

8.设函数/(%)=cos(2x+g)+siMx.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若0<。<:<0<兀，&一多=1,f(字)=0,求cosa的值.

9.已知函数/(普=25访(3%+9-》(0<9<m3>0)为偶函数，且函数y=/(为图象的两相邻

对称轴间的距离为今

(1)求/(弱的值：

(2)求函数y=/(%+£)的对称轴方程；

O

(3)当x6[0,行]时，方程f(x)=zn有两个不同的实根，求m的取值范围。

10.已知函数/(x)=Asin(3x+w)(x6R,A>0,3>0,取<])部分图象如图所示.

(1)求/(X)的最小正周期及解析式；

(2)将函数y=/(x)的图象向右平移，个单位长度得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在区间

7T上的最大值和最小值.

11.已知函数/(%)=2V3sintox・coswx+2cos2a)x+b,(3>0)的最小正周期为兀,最大值为2.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函数g(x)=+/0),0<8<那任意的实数X,有g(X*)=g《一X),求g(x)的

单调递减区间.

12.已知向量五=(sin%cos%),b=(V3cosx,cosx)，/(%)=a-b-1.

(1)求函数f(%)的对称中心；

(2)若xe[-盟，求函数f。)的值域.

13.已知函数/(x)=cos(2x+g)+sin2x.

(I)求函数/(x)的最大值；

(n)44BC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且C为锐角，/(f)=c=V3>a+b=3,

求44BC的面积.

14.若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数矶aeR),使得/(工)()对任意的实数x

成立，则称f(x)是回旋函数，且阶数为〃.

(1)试判断函数〃工)=sium,是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；

(2)已知/(1)sincr是回旋函数，求实数3的值：

(3)若回旋函数/(1)在［0,1］恰有100个零点，求实数3的值.

15.己知函数f(%)=2V3cos2%+2sinxcosx.

(1)求方程f(%)=2百的解集；

(2)若关于x的方程f(x)=加在仁朗上恒有解，求加的取值范围;

(3)若不等式f(x)<m在［0可上恒成立，求m的取值范围.

16.如图，已知OPQ是半径为1,圆心角为5的扇形，点A在弧PQ上(异于点P,Q),过点A做

OP.AC10Q,垂足分别为8,C,记乙408=0,四边形4cOB的周长为/.

(1)求/关于。的函数关系式;

(2)当。为何值时，/有最大值，并求出/的最大值.

17.如图为函数/'(x)=4sin(3X+<p')(^A>0,a)>0,\<p\<§的一个周期内的图象.

(1)求函数f。)的解析式；

(2)求函数f(x)在xe的值域.

18.设函数/'(X)=C0S(3Y+9),(3>0,-1<0<0)的最小正周期为7T,且/传)=1.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)求函数/(X)的单调递增区间；

(3)将函数y=f(x)的图象向左平移g个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在［-巳冷］上的值域.

19.已知五=(sinx,cosx),B=(V5sinx,—sinx)，函数/'(%)=五•5

(1)求/(x)的递增区间；

(2)若关于x的方程/(%)=t在区间［0,月内有两个不相等的实数解，求实数f的取值范围.

20.对于函数y=f(x),若函数/。)=/(%+1)-/。)是增函数，则称函数丫=/(乃为“M函数”。

(1)判断/(x)=%2+2,是否为函数”；

(2)判断命题“减函数一定不是“例函数””是否为命题，并说明理由。

(3)若函数/。)=々/+/(%20)是“M函数”，求实数4的取值范围，并讨论此时函数g(x)=

f(sinx)-sinx在区间［0,兀］上零点的个数。

21.已知函数/(x)=sin(a)x+<p)(3>0,0<0<n)的图像相邻对称轴之间的距离是看若将/'(x)的

图像向右移，个单位，所得函数g(x)为奇函数.

(1)求/Q)的解析式；

(2)若函数h(%)=/(x)-|的零点为殉，求cos《一2xo)；

(3)若对任意x€［。,外，f2(x)-f(x)-a=0有解，求。的取值范围.

22.已知函数/(%)=(sinx+cosx)2+2cos2x—1.

(1)求函数/(%)的递增区间；

(2)当时,求函数/(%)的值域.

23.已知函数/(x)=4sin2(x+》—2^cos2x-l,条件p：<x<7.

444

(1)求/(%)在条件P下的最大值和最小值;

(2)若条件q:|/(无)-V2,且〃是q的充分条件，求实数机的取值范围.

l-tanx

24.已知函数f(x)=ln

1+tanx

(1)判断函数/(X)的奇偶性，并证明;

(2)若不等式“(x)+atanx20恒成立，试求实数〃的取值范围.(其中e为自然

对数的底数)

25.已知函数/(x)=2sin(a)x+w的图象关于原点对称，且/(x)图象的相邻两对称轴间的距离

为今

(1)将函数的图象向右平移?个单位长度，再把横坐标缩小为原来的*纵坐标变)，得到函数

y=g(x)的图象，当时，求函数g(x)的值域.

(2)对于第(1)问中的函数g(x),记方程g(x)=拄£Gg,等]上的根从小到依次为

%1，%2,…，％n，试确定〃的值，并求%1+2冷+2%3+…+2%n-l+%n的值•

26.已知函数/(%)=Asin(a)%+@)(其中A>0,>0,\(p\<》的图象与x轴的交于A,B两点，A,

8两点的最小距离为今且该函数的图象上的一个最高点的坐标为仁,2).

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)求证：存在大于E的正实数使得不等式需>2值在区间(而,泥)有解.

27.已知函数/(x)=/in(2x+w)_1(|勿<》且.0=/

(1)求@的值；

(2)若函数y=/(%)-m在xe[O,1上存在零点，求实数m的取值范围;

⑶设g(x)=2sin2x+44sinx,若对任意的与6[o,皆，总存在小e[o,,，使得f®)>5(^2)成

立，求实数4的取值范围.

2

28.函数f(x)=/+1％_+i,g(%)—4sin%+4>/3sinxcosx+5

(1)讨论/(%)单调区间；

(2)对三与€[0，],Vx2G[0,^],有，Qi)Wg(X2),求实数a的取值范围

29.已知函数y=/(%)=2sinMc,其中常数3>0.

(1)当y=/⑶在［一不争上是严格增函数，求3的取值范围;

(2)当3=2,将函数y=f(x)的图像向左平移?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(%)

的图像，区间［a,b］(a、bWR,且a<b)满足：y=g(x)在［a,b］上至少含有30个零点，在所有

满足上述条件的［a,0中，求b-a的最小值.

30.己知函数〃/)=小iu(5+⑼(4>().”•>0,|5<多的部分图象如图所示.

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)将函数“v/3sin2T-•的图象做怎样的平移变换可以得到函数f(x)的图象;

(3)若方程“X)=加囱-(0］上有两个不相等的实数根，求m的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：解：(1),・•函数/(x)=sin?%+asinx+3-Q

=(sinx+-)2-亍+3-Q,

•・•XE[0,扪，

・•・sinxe[0,1],

当一|<0,即Q>0时，则si几冗=0时，f(%)取得最小值g(a)=3-a；

当。<1,即—2<a<0时,则sinx=-]时'f(%)取得最小值g(a)=—亍+3—a；

当一即Q<-2时，则sinx=1时，/(%)取得最小值g(Q)=4,

3—a,a>0

—亍+3—a,-2<a<0.

{4,CLV—2

(2),:xe[0,TT],

・•・sinxe[0,1],

由f(%)=°，可得siM%+3=(1—sinx)-a,

令t=sinxE[0,1],则a(l—t)=t24-3,

当t=l时，等式显然不成立，故CHI,

则a=匕士

1-t

令m=1—3则THe(0,1],

lilil(l-m)2+3.4

则a=-------=m4-----2Q,

mm

由函数的单调性易得在(0,1]上，a随m的增大而减小，

：■a>3.

解析：本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，

属于中档题.

(1)利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得/(%)的最小值g(a)；

(2)先通过换元将原问题转化为a=7n+事-2,mG(0,1],利用函数的单调性即可求得“的取值范

围.

2.答案：解：(1)由题意可得4=3,周期「=2借一套)=算

・•・3=2,

由2x工+尹=2忆兀+],kWZ,以及IRIVTT,可得"=%

故函数f(x)=3s讥(2%+》；

(2)由2/OT+；W2.x+^<2kn+k€Z,求得/ot+^<x<kn+工，k€Z,

故函数的减区间为际+卷,而+净，kez；

(3)•,•%6]—?即寸，函数九⑺=2/(%)+1-小有两个零点，

故sin(2x+9=修有2个实数根，

J6

即函数y=sin(2x+g)的图象和直线y=喂有2个交点，

3O

再由2x+ge结合函数丫=sin(2x+$的图象可得詈e[f,1)，

解得me[3V3+1,7).

即实数m的取值范围是[3百4-1,7).

解析：本题考查函数y=Zsin(3x+0)的图象与性质及函数零点与方程根的关系，属于中档题.

⑴由题意可得A=3,根据周期T=2借—自=》求得3=2,由2x盘+3=2而+5kEZ,

以及-兀<9<TT,可得0的值，从而求得函数的解析式；

⑵由2"+牌2芯+牌2/£兀+拳kEZ,求得x的范围，即可求得函数的减区间；

(3)函数y=sin(2x+勺的图象和直线y=噌有2个交点，再由2x+标[一巳争，旷=sin(2x+勺的

•Jo3335

图象可得詈G[当,1),由此求得实数m的取值范围.

3.答案：(1)解：DM=黑=供,DN=2,尸"=黑=心，

、,sin0sm0cosdtan0tan8

FN=BEtand=tan。.

4c--,CM.2.214八2(sin0+cos^)-l

AB=EF=DM+DN—MF-EN=H---------------tan。=------——-——，

s\n6cosdtan。sinJcos。

/(6)=3吁厘-1(0<7)

八)sinScosB'2,

(2)证明：在单位圆中作出锐角。的正弦线、余弦线，使得sin8=MP,cos。=0M,

在AOMP中，OM+MP>OP=1,即sin6+cos8>1,

且0<sin6=MP<1,0<cos0=OM<1.

由1=sin20+cos20>2sin0cos。得2sin9cos641,

当且仅当sin。=cos。=立取得等号.

2

(sin0+cos0)2=sin20+cos20+2sin9cos641+2sin0cos8=2,

且sin。+cos©>0,故有sin。+cos0<\[2.

综上有当0<6V]时，1vsin。4-cos0<V2.

(3)解：“铁棒要想顺利通过直角走廊”即对任意角0V6V标铁棒的长度不能超过/(。)的最小值;

记sin。+cos0=t,1<t<V2,有sinJcos。=

则=冬吟,==渭(1<t<或).

'、'sinScos。t2-l、'

记4t—2=m,2V?n=4t—2£4或一2,则t=~，

函数/(。)=y=m3：112=湛工在⑵-笈2］上单调递减;

m

当m=4或一2时，y取得最小值4/一2.

故其长度不能超过4声-2.

解析：本题考查三角函数解决实际问题，属于较难题，考查学生分析问题，解决问题的能力.

(1)根据三角函数性质可分别表示。M,DN,MF,EN,然后即可表示出A8的长；

(2)利用三角函数线和基本不等式，即可证明1<sin。+cosd<V2;

(3)令sinO+cos。=t，可将f(9)转换为若|,然后再令4t-2=m,f(。)=丫=悬/=；^岂;

11m

根据单调性即可求出y的最小值，即铁棒的最大长度.

4.答案：(1)解：当.,兀］时,令t=cosx,则£6［-1,0］,令g(t)=-12+t+1-a,

因为函数y=g(t)在上单调递增，

所以当t=-l时，g(t)取得最小值一l-a；当t=0时，g(t)取得最大值l-a.

(团)若a=0,f(x)的值域为［-1,1］.

(回)证明：因为函数y=g(t)在［-1,0］上连续，且g(—l)<0,g(0)>0,

所以函数y=g(t)在(一1,0)上有零点.

因为函数y=g(t)在［—1,0］上单调递增，

所以函数y=g(t)在(一1,0)上只有一个零点t°，且％G(-1,0).

因为函数t=cosx在上单调递减，且%G(-1,0),

所以存在唯一%0C［；，斗使得to=COS&,

函数/(x)在崂,兀］上只有一个零点.

(2)解：当x6［0,兀］时，令t=cosx,则t6［-1,1］,令g(t)=-严+t+1-a,

因为函数y=g(t)在卜词上单调递增，在原1］上单调递减，

又g(—l)=-1-a，g(l)=1-a

所以当t=-l时，g(t)取得最小值一l—a；当t=：时，9«)取得最大值：一心

由(1)得，/'(X)的值域为卜l—-

①当Q>3或Q<-1时，函数y=g(£)在［-1,1］上无零点,

所以函数/'(x)在［0,兀］上无零点.

②当a=：时，当且仅当t=：时g(£)=0,函数/'(x)在［0,乃］上有一个零点.

同理，当。=一1时，函数f(x)在［0,兀］上有一个零点.

③当一1<a<1时，同(团)可证函数/。)在［0,兀］上有一个零点.

④当1<a<：时，同(团)可证函数/(x)在［0,兀］上有两个零点.

综上，当a>：或。<一1时，所以函数f(x)在［0,用上无零点；

当一1<a<1或a=：时,函数/(x)在［0,兀］上有一个零点；

当l<a<：时，函数在［0,兀］上有两个零点.

解析：本题考查二次函数、函数的零点与方程根的关系以及三角函数的值域，属于难题；

⑴当玲兀］时，令t=cosx,则令g(t)=-t2+t+1—a,

(回)若a=Of(x)的值域为［-1,1］.

(团)因为函数y=g(t)在上连续,且g(-l)<0,g(0)>0,函数y=g⑷在(一1,0)上有零点,且

在上单调递增，即数/⑸在再，兀］上只有一个零点.

(2)当％£［0,兀］时，令£=以)5%,则令g(t)=-/+1+1一可得/"(%)的值域为

分当a>：或aV-1时，、当Q=：时，。=一1时，当一1VQV1时，1WQ<：时，几种情况讨论即可

求解;

5.答案：解(1)点A的纵坐标为遮，ZL4BC为等边三角形，所以三角形边长为2,

所以丁=詈=4，解得3=］，所以/(X)=V5sin6工+§,

将函数/(%)的图象上各点的横坐标变为原来的几倍后，得到九(x)=V3sin(i%+^),

再向右平移半个单位，得到g(%)=V3sin|x：

(2)g(7r—2%)=V3sin一%)=V3cosx,

原不等式等价于3cos2%+3|cosx-m|4-m-1>0在％eR恒成立.

令cos%=3tE[—1,1],

即3t24-3|t—m|4-m—1>0在tG[—1,1]上恒成立.

1=巴-3t+4m-1,"叫

设h(t)=3t24-3|t—m|4-m—

(3t2+3t—2m—l,t>m

对于tG时,

当0<mV：时，g(。在［一1,巾］上单调递减，在［m,1］上单调递增,

则/i(?n)=3m2+m—1>0--——<m<1»

6

当加对时，g(t)在[-10上单调递减,在/1]上单调递增,

则”(：)=3(；)2—3X：+4m—1>0,解得771N—J***

222162

综上，正实数，”的取值范围为［①空,+8).

6

解析：本题考查三角函数的图象与性质、三角函数的平移和伸缩变换以及二次函数中的动轴定区间

求最值问题，涉及分类讨论、换元法等思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

(1)结合图象求出函数的周期T,利用3=与求得3,从而确定函数/(X)的解析式，再结合三角函数

的伸缩和平移变换即可得到函数g(x)的解析式；

(2)原不等式等价于3cos2%+3|cosx—ml+m—l>0在％GR恒成立.令cosx=t,t£［—14］,

即3t2+3|t—m|+m—1>0在t6[—1,1]上恒成立,设/i(t)=3t2+3|t—m|+m—1,这是一个开

口向上的二次函数，然后分类讨论求函数h(t)的最小值，可得〃?的范围即可.

6.答案：解：(1)因为函数f(x)=lnx-kx+l,其定义域为(0,+8),

对其求导，得到/'(X)=：—k=手由题意对实数4进行分类讨论：

①当k40时，/''(>)>0在x6(0,+8)上恒成立，即得函数/(x)在其定义域上单调递增，故/"(x)无

最大值；

②当k>0时，令/'(x)>0得到xe(0,£),令/'(x)<0得到xe6,+8),于是可知/(无)在区间(0,J

上单调递增，在区间+8)上单调递减，即得函数f(x)在x=〃处取得极大值也是最大值，为

/Wmax=/Q)=lni=0,即得k=L

(2)由(1)知f(%)=Inx-x+1,设/(%)=/(%)+2sinx-l=lnx-x+2sinx,则其定义域为

(0,+oo),

对其求导，得g(x)=F'(x)=：—1+2cosx,

①当工€(0,7T)时，由g'(%)=〃(x)=-专一2sinx<0可知函数g(%)在区间(0,TT)上单调递减，

又因为='：—1+1=:>(),g(；)=二一1=〜一工VU，

所以函数g(x)在区间(0.7T)上有唯一零点，不妨设为a,则($[),

于是当工£(O.c)时，g'(x)=F'(x)>0,当工€(0,次)时，g'(x)-F'(x)<0,即得函数F(x)在区间

(II.n)上单调递增，在区间(n,7T)上单调递减，

所以F(x)在区间(0.7T)上存在唯一极大值点<n<I),所以

F(a)>F6)=呜->2>2-^>(),

又因为0<-；<；j<n,F(专)=-2—妥+2sinj<-2—+2<0,

所以函数F(x)在区间(0,a)上恰有一个零点，

注意到F(7T)In7T—7T<2-7T<0,

所以F(x)在区间(a.7T)上也恰有一个零点.

②当工€[7.27)时，有sinx<0,F(x)<Inx-%,

由(1)知函数九(%)=Inx-%在h,2TT)上单调递减，

所以MMwh(n)<(),

即得F(j)Wh(T)W/z(7T)V0在4€[TT.2:r)上恒成立，

所以FQ)在区间汀.2TT)上没有零点.

③当上€[2TT,-Foe)时，F(%)<Inx—%+2,

设(p(x)=In%—%4-2,对其求导，有d(x)=：-1=—,

因为40)V0在区间2r,+x)上恒成立，所以函数？(%)在2T+X)上单调递减，所以

,(N)W,(2?r)=ln(27r)—27r4-2<hic2—2?r4-2=4-2?r<0,

所以当了€”:•\)时，F\■।Ji二2二1<()恒成立，

所以函数F(x)在区间'2不+x)上没有零点.

综上，函数FQ)在其定义域(0,+8)范围内有且仅有两个零点，

故函数y=/(%)与y=1-2sinx的图象的交点个数有两个.

解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性、正弦、余弦函数的图

象与性质以及函数的零点与方程根的关系，属于难题.

(1)由题意，对函数/(%)求导，讨论实数攵的取值范围，进而得到其由左表示的最大值，结合题意可

求出攵值；

(2)构造函数F(x)=/(x)+2sinx-l=lnx-x+2sinx,将原题转化为F(x)的零点个数问题，利用

导函数研究函数的单调性与极值，并结合正弦函数图形在F(x)定义域(0,+8)内对X进行分类讨论,

注意利用特殊函数值的正负性，可得到函数/G)的零点个数，即得函数y=f(x)与y=l-2sinx的

图象的交点个数.

7.答案：解：(1)因为乙4。8=等,

由三角函数的定义可得=cosa,x2=cos(a+

27r271271

/(a)=x-x=cosa—cos(a+—)=cosa-cosacos—+sinasin—

t233

=|cosa+Ys讥a=V3sin(a+》

・・,角a为锐角,

•••I<sin(a+§<1,

,■<y<V3sin(a+^)<V3>

即/(①的范围是弓，何，

(2)---/(2)=V3sin(2+g),/(3)=V3sin(3+；),

-<2+-<3+-<-,

2332

函数y=sinx在G，：)上是减函数，

解析：此题主要考查任意角的三角函数的定义，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题.

(1)由三角函数的定义可得与=cosa,x2=cos(a+算化简/(a)为V5sin(a+$,根据?<a<

萼，利用正弦函数的定义域和值域求得/(a)的范围；

O

(2)根据/(2)=V3sin(2+^),/(3)=gsin(3+金，函数y=s讥x在(]：)上是减函数，从而得出结

论.

8.答案：解：(1)因为/(%)=cos(2x+》+sin2x,

所以/(x)=cos2xcos--sin2xsin-+|一“""=-——sin2x.

7v733222

当—~+2/CTTW2x<—+2/c7r(/cGZ),即x€[——+kjr,—+fczr](/cGZ)时，

函数y=sin2x单调递增，函数/(x)单调递减，

所以函数f(x)的单调递减区间为[一?+卜兀W+4扪(卜6Z).

(2)因为燃心)=1,/(—)=0,

所以：—乎8S0=1，且:—^sin(a+6)=0,

解得cos/?=—/,sin(a+/?)=/,

因为0＜。＜；"兀，则a+SW(f)，

所以sin£=J1-cos2s=Jl—j=圣

cos(a+£)=_sin2(a+£)=-J1-1=-y,

所以cosa=cos[(a+/?)—/?]

=cos(a+0)cosB+sin(a+j?)sin/?

V6V3V3V6

-TX(-T)+TXT

2V2

解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，以及利用三角函数

的性质是解决本题的关键.

（1）利用两角和差的公式化简，结合单调递增的性质进行求解即可.

（2）由条件求出cos/?=-『，sin（a+夕）=?，根据角的范围得出sin0和cos（a+口），结合cosa=

cos［（a+/?）-/?］代入求解即可.

9.答案：解：（1）/（乃=25出3%+0-»因为/（乃是偶函数，则0-*=］+km：k6Z）,

所以<p=Y+kn（kEZ）,

又因为0<3<兀，所以W=g，

所以/(无)=2sin(a)x+1)=2cosa)x.

由题意得生=2x3所以3=2.

0)2

故f(%)=2cos2x.

因此=2cos：=V2.

(2)y=/(x+3)=2cos(2x+g),

OD

所以2x+J=k7T,kez,B|Jx=—--,fcez,

326

所以函数y=/(%+勺的对称轴方程为x="一,kez

626

⑶函数y=f(x)在［0苧上单调递减，在碍，与上单调递增，

/(0)=2,/弓)=一2,/(g)=-V3,f(x)=m有两个不同的实根,

就是函数y=/(尤)与y=m有两个不同的交点，

所以—2<m4—收,

故m的取值范围为—2<m<—y/3.

解析：(1)由题意先明确函数/(x)的表达式，进而得到/吟)的值；

(2)令2x+g=eZ,从而得到函数y=f(x+弓)的对称轴方程；

(3)方程f(x)=m有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点.

10.答案：解：(1)由题图可得4=1,；=§—工=%7=兀所以3=2.

当％=§时，/(%)=-L可得sin(2.4+乎)=一1.

因为IWI<M所以8=3

所以/(%)的解析式为/(%)=sin(2x+^).

(2)由(1)知f(x)=sin(2x+/).将函数y=/(x)的图象向右平移看个单位长度得到

y=sin[2(xY)+g=sin(2x_》的图象，所以g(x)=sin⑵一匀，因为0Wx转.

所以一三2%-三整.

o66

当2x-'=a即％=押，g(x)有最大值，最大值为1.

当2》*=一也即x=0时，g(x)有最小值，最小值为三.

解析：本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题.

(1)由题图可得A值，再由周期性可得3,代入x=与可得9值，可得函数解析式；

(2)由⑴和三角函数图像变换可得g(x)=sin(2x-匀，由0<xW;和三角函数的最值可得答案.

11.答案：解：(1)V/(%)=y/3sin2a)x+cos2a)x+1+b

V31

=2(—sin2a)%4--cos2a)%)+1+b

=2sin(2a)x+$+1+b

由题：最大值为则力=-最小正周期为善则3=

3+b=2,1,26)=TT,1,・,・/(')=2sin(2%+56

(2)g(z)=/(Z+J+⑼=2sin(2x+开+2/+-2.sm(2x+2/+1)

266

•・,g—=g—即gQ)是偶函数

・・・28+m=3(2k+l),.・.乎=£+如(且0<0<£)

62624

:.k=0,(p=/.g(0—2$加(2/+；)=-2cos2r

令2尢G[—71+2kn,2kn],则x€[―]+kn,kn],kEZ

所以，g(x)的减区间为［一三+E^+k兀］,kez

解析：本题考查函数y=4sin(3x+/)的函数图象和性质，余弦函数的图象和性质。

(1)利用辅助角公式将化为/(x)=2sin(2OJX++l+b,由题：最大值为3+6=2,则b=-1,

最小正周期为乌=兀，则3=1,即可求出函数解析式；

2a)

(2)g(x)=/(x+1+<p)=-2sin(2x+2卬+》又。"-力=g©-%),即g(x)是偶函数，求出2租+

步式2k+l),求出k=04屋，即可得到g")h2s21，根据余弦函数的性质即可得g(x)的单

调递减区间.

12.答案:解：(l)f(z)=fi?-V--=x/3siiucoeir+cow2x-------sin2j：4--cos2x=sin("+沙

2999

由2工+)—ksz得工=W+^kez,

；・函数/'(%)的对称中心为(-卷+.k€Z,

⑵•••山-号.

7T7T27r

・・・21+6€lf-TT

函数的值域为［-半,i］.

解析：本题考查数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦函数的对称中心,

以及正弦函数的值域，属于一般题.

(1)进行数量积的坐标运算，并化简即可求得f(x)=sin(2x+》，进而求出f(x)的对称中心；

(2)根据x的范围便可求出2x+看的范围，根据f(x)的解析式即可求出fQ)的值域.

13.答案：解：(1)由题意知，

f(x)=co«(2jr+J+siirx

•J

~开.7T1-CO«2X

=COKZTCOK—siiursinH----------

332

VO.1

=-------sm2«r+-，

22

・・・函数/(%)的最大值为当+:

(2),,,/(—I4--=—।，即sinC=,

'J2'2242

因为。€(().：),所以。=全

因为c=百，a+b=3,由余弦定理*=标+非一2abcosC,

即3=a24-h2—ab=(a+b)2—3ab=9—3ab,

可得：ab=2,

***△4BC的面积为S堤BC=x2x•

解析：本题考查三角恒等变换，三角函数的最值，以及余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中

档题.

(1)由降基公式、两角和差的三角函数公式化筒得/(工),一空疝吃工+；，得最值；

(2)代入求得C=p由余弦定理变形为3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=9-3ab,

可得：ab=2,代入面积公式求解即可.

14.答案s解：(1)丁/(x+1)+/(工)=sinir(x+1)4-SUMTX=-sin:rx+anirx=0,

・•・函数f(x)=sirnix是一个阶数为1的回旋函数；

(2)设/(%)=sins:是a阶回旋函数，则sina)(x+a)+asincox=0,

若3=0,上式对任意实数x均成立；

若3H0,sincD(x+a)=—asina)x,

由三角函数的值域可知a=±1,

当a=1时，对任意实数x有sin3(x+1)=-sintox=sin(a)x+兀)；

则3%+3=3%+7T+2/C7T,fcGZ,

所以3=(2k+1)TT,k€Z,

当a=—1时，对任意实数x有sinco(x-1)=sineox；

则3%—to=cox4-2kji,fc6Z,所以3=-2kn,kGZ.

综上所述：a)=mntmEZ.

(3)v/(%+a)+a/(x)=sino)(x+a)—1+asincox—a=0对任意的x都成立,

由(2)可知a=—1,a)=2mn,mGN*,

f(x)=sin2m7rx—1.

令/(%)=0，解得％=2+3(攵6N).

•••函数fO)在[0,1]恰有100个零点，.•e+翁＜1＜高+黑，•••等4m＜哈

又：m6N*,m=100,:.co=200TT.

解析：本题函数的创新问题，考查三角函数的图像与性质，是中档题.

(1)根据“回旋函数”的定义，只需得出/(x+1)+/(%)=0,即可得解；

(2)f(x)=sinax是a阶回旋函数，则sintoQr+a)+asinwx=0恒成立，由三角函数的值域可知a=±1,

即可得结果；

(3)根据“回旋函数”的定义可得，/(x)=sin2m7T%-l,即可得结果.

15.答案：解：/(x)=2＞/3COS2X+2sinxcosx=V3(l+cos2x)+sin2x=2sin(2x+$+V3,

(1)v/(x)=2g,

.1,sin(2x+-)=—,21+-2上万+；或2工+1-=2A-TT4二;，kEZ,

・・.x=krr+三或％=kn,kEZ,

6

・•・方程/'(x)=2百的解集为｛x|x=kn+翔X=kn,keZ);

(2)当乂魄图时,2x+ge仔，争，

**•sin(2%4-j)G[-L争,

因此/•(%)e[-2+y/3,2V3])

因为关于x的方程/(x)=m在长弓上恒有解,

所以机的取值范围为[-2+V3,2V3];

(3)当xe[o图时,2x+；6呢第,

sin(2x+巳)6[-苧,1]'

因此〃X)max=2+g，

因为不等式f(x)<m在[o图上恒成立,

所以/(x)max<m

m>2+y/3.

解析：本题考查函数三角函数的恒等变形、函数y=4sin(3x+w)的图象和性质，三角函数的定义

域和值域以及不等式恒成立问题，属于较难题.

(1)根据二倍角公式变形为正弦形式，由/(久)=2次，得sin(2x+g)=^,利用正弦函数的性质解关

于x的方程即可；

(2)求出当xG邑与时的值域，从而求得m的范围；

(3)先求xe[o图时的值域，得f(x)最大值，然后根据不等式恒成立可得，f(x)max<m,从而求得

机的取值范围.

16.答案：解：(1)根据已知可得1=s讥。+cos。+sin(；-。)+cos(g-。)，

。€储)，

n7T

(2)Z=sind+cosO+sin(——。)+cos(——0)

V311V3

=sinB+cos0+—cosd--sind4--cos0+—sind

2222

(V3+l)sm0(3+遍)cos。

=2+2

=(v/S+1)

=(V3+l)sin(8+；),

因为9E(0(),

当且仅当。=$即。=*时，/取得最大值遮+1.

解析：本题考查三角函数的应用，建立等量关系是解题的关键.

(1)根据已知可得/=Sind+cose+sin©—。)+cos©-。)，6e(0,1)；

(2)利用两角和差公式即辅助角公式化简]=(百+i)sin(e+g,ee(o,|),则当且仅当。+g=a

即。=5时，/取得最大值次+1.

O

17.答案：解：(1)由函数/。)=45讥(3%+枢)(4>0,3>0,|9|<9的图象可知，

函数/Q)的最大值为2,则4=2；

最小正周期T=7—(—1)=8,

,9TT,*7F

则。8,解得3：；

U；4

又函数f(x)的图象过点(1,2),

则2sin(；+w)=2,

所以,++2kTT,kGZ,

则9=1+2A,7T.k€Z,

又取<3所以炉=:,

/(1)=2sin(%+；

(2)由(1)可得/(工)：2siu(；_r+；),

xG[-1,2],则+。，手，

所以sin(:工+：)€[0.1],

函数/Q)在xe[-1,2]的值域为[0,2].

解析：本题主要考查函数f(x)=As讥(3%+尹)的图象与性质，考查三角函数的值域，属于基础题.

(1)由函数f(x)的图象可知函数f(x)的最大值、最小正周期及过点(1,2),可求出A、3及0的值，得

出函数/(x)的解析式；

(2)由(1)可得/(工)：2sin(；z+；),根据函数/(x)的定义域可得:”.与，结合正弦函

数的图象与性质，可求出函数/Xx)在xG［—1,2］的值域.

18.答案：解：(1)由题意，函数/(X)=COS(3X+0)的最小正周期为兀，

所以詈=兀，可得3=2,所以/(x)=cos(2x+w),

又由/'(')=1,可得/(£)=cos(2X£+B)=cosG+0)=1,

OOOD

可得g+0=2/OT,k6Z,即9=2k7T-g,/ceZ,

因为一］<9<0，所以W=-g,

所以函数/(x)的解析式为/(x)=cos(2x-》；

(2)由(1)知/(x)=cos(2x-^),

令2kn-7T<2x-<2kn,kGZ,

解得/ot-g《x《kn+%k6Z,

3o

所以函数f(x)=COS(2%-勺的单调递增区间为因r-3，k兀+勺,kez；

(3)将函数y=f(x)的图象向左平移g个单位长度，

得到函数y=cos［2(x+g)-§=cos(2x+g),

再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数y=g(x)=cos(x+g),

因为工J—,争，可得％+］用,

o33b

所以一1<g(x)<*

所以函数g(x)的值域为[-1号.

解析：本题考查了三角函数的定义域与值域，三角函数图象的平移与图象变换，三角函数的图象与

性质，属于中档题.

(1)由已知三角函数的周期，可得3=2,又由/⑨=1,可得卬=-p即可求出函数〃x)的解析式；

(2)由(1)知/(x)=cos(2x-^),令2kn-n42x-^<2kn,keZ,即可求出函数f(x)的单调递增

区间；

⑶由已知三角函数图象的平移与图象变换，可得g(x)=cos(x+》利用争，即可求出

函数g(X)的值域.

19.答案：解：⑴/⑺=7T.了=—siiLrcoesz=—sin(2r+；i♦,

由ysiiiJ,的单减区间为[2/CTT+—,2/CTT+—](fc6z)，:'2/CTT+鼻(2x+]<2/CTT+—>kEz,

Ak7r4--<%<fczr+—,k6z,

/(%)的递增区间为左7+却"颗e)

(2)因为方程/(x)=t在区间[0,刍内有两个不相等的实数解，

即y=/(x)的图象与y=t的图象在区间⑼乡内有两个不同的交点，

如图所示，立

2

・•.t的取值范围是(当一1,0],