2019年北京市中考数学试卷（解析版）

2019年北京市中考数学试卷

一、选择题（本题共16分,每小题2分）

1.（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的

第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的

运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）

A.0.439X106B.4.39X106C.4.39X105D.439X103

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为oX10"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39X105.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中lW|a|＜10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

8、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分折叠后可重合.

3.（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.720°D.1440°

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】根据多边的外角和定理进行选择.

【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360。，

所以正十边形的外角和等于360°

故选：B.

【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度.

4.（2分）（2019•北京）在数轴上，点A,8在原点。的两侧，分别表示数。，2,将点A

向右平移1个单位长度，得到点C,若CO=BO,则a的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.1

【考点】13：数轴.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据C0=80可得点C表示的数为-2,据此可得。=-2-1=-3.

【解答】解：：点C在原点的左侧，且CO=B。，

；.点C表示的数为-2,

••u~~12-1=-3.

故选：A.

【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.

5.（2分）（2019•北京）已知锐角/AOB,如图，

（1）在射线OA上取一点C,以点0为圆心，OC长为半径作而，交射线OB于点D,

连接8;

（2）分别以点C,。为圆心，长为半径作弧，交育于点N；

（3）连接。MN.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

M

C

oB

Vy

Q

A.ZCOM=ZCODB.若OM=MN.则/AO8=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；N3：作图一复杂作

图.

【专题】13：作图题.

【分析】由作图知。知=8=£^,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【解答】解：由作图知CM=CD=DN,

：.ZCOM=ZCOD,故A选项正确；

；OM=ON=MN,

...△OMN是等边三角形，

/.ZMON=60°,

,:CM=CD=DN,

；.NMOA=NAOB=NBON=L/MON=20°,故B选项正确;

3

VZMOA=ZAOB=ZBON=2Q°,

：.ZOCD^ZOCM^SO°,

/.ZMCD=160°,

又/CMN=L/AON=20。,

2

ZMCD+ZCMN=1800,

设ZAOB=ZBON=a,

则/OCD=/OCM=驳——，

2

?.ZMCZ)=180°-a,

又；NCMN=L/0CN=a,

2

ZMCD+ZCMN^180°,

：.MN//CD,故C选项正确；

\'MC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

：.3CD>MN,故。选项错误；

故选：D.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等

知识点.

6.(2分)(2019•北京)如果加+〃=1,那么代数式(2^n+1)»(/772-«2)的值为()

m-mnro

A.-3B.-1C.1D.3

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把己知等式代入计算即可求出值.

1rl

【解答】解：原式=2吗n+m「.(/”+〃)(m-n)=—,，,，(〃计〃)(m-n)=3(m+zi),

m(m-n)m(m-n)

当机+〃=1时，原式=3.

故选：D.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.(2分)(2019•北京)用三个不等式a>6,ab>0,中的两个不等式作为题设，余

ab

下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【考点】01：命题与定理.

【专题】52：方程与不等式.

【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可.

【解答】解：①若。＞6,ab＞0,则工＜工，真命题；

ab

②若乃＞0,上＜工，则a＞6,真命题；

ab

③若L＜L,则仍＞0,真命题；

ab

•••组成真命题的个数为3个；

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义;

熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键.

8.（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收

集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的

一部分

时间t0W/V10100<2020W/V3030W/V40。40

人数

学生类型

性别男73125304

女82926328

学段初中25364411

高中

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20〜30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

所有合理推断的序号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W1：算术平均数；W4：

中位数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中

趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个

数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，

则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5X97+25.5X103）

4-200=25.015,一定在24.5-25.5之间,正确；

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间，正确；

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20〜30之间，正确；

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20〜30之间，错误.

故选：C.

【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）（2019•北京）分式工二L的值为0,则x的值是1.

x

【考点】63：分式的值为零的条件.

【专题】11：计算题.

【分析】根据分式的值为零的条件得到x-1=0且xWO,易得x=l.

【解答】解：•••分式旦的值为0,

X

.*.x-1=0且xWO,

»»x=1.

故答案为1.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的

值为零.

10.（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC,通过测量、计算得△4BC的面积约为1.9

【考点】K3：三角形的面积.

【专题】552：三角形.

【分析】过点C作CDLA2的延长线于点D,测量出AB,CD的长，再利用三角形的面

积公式即可求出AABC的面积.

【解答】解：过点C作CDLAB的延长线于点。，如图所示.

经过测量，AB^I.lcm,CD=1.7cm,

：.SAABC^—AB'CD=—X2.2X1.71.9（cm2）.

22

【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是

解题的关键.

11.（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②.（写

出所有正确答案的序号）

①长方体②园柱③园锥

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形,

据此作答.

【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，

圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，

圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，

故答案为：①②.

【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键.

12.（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则45°（点

A,B,尸是网格线交点）.

AB

【考点】KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】延长AP交格点于。，连接B。，根据勾股定理得到1+22=5,PB2

=12+32=10,求得PD2+DB2=PB2,于是得到NP£）8=90°,根据三角形外角的性质即

可得到结论.

【解答】解：延长AP交格点于连接2D

贝I」1+22=5,PB2=l2+32=10,

:.PD2+DB2^PB2,

：.ZPDB^90°,

:.NDPB=NEAB+/PBA=45°,

故答案为：45.

D

AB

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三

角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

13.（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a,b）（a>0,6>0）在双曲线

上，点A关于x轴的对称点B在双曲线>="，则％+：的值为0.

【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、

y轴对称的点的坐标.

【专题】33：函数思想；534：反比例函数及其应用；558：平移、旋转与对称.

【分析】由点A（〃，b）（〃>0,b>0）在双曲线丁=刍-上，可得M由点A与点B

x

关于X轴的对称，可得到点3的坐标，进而表示出％2,然后得出答案.

k

【解答】解：・・•点A（a,b）（。>0,b>0）在双曲线y=—L上，

X

••上1=ab；

又：点A与点B关于x轴的对称，

:.B（a,-b）

:点8在双曲线上，

x

■•ki~~cib；

ki+k2=ab+（-ab）=0；

故答案为：0.

【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于无轴对称的点的坐标的特征以及

互为相反数的和为0的性质.

14.（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个

直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12.

【专题】521：一次方程（组）及应用；556：矩形菱形正方形.

【分析】由菱形的性质得出OA=OC,OB=OD,ACLBD,设OA=x,OB=y,由题意

得：解得：fx=3,得出AC=204=6,BD=2OB=4,即可得出菱形的面积.

lx-rl\y=2

【解答】解：如图1所示：

•.•四边形ABC。是菱形，

C.OA^OC,OB=OD,ACLBD,

设OA=x,OB=y,

由题意得：卜+尸5

lx-y=l

：.AC=2OA=6,BD=2OB=4,

，菱形ABCD的面积=LCX8O=LX6X4=12；

22

故答案为：12.

图1

【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正

方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键.

15.（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差sc?,在

计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,

-4,9,-5,记这组新数据的方差为sj,则s/=st?（填"或"<"）

【考点】W1：算术平均数；W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的

波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.

【解答】解：；一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均

数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，

/.则5i2=So2.

故答案为=.

【点评】本题考查方差的意义：一般地设几个数据，XI,X2,…物的平均数为彳，则方差

S2=—[（XI-X）2+（X2-X）2+…+（沏-X）2],它反映了一组数据的波动大小，方差

n

越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不

变.

16.（2分）（2019•北京）在矩形A8CD中，M,N,P,。分别为边AB,BC,CD,DA±

的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD下面四个结论中,

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是①②⑶.

【考点】L7：平行四边形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质；LD：矩形的判定与

性质；LF：正方形的判定.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理

即可得到结论.

【解答】解：①如图，：四边形是矩形，连接AC,8。交于O,

过点。直线和QN,分别交AB,BC,CD,于N,P,Q,

则四边形MNPQ是平行四边形，

故当MQ〃PN,PQ//MN,四边形MNP。是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；

②如图，当时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；

故正确；

③如图，当PMLQN时，存在无数个四边形MNP。是菱形；故正确；

④当四边形MNP。是正方形时，MQ=PQ,

则之△。。尸，

：.AM=QD,AQ=PD,

•；PD=BM,

：.AB=AD,

四边形ABC。是正方形与任意矩形ABC。矛盾，故错误；

故答案为：①②③.

AD

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判

定定理，熟记各定理是解题的关键.

二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题

5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过

程，

17.（5分）（2019•北京）计算：|-V3I-（4-ir）°+2sin60°+（X）-1.

4

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数累；6F：负整数指数累；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数累的性质、特殊角的三角函数值、负指数塞

的性质分别化简得出答案

【解答】解：原式=6-1+2X亨+4=g-1+丁5+4=3+2盯.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

’4（xT）＜x+2

18.（5分）（2019•北京）解不等式组：x+7、

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

’4x+2①

【解答】解：＜4_〉x②，

3

解①得：x＜2,

解②得x＜工，

则不等式组的解集为尤＜2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中

间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.（5分）（2019•北京）关于尤的方程2尤+2机-1=0有实数根，且根为正整数，求机

的值及此时方程的根.

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】直接利用根的判别式得出机的取值范围进而解方程得出答案.

【解答】解：：关于尤的方程/-2x+2〃z-1=0有实数根，

，庐-4m=4-4（2m-1）20,

解得：加W1,

..•加为正整数，

・・1,

Ax2-2尤+1=0,

则（尤-1）2=0,

解得：Xl—X2=l.

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出机的值是解题关键.

20.（5分）（2019•北京）如图，在菱形4BCD中，AC为对角线，点E,P分别在AB,AD

上，BE=DF,连接

（1）求证：ACYEF-,

（2）延长EF交CD的延长线于点G,连接8。交AC于点。若8。=4,tanG=L,求

AO的长

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形.

【专题】556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）由菱形的性质得出AC±BD,OB=OD,得出AB：BE=AD：DF,

证出EF//BD即可得出结论；

(2)由平行线的性质得出NG=NA。。，由三角函数得出tanG=tanNADO=&&=工

0D2

得出OA^^OD,由BD=4,得出0D=2,得出04=1.

2

【解答】(1)证明：连接8。，如图1所示：

:四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD,AC±BD,OB=OD,

；BE=DF,

：.AB：BE=AD：DF,

C.EF//BD,

J.ACLEF-,

(2)解：如图2所示：

:由(1)得：EF//BD,

J.ZG^ZADO,

tanG=tanZA£)0=-!^-=—,

OD2

：.OA^OD,

2

：8。=4,

：.0D=2,

：.OA=1.

图2

【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌

握菱形的性质是解题的关键.

21.（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对

国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出

了部分信息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30W尤<40,40-<50,50W

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

301~J~~J~J~J~J_I_I~J~

01234567891011

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第^；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在

内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方，请在图中用“O”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万

美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是①②.

①相比于点A,8所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加

快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点8,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决

胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值.

【考点】1H：近似数和有效数字；V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果;

（2）根据中国在虚线的上方，中国的创新指数得分为69.5,找出该点即可；

（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结

果；

（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②

的合理性.

【解答】解：（1）•••国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，

•••国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17,

故答案为：17；

（2）如图所示：

（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创

新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；

故答案为：2.8；

（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，

①相比于点A、8所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加

快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；

②相比于点3,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决

胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；

故答案为：①②.

301__j___j_j1_i__i_j__

01234567891011

【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知

识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键.

22.（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示，点

O到点A,B,C的距离均等于a（a为常数），到点0的距离等于a的所有点组成图形G,

NA8C的平分线交图形G于点。，连接ADCD.

（1）求证：AD=CD；

（2）过点。作。ELBA,垂足为E,作。FL8C,垂足为R延长。尸交图形G于点

连接CM.若AD=CM,求直线。E与图形G的公共点个数.

4・

8・•C

【考点】KF：角平分线的性质；M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆OO,由得到

AD=CD.从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=CD；

（2）如图，证明CD=CM,则可得到BC垂直平分。利用垂径定理得到BC为直径,

再证明ODLDE,从而可判断DE为。。的切线，于是得到直线OE与图形G的公共点

个数.

【解答】（1）证明：二.到点。的距离等于a的所有点组成图形G,

图形G为△ABC的外接圆O。，

平分/48C,

ZABD=ZCBD,

AD=CD,

：.AD=CD；

(2)如图，'：AD^CM,AD=CD,

：.CD=CM,

'：DM±BC,

：.BC垂直平分。M,

...BC为直径，

：.ZBAC=90°,

VAD=CD)

：.OD±AC,

J.OD//AB,

■:DELAB,

：.OD±DE,

...OE为。。的切线，

直线。E与图形G的公共点个数为1.

E

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定.

23.（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有无i首，i=l,2,3,4；

②对于第，组诗词，第，天背诵第一遍，第（计1）天背诵第二遍，第（计3）天背诵第三

遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，=1,2,3,4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1组XIXIXI

第2组XIX2X2

第3组

第4组X4X4X4

③每天最多背诵14首，最少背诵4首.

解答下列问题：

(1)填入X3补全上表；

(2)若xi=4,X2=3,X3=4,则X4的所有可能取值为4,5,6；

(3)7天后，小云背诵的诗词最多为23首.

【考点】37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】(1)根据表中的规律即可得到结论；

(2)根据题意列不等式即可得到结论；

(3)根据题意列不等式，即可得到结论.

...X1+X3N8①，

XI+X3+X4W14②,

把①代入②得，X4W6,

；.4WX4W6,

，X4的所有可能取值为4,5,6,

故答案为：4,5,6；

（3）・・,每天最多背诵14首，最少背诵4首，

・・・由第2天，第3天，第4天，第5天得，

X1+X2W14①，％2+%3<14②，X1+X3+X4W14③，X2+X4W14④，

①+②+④-③得，3X2^28,

・<28

3

OQ7n

/.Xl+X2+X3+X4^-;:^-+14=----，

33

.,.X1+X2+X3+X4^23—,

3

；.7天后，小云背诵的诗词最多为23首，

故答案为：23.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的

关键.

24.（6分）（2019•北京）如图，尸是定与弦A8所围成的图形的外部的一定点，C是定上

一动点，连接PC交弦A8于点D

小腾根据学习函数的经验，对线段PC,PD,的长度之间的关系进行了探究.下面是

小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在篇上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC,PD,的长度的几

组值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PC/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

AD!cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC,PD,AD的长度这三个量中，确定4D的长度是自变量,PD的长度和PC

的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系尤Oy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当尸C=2尸。时，AD的长度约为2.3和4C7”.

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】13：作图题；33：函数思想.

【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、尸。不可能为自变量，只能是

为自变量，即可求解;

（2）描点画出如图图象；

（3）PC=2PD,即尸£）=J-PC,画出y=L:,交曲线的值为所求，即可求解.

22

【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、尸。不可能为自变量，只能是为自变量

故答案为：AD.PC、PD-,

（2）描点画出如图图象；

⑶PC=2PD,

从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求,

即AD的长度为2.3和4.0.

【点评】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据

函数关系，在图象上查出相应的近似数值.

25.（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=kx+l（^0）与直线x=左,

直线y=-左分别交于点A,B,直线尤=左与直线>=-左交于点C.

（1）求直线/与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB,BC,CA围成的区域（不含边界）

为W.

①当上=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区域卬内没有整点，直接写出左的取值范围.

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）令x=0,y=l,直线/与y轴的交点坐标（0,1）；

（2）①当—2时，A（2,5）,2（-』，-2）,C（2,-2）,在W区域内有6个整数

2

点；②当x=%+l时，y=-k+1,则有正+2左=0,k=-2,当0>人2-1时，W内没有整

数点；

【解答】解：⑴令尤=0,y=l,

...直线/与y轴的交点坐标（0,1）；

（2）由题意，A（公您+1）,B（土二L,-E>,C（匕-左），

k

①当上=2时，A（2,5）,8（-上，-2）,C（2,-2）,

2

在卬区域内有6个整数点：（0,0）,（0,-1）,（1,0）,（1,-1）,（1,1）,（1,2）；

②直线AB的解析式为y=fcc+l,

当》=k+1时，y—-左+1,则有lr+2k—Q,

：.k=-2,

当0>k2-1时，W内没有整数点，

...当o>%2-1或左=-2时卬内没有整数点；

【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据人变化分析W区

域内整数点的情况是解题的关键.

26.（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a/+Zzr-L与y轴交于点A,

将点A向右平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

(1)求点8的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(1,-1),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函

2a

数图象，求。的取值范围.

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；Q3：坐

标与图形变化-平移.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】(1)A(0,-1)向右平移2个单位长度，得到点8(2,-工)；

aa

(2)A与3关于对称轴％=1对称；

(3)①a>0时，当尤=2时，-—<2,当〉=-1时，尤=0或尤=2,所以函数与AB

aa

无交点；

②。<0时，当y=2时，ox2-2ax-1=2,x=包""L或尸aTa+1l当a+|a+l|w

aaaa

2时，aW』

2

【解答】解：(1)A(0,-1)

a

点A向右平移2个单位长度，得到点B(2,-1)；

a

(2)A与3关于对称轴x=l对称，

/.抛物线对称轴x=l；

(3):对称轴x=l,

:・b-2a,

**yctx^~——,

a

①40时，

当x=2时，y=-—<2,

a

当〉=-1时，x=0或x=2,

a

・•・函数与AB无交点；

②aVO时，

当y=2时，ax1-lax--=2,

a

x=a+|a+l]_或尸"Ta+ll

aa

当a+|a+l|W2时，aW-1；

a2

当aW-方时，抛物线与线段尸。恰有一个公共点；

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结

合讨论交点是解题的关键.

27.（7分）（2019•北京）已知/AO8=30°,H为射线04上一定点，OH=«+1,尸为射

线。2上一点，M为线段08上一动点，连接PM,满足/0MP为钝角，以点尸为中心，

将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接0N.

（1）依题意补全图1；

（2）求证：ZOMP^ZOPN；

（3）点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个0P的值，使得对于任意的点M

总有0N=QP,并证明.

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】152：几何综合题；16：压轴题；48：构造法；551：线段、角、相交线与平行

线；552：三角形；553：图形的全等；558：平移、旋转与对称；55E：解直角三角形及

其应用.

【分析】（1）根据题意画出图形.

（2）由旋转可得NMPN=150°,故/OPN=150°-N0PM；由/AO8=30°和三角形

内角和180°可得NOMP=180°-30°-150°-ZOPM,得证.

（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推。尸的长度.由（2）的结论NOMP

=/OPN联想到其补角相等，又因为旋转有已具备一边一角相等，过点N作

NCLOB于点、C,过点P作尸。_LOA于点。，即可构造出△尸£）〃0进而得尸。

=NC,DM=CP.此时加上ON=QP,则易证得△OCN注△QDP,所以OC=。。.利用

ZA(9B=30°,设PD=NC=a,贝U0P=2a,OD=y[3a.再设。M=CP=x,所以QO=

OC=OP+PC=2a+x,MQ=DM+QD=2a+2x.由于点M、Q关于点H对称，即点H为

MQ中点，故MH=/MQ=a+x,DH=MH-£>M=a,所以0H=OD+DH=y[ja+a=a+l,

求得。=1,故。尸=2.证明过程则把推理过程反过来，以。尸=2为条件，利用构造全等

证得ON=QP.

【解答】解：（1）如图1所示为所求.

(2)设NOPM=a,

・・,线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN

：.ZMPN=150°,PM=PN

：.ZOPN=ZMPN-ZOPM=150°-a

・.,ZAOB=30°

：.ZOMP=180°-ZAOB-ZOPM=1SO°-30°-a=150°-a

：.ZOMP=ZOPN

(3)0尸=2时，总有ON=Q尸，证明如下：

过点N作NCL08于点C,过点尸作尸。，。4于点。，如图2

・・・ZNCP=ZPDM=ZPDQ=90°

VZAOB=30°,OP=2

：.PD=LOP^I

2

0£)=22

•，-VOP-PD=V3

'：OH=y/3+l

:.DH=OH-00=1

,：ZOMP=ZOPN

.•.180°-ZOMP=ISO°-ZOPN

即/

在NDM与ANCP中

'NPDM=NNCP

<ZPMD=ZNPC

,PM=NP

:APDM乌ANCP(AAS)

:.PD=NC,DM=CP

设。M=CP=x,则OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+l

:点M关于点H的对称点为Q

：.HQ=MH=x+l

'.DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x

C.OC^DQ

在△OCN与△Q£)尸中

fOC=QD

<ZOCN=ZQDP=90°

、NC=PD

：.4OCN沿LQDP(SAS)

：*ON=QP

图2

【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180。，勾股定理，全等

三角形的判定和性质，中心对称的性质.第（3）题的解题思路是以ON=QP为条件反推

。尸的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全

等证明ON=QP.

28.（7分）（2019•北京）在△ABC中，D,E分别是△ABC两边的中点，如果加上的所有

点都在△ABC的内部或边上，则称施为△ABC的中内弧.例如，图1中症是△ABC的

一条中内弧.

(1)如图2,在Rt^ABC中，AB=AC=2圾，D,E分别是AB,AC的中点，画出△

ABC的最长的中内弧廉，并直接写出此时尼的长；

(2)在平面直角坐标系中，己知点A(0,2),B(0,0),C(430)(/>0),在△ABC

中，D,E分别是AB,AC的中点.

①若t=^,求△ABC的中内弧前所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧窟，使得危所在圆的圆心尸在△ABC的内部或边上，

直接写出r的取值范围.

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】152：几何综合题；23：新定义.

【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2,最长中内弧即以DE

为直径的半圆，.余的长即以。E为直径的圆周长的一半；

(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在。E的中垂线上，①当r=L时，要注意

2

圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在下方时必须AC与半径PE的夹角ZAEP

满足90°WNAEP<135°；②根据题意，f的最大值即圆心尸在AC上时求得的r值.

【解答】解：(1)如图2,以DE为直径的半圆弧宛，就是△ABC的最长的中内弧危，

连接。E,VZA=90°,AB=AC=2加，D,E分别是42,AC的中点，

：.BC==—3叵—=4,DE=—BC=—X4=2,

sinBsin45°22

...弧DE=LX2ll=TT;

2

(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段。E的垂直平分线上，连接。E1，作DE

垂直平分线尸尸，作EG_LAC交FP于G,

①当/=_L时，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(X,1),

22

设P