中考数学复习考点解密第七讲开放探索性问题

中考数学复习考点解密第七讲开放探索性问题

【专题诠释】

开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类.

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完

全、答案不唯一的一类问题.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放

型和编制开放型等四类.

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的

一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型

等四类.

【解题策略】

由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题

意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识

一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之

间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特

等。

【解法精讲】

此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一

般，从而得出规律.

2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已

知条件一致.

3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情

况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.

4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方

法，并加以严密的论证.

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的

综合运用.

【考点精讲】

(一)开放型问题

考点一：条件开放型:

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放

问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向

追索，逐步探求.

例1：(2017日照)如图，已知BA=AE=DC,AD=EC,CE±AE,垂足为E.

(1)求证：Z\DCA丝AEAC；

(2)只需添加一个条件，即AD=BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形.请加以证

【分析】(1)由SSS证明ADCA丝AEAC即可；

(2)先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出ND=90°,即可得出结

论.

【解答】(1)证明：在4DCA和AEAC中，，，

i£=Ch

.,.△DCA^AEAC(SSS)；

(2)解：添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形；理由如下：

VAB=DC,AD=BC,

二四边形ABCD是平行四边形,

VCEXAE,

.*.ZE=90°,

由（1）得：△DCAgAEAC,

.,.ZD=ZE=90°,

.••四边形ABCD为矩形；

故答案为：AD=BC（答案不唯一）.

考点二：结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样

性，这些问题都是结论开放问题.这类问题的解题思路是：充分利用己知条件或图形特征，

进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出

取舍.

例2：（2017广西河池）（1）如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AEXBF

于点M,求证：AE=BF；

（2）如图2,将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AELBF于点M,探究

AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【分析】（1）根据正方形的性质，可得NABC与NC的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂

直，可得/AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得NABM与NBAM的关系，根据同角

的余角相等，可得/BAM与/CBF的关系，根据ASA,可得AABE丝ZXBCF,根据全等三角形的

性质，可得答案；

（2）根据矩形的性质得到NABC=NC,由余角的性质得到NBAM=NCBF,根据相似三角形的性

质即可得到结论.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABCD是正方形，

AZABC=ZC,AB=BC.

VAE±BF,

AZAMB=ZBAM+ZABM=90°，

VZABM+ZCBF=90",

，ZBAM=ZCBF.

ZBAK-ZGJF

在AABE和ABCF中，，理工日

ZA8E=ZfiCF

.,.△ABE^ABCF(ASA),

；.AE=BF；

(2)解：AB=ZBC,

3

理由：•.•四边形ABCD是矩形，

:.ZABC=ZC,

VAE±BF,

AZAMB=ZBAM+ZABM=90°,

VZABM+ZCBF=90°,

:.ZBAM=ZCBF,

.,.△ABE^ABCF,

考点三：条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察

与思考，将己知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角

度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.

例3：（2017内蒙古赤峰）如图，一次函数丫=-通x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

3

以线段AB为边在第一象限作等边aABC.

（1）若点C在反比例函数y=上的图象上，求该反比例函数的解析式；

X

（2）点P（2次，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D,当4PAD与aOAB相似时,

P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明.

【考点】GB：反比例函数综合题.

【分析】(1)由直线解析式可求得A、B坐标，在RtAAOB中，利用三角函数定义可求得/

BAO=30°,且可求得AB的长，从而可求得CALOA,则可求得C点坐标，利用待定系数法可求

得反比例函数解析式；

(2)分△PADsaABO和△PADs^BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值,

可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可.

【解答】解：

(1)在y=-23x+l中，令y=0可解得x=百，令x=0可得y=l,

3

AA(行0),B(0,1),

tanNBA00=3=2i3,

M433

.,.ZBA0=30°,

「△ABC是等边三角形，

/.ZBAC=60°,

AZCA0=90°,

在RtaBOA中，由勾股定理可得AB=2,

，AC=2,

AC(百，2),

•.•点C在反比例函数y=■月的图象上，

X

/.k=2X

...反比例函数解析式为y=a区；

（2）VP（2Vs，m）在第一象限,

/.AD=OD-0A=2^/^-J5W5，PD二m，

当AADPsaAOB时，则有黑=祟，即?=卓，解得m=l,此时P点坐标为（2百，1）；

06GA193

当△PDAsaAOB时，则有黑二罂，即急=^,解得m=3,此时P点坐标为（2匹，3）；

AP（2后，3）不在反比例函数图象上，

把P（2代，1）代入反比例函数解析式得1=第

；.P（2后，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（2与，1）.

（-）探究型问题

考点五：动态探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目.

例5：.（2017四川南充）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=1AB.

（1）求证：EF±AG；

（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的

2倍，EFLAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点，当SAPAB=SAOAB,求APAB周长的最小

值.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB,NEAF=/ABG=90°,证出去二兽，得出^AEFs4

BAG,由相似三角形的性质得出/AEF=NBAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理证出/

A0E=90°即可;

(2)证明△AEFs^BAG,得出/AEF=NBAG,再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得

出结论；

(3)过。作MN〃AB,交AD于M,BC于N,则MN_LAD,MN=AB=4,由三角形面积关系得出点P

在线段MN上，当P为MN的中点时，ZSPAB的周长最小，此时PA=PB,PM=?MN=2,连接EG,

2

则EG//AB,EG=AB=4,证明△AOFs-OE,得出"&="1,证出”式得出AM=LER

OEBG4d我4S5

由勾股定理求出PA,即可得出答案.

【解答】(1)证明：♦.•四边形ABCD是正方形，

.,.AD=AB,ZEAF=ZABG=90",

•点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=1AB.

.MlK_1

AE2AB2

.AFM

•而而

AAAEF^ABAG,

.•・ZAEF=ZBAG,

VZBAG+ZEAO=90°,

AZAEF+ZEAO=90°,

AZA0E=90°,

・・・EF_LAG；

(2)解:成立；理由如下:

根据题意得：匕=!，

BG2

又,../EAF=NABG,

.,.△AEF^ABAG,

ZAEF=ZBAG,

VZBAG+ZEA0=90°,

AZAEF+ZEA0=90°,

AZA0E=90°,

/.EF±AG；

(3)解：过0作MN〃AB,交AD于M,BC于N,如图所示：

则MNJ_AD,MN=AB=4,

P是正方形ABCD内一点，当SAPAB=SAOAB，

...点P在线段MN上，当P为MN的中点时，^PAB的周长最小,

此时PA=PB,PM」MN=2,

2

连接EG、PA、PB,则EG〃AB,EG=AB=4,

.♦.△AOFS/XGOE,

••'=—一,

CKKG4

VMN/7AB,

•.M•二OF-_一1，

aos4

.•.AM」AE」X2=Z,

555

由勾股定理得：PA=VP121-AIS

5

AAPAB周长的最小值的PA+AB=抬旗+4.

5

考点六：结论探究型:

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目.

例6：

考点七：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求

一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的

观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证

明或加以运用.

例7：（2017滨州）观察下列各式：—=1

1X313

211

2X424

211

3X53S

请利用你所得结论，化简代数式：（n23且n为整数），其

1X32与43X5

结果为

【考点】6B：分式的加减法.

【分析】根据所列的等式找到规律"（1--!）

由此计算，

nGrf-2）2nnt21X32X43X5

+•••+的值.

【解答】解：：2!

2_11

2X42彳'

2—_・1・♦—r1w

3XS3S

.2(1..1

nGrf-2)2nn*2

.111,11n11141+.11-1、

1X32X43X5n(n^2)232435nrrf22rrf2

_时1

2CRF2)

故答案是：二典「

2&*2)

考点八：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目.

例8：(2017日照)如图所示，在平面直角坐标系中，OC经过坐标原点0,且与x轴，y轴分

别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上，与。C交于N,H,P三点，P为

抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.

(1)求线段CD的长及顶点P的坐标；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)设抛物线交x轴于A,B两点，在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形(W<=8SAQAB,且aQAB

saOBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)连接0C,由勾股定理可求得MN的长，则可求得0C的长，由垂径定理可求得0D

的长，在Rt^OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；

(2)可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；

(3)由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四娜0(>4=8$刖可求得点Q到x轴的距离，且点

Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QABs^OBN即可.

【解答】解：

(1)如图，连接0C,

VM(4,0),N(0,3),

A0M=4,0N=3,

・・・MN=5,

0C--MN=~,

VCD为抛物线对称轴，

・・・0D41D=2,

在RtZ\0CD中，由勾股定理可得CDf而不前

r.PD=PC-CD爰-9,

：.P(2,-1)；

(2),抛物线的顶点为P(2,-1),

二设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2-1,

•••抛物线过N(0,3),

，3=a(0-2)'-I,解得a=l,

.•.抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-1,即y=x'-4x+3；

(3)在y=x2-4x+3中，令y=0可得0=x2-4x+3,解得x=l或x=3,

；.A(1,0),B(3,0),

/.AB=3-1=2,

V0N=3,0M=4,PD=1,

・・

四边形OPMN=Saowp+S_10MPD+L)M0N=tx4X1

AS△CMNX4X3=8=8SzkQAB,

22

•••SAQAB=1，

设Q点纵坐标为y,则得X2X|y|二l,解得y=1或y=-1,

当y=l时，则4QAB为钝角三角形，而AOBN为直角三角形，不合题意，舍去，

当y=-1时，可知P点即为所求的Q点，

••,D为AB的中点,

r.AD=BD=QD,

AAQAB为等腰直角三角形，

VON=OB=3,

AAOBN为等腰直角三角形，

AAQAB^AOBN,

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为（2,-1）.

【真题演练】

1.（2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且/EAF=45°,将AABE

绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）

A.△AEE,是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE'

C.Z\E'EC^AAFDD.AAE/F是等腰三角形

【考点】R2：旋转的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰

直角三角形；LE：正方形的性质；S8：相似三角形的判定.

【分析】由旋转的性质得到AE'=AE,/E'AE=90°,于是得到aAEE'是等腰直角三角形，

故A正确；由旋转的性质得到/E'AD=/BAE,由正方形的性质得到/I）AB=90°,推出NE'AF=

ZEAF,于是得到AF垂直平分EE',故B正确；根据余角的性质得到NFE'E=NDAF,于是得

到△£'ECs/XAFD,故C正确；由于ADLE'F,但NE'AD不一定等于NDAE',于是得到^

AE'F不一定是等腰三角形，故D错误.

【解答】解：•.•将4ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处，

，AE'=AE,NE'AE=90°,

.,.△AEEZ是等腰直角三角形，故A正确；

•.•将4ABE绕点A顺时针旋转90。,使点E落在点E'处,

.,.ZE,AD=ZBAE,

•.•四边形ABCD是正方形，

AZDAB=90°,

VZEAF=45",

AZBAE+ZDAF=45°,

.♦.NE'AD+ZFAD=45°,

.'.NE'AF=NEAF,

VAE7=AE,

.♦.AF垂直平分EE',故B正确；

♦.•AF_LE'E,ZADF=90°,

.♦./FE'E+ZAFD=ZAFD+ZDAF,

.,.ZFE,E=ZDAF,

/.△E,EC^AAFD,故C正确:

VAD±E,F,但NE'AD不一定等于NDAE',

.•.△AE'F不一定是等腰三角形，故D错误；

故选D.

2.（2017深圳）如图，正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点0,并分别与边

CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：①AQ_LDP；®0A2=0E«0P；③S△出产S四射。酢；④当

BP=1时，tanN0AE=£,其中正确结论的个数是（）

3

A.1B.2C.3D.4

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；

T7：解直角三角形.

【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,根据全等三角形的性质

得至lJNP=NQ,根据余角的性质得到AQ1DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到A02=0D«0P,

由ODWOE,得到OA'WOE,OP：故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE,DF=CE,于是得

到SAADF-SADTO-SADCR-SADOF,即SAAOO-S四边彩OECP;故③正确；根据相似二角形的性质得到BE=3，

求得QE=g,QO=J®,0E=5，由三角函数的定义即可得到结论.

4520

【解答】解：•.•四边形ABCD是正方形，

.\AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

VBP=CQ,

；.AP=BQ,

在ADAP与△ABQ中，，NMEN/ADQ，

IAP=BC

AADAP^AABQ,

AZP=ZQ,

VZQ+ZQAB=90°,

AZP+ZQAB=90°,

：.ZA0P=90°,

AAQ±DP；

故①正确；

VZD0A=ZA0P=90,NADO+NP=NAD0+NDA0=90°,

AZDAO=ZP,

AADAO^AAPO,

•・.»=O''P"，

CDM

.•.AO2=OD・OP,

VAE>AB,

.*.AE>AD,

...ODWOE,

.,.OAVOE«OP；故②错误；

在△CQF与4BPE中，ZG=ZP，

OQ=SP

.,.△CQF^ABPE,

.*.CF=BE,

.*.DF=CE,

在4ADF与ADCE中，,ZADC-ZDCE>

DF=C!

.,.△ADF^ADCE,

SAAOF-SADFO-SADH;-SAW,

即SAAOD=SPHiiKOECF；故③正确；

VBP=1,AB=3,

AAP=4,

,?AAOP^ADAP,

.PB^PA_4

•瓯一“一3'

BE=­，QE=——,

44

VAQOE^APAD,

13

••QOOK_QC_4，

京奇-PQ-5

.•.Qojyi,OE嚼，

.*.A0=5-Q0=4

5

tanN故④正确，

GK16

故选c.

3.（2017贵州安顺）如图，DB〃AC,且DB*C,E是AC的中点，

（1）求证:BC=DE；

（2）连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形，则给aABC添加什么条件，为什么？

【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质.

【分析】（1）要证明BC=DE,只要证四边形BCED是平行四边形.通过给出的己知条件便可.

（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决.

【解答】（1）证明：；E是AC中点，

.\EC=~AC.

2

：DB」AC,

2

，DB〃EC.

又；DB〃EC,

，四边形DBCE是平行四边形.

；.BC=DE.

（2）添加AB=BC.（5分）

理由：：DB总AE,

二四边形DBEA是平行四边形.

VBC-DE,AB=BC,

AAB=DE.

AoADBE是矩形.

R

4.(2017湖北荆州)如图,在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD,将AABC沿BC方向平移,

使点B移到点C,得到4DCE.

(1)求证：△ACD丝ZkEDC；

【考点】LB：矩形的性质；K1)：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质.

【分析】(1)由矩形的性质得出AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90°,由平移的性质得：

DE=AC,CE=BC,ZDCE=ZABC=90°,DC=AB,得出AD=EC,由SAS即可得出结论；

(2)由AC=BD,DE=AC,得出BD=DE即可.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=DC,AC=BD,AD=BC,ZADC=ZABC=90°,

由平移的性质得：DE=AC,CE=BC,ZDCE=ZABC=90°,DC=AB,

/.AD=EC,

在4ACD和aEDC中，

/.△ACD^AEDC(SAS)；

(2)解：ABDE是等腰三角形；理由如下：

：AC=BD,DE=AC,

；.BD=DE,

.♦.△BDE是等腰三角形.

5.(2017山东泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC,AD1AC,E是AB的中点，F

是AC延长线上一点.

(1)若EDJLEF,求证：ED=EF；

(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边

形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；

(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗？若垂直给出证明.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】(1)根据平行四边形的想知道的AD=AC,AD±AC,连接CE,根据全等三角形的判定

和性质即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD,等量代换得到AC=CF,于是得到CP=2AB=AE,根据

平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；

(3)过E作EM_LDA交DA的延长线于M,过E作EN_LFC交FC的延长线于N,证得△AME^A

CNE,AADE^ACFE,根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：在QABCD中，

VAD=AC,AD1AC,

.,.AC=BC,AC±BC,

连接CE,

•；E是AB的中点，

，AE=EC,CE1AB,

.,.ZACE=ZBCE=45°,

.\ZECF=ZEAD=135°,

VED±EF,

ZCEF=ZAED=90°-ZCED,

在ACEF^QAAED中，、国=健

NECF:READ

AACEF^AAED,

・・・ED二EF；

(2)解：由(1)知△CEFgAAED,CF=AD,

TAD=AC,

AAC=CF,

VDP/ZAB,

AFP=PB,

，CPWAB=AE,

2

...四边形ACPE为平行四边形；

(3)解：垂直，

理由：过E作EMLDA交DA的延长线于M,过E作EN_LFC交FC的延长线于N,

在△AME与aCNE中，,，

.,.△AME^ACNE,

二ZADE=ZCFE,

zwa-zcm

在AADE与4CFE中，,ZDAJF=ZFCB=135*，

ne=EF

AAADE^ACFE,

ZDEA=ZFEC,

VZDEA+ZDEC=90°,

ZCEF+ZDEC=90°,

：.ZDEF=90°,

.\ED±EF.

6.(2017四川绵阳)如图，己知aABC中，NC=90°,点M从点C出发沿CB方向以lcm/s

的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N,

且保持/NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称

后得到AENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),AENF与AANF重叠部分的

面积为y(cm2).

(1)在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如

果不能，说明理由；

(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；

(3)当y取最大值时，求sinNNEF的值.

A

【分析】(1)由已知得出CN=CM=t,FN〃BC,得出AN=8-t,由平行线证出△ANFsaACB,得

出对应边成比例求出NF=^AN=1(8-t),由对称的性质得出NENF=/MNF=/NMC=45°,MN=NE,

22

OE=OM=CN=t,由正方形的性质得出OE=ON=FN,得出方程，解方程即可；

(2)分两种情况：①当0VtW2时，由三角形面积得出y=-4t?+2t；

②当2<tW4时，作GHJLNF于H,由(1)得：NF=-1(8-t),GH=NH,GH=2FH,得出GH=2NF=>1

233

(8-t),由三角形面积得出y=X(8-t)2(2<tW4)；

(3)当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM,则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出

方程，解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF」AN=3,因此EM=2BM=4,作FD_LNE于D,

2

由勾股定理求出EB=y£邑斤=2旄，求出EF-1-EB-VC,由等腰直角三角形的性质和勾股

£•

定理得出DFH2HF3：里，在Rt^DEF中，由三角函数定义即可求出sin/NEF的值.

22

【解答】解：(1)能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：

连接ME交NF于0,如图1所示：

VZC=90°,ZNMC=45°,NF1AC,

，CN=CM=t,FN〃BC,

；.AN=8-t,AANF^AACB,

，NF」AN」(8-t),

22

由对称的性质得：ZENF=ZMNF=ZNMC=45°,MN=NE,0E=0M=CN=t,

・・•四边形MNEF是正方形,

AOE=ON=FN,

(8-t),

解得：tg

5

即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为J；

S

(2)分两种情况：

①当0<tW2时，y=XxX(8-t)Xt=-Xt2+2t,

224

即y=-4"t、2t(0<t^2)；

4

②当2VtW4时，如图2所示：作GI1_LNF于H,

由(1)得：NF=X(8-t),GH=NILGH=2FH,

2

；.GH国F乌(8-t),

33

.\y=~NFzGH」X』(8-t)X-L(8-t)=-？-(8-t)2,

222312

即(8-t)2(2<t<4)；

(3)当点E在AB边上时，y取最大值，

连接EM,如图3所示：

则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,

VBM=4-t,

；.2t=2(4-t),

解得：t=2,

ACN=CM=2,AN=6,

ABM=4-2=2,NF』N二3,

2

AEM=2BM=4,

作FDLNE于D,贝1JEB二诟再而二.而奇二/XINF是等腰直角三角形,

7.(2017宁夏)在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM

±AB,PN1AC,M、N分别为垂足.

(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值.

【分析】(1)连接AP,过C作CD，AB于D,根据等边三角形的性质得到AB=AC,根据三角形

的面积公式列方程即可得到结论;

(2)设BP=x,则CP=2-x,由AABC是等边三角形，得到NB=NC=60°,解直角三角形得到

BM=/x,PM=^x,CN='1(2-x),PN=~(2-x),根据二次函数的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)连接AP,过C作CD，AB于D,

「△ABC是等边三角形,

；.AB=AC,

+

•SAABC-SAABPSAACPf

：."ABCD^ABPM+^-ACPN,

・・・PM+PN=CD,

即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;

(2)设BP=x,则CP=2-x,

:△ABC是等边三角形,

・・・NB=NC=60°，

VPM±AB,PN1AC,

ABM^x,PM=§x,CN=/(2-x),PN=^S(2-x),

,四边形AMPN的面积(2---X)~x+--X[2-；(2-x)]苧(2-x)=-浮噂

X亭冷…邛,

..•当BI时，四边形AMPN的面积最大，最大值是卡.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出

辅助线是解题的关键.

8.(2017贵州)如图，OM的圆心M(-l,2),0M经过坐标原点0,与y轴交于点A,经

过点A的一条直线1解析式为：y=--jx+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物