123广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023－2024学年广东省深圳实验学校九年级（上）期中数学试卷一．选择题（每题3分，共30分，将正确答案的代号写在答题卷上）1.下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可．【详解】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键．2.如果与的和等于，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意二次根式的加减运算即可求解．【详解】解：∵与的和等于3，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键．3.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆，再根据概率公式求解即可．【详解】解：分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形，圆；现从中任意抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：首先判断出既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形，然后利用概率公式求解．4.在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．【详解】解：如图：∵，∴，在中，，∵，故，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．5.如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E为边的中点，∴故选：B．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．6.如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．【详解】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AP＝BP，CQ＝AQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，∵∠BAC＝110°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°．7.如图，要使成为矩形，需添加的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形和菱形判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、根据和得出四边形是菱形，不是矩形，故本选项错误；B、中，，，添加后则，可得，四边形是矩形，故本选项正确；C、中，添加，得出四边形是菱形，不是矩形，故本选项错误；D、中，添加，得出四边形是菱形，不是矩形，故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查矩形和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定定理．①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．8.函数与（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案．【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意；当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，故选：C．9.当时，关于的一元二次方程的根的情况为（）A.有两个不相等实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10.如图，正方形中，E，F分别是上的点，交于M，交BD于点N，若平分，，记，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据正方形的性质证明得到，再由角平分线的定义得到；证明，，得到，，则；证明，进而证明，得到；过点M作于点H，如图，由角平分线的性质得到，再证明，得到，得到，则．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，过点M作于点H，如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，通过证明三角形相似和三角形全等求出x、y、z的值是解题的关键．二．填空题（每空3分，共15分，将答案写在答题卷上）11.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．12.若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根据题意求得，，进而即可求解．【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．13.若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．【答案】2

【解析】【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．14.如图，直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，点D，E分别在边AC，AB上，点F是边BC的中点．现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，则AE＝_____cm．【答案】【解析】【分析】过F作FH⊥AB于H，根据相似三角形的性质得到FH＝，BH＝，求得EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，根据折叠的性质得到EF＝AE，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，∴AB＝＝5（cm），过F作FH⊥AB于H，∴∠BHF＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴，∵点F是边BC的中点，∴BF＝BC＝2，∴，∴FH＝，BH＝，∴EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，∵现将该纸片沿DE折叠，使点A与点F重合，∴EF＝AE，∵，∴，解得：AE＝（cm），故答案为：．【点睛】此题考查三角形相似，折叠的性质及勾股定理的应用，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．15.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=______．【答案】【解析】【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可．【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，则，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．三．解答题（共7小题，16题8分，17题5分，18题7分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分）16.（1）解方程：（2）解不等式组：【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）解：∵，∴，∴解得：，；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解集为：【点睛】本题考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式组是解题的关键．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先通分，再计算加减，再把代入进行计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键．18.某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四个等级（分别用A，B，C，D表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质”的等级作为样本进行数据分析，并绘制下列两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题．（1）本次随机抽取的学生有_______名，等级为优秀（A）的学生人数所占的百分比是______；（2）在扇形统计图中，等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是______；（3）将条形统计图补充完整；（4）若该校九年级学生共1200名，请根据以上调查结果估算，等级为良好及良好以上的学生共有多少名？【答案】（1）50，（2）（3）见解析（4）912名【解析】【分析】（1）根据B等级人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数．由四个等级人数之和等于总人数求出A等级人数，最后用A等级人数除以总人数可得答案；（2）用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；（3）根据（1）中计算结果可补全条形图；（4）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可．【小问1详解】本次随机抽取的学生有18÷36%=50（名）．等级为优秀（A）的学生人数为（名），∴其所占的百分比是，故答案为：50，40%；【小问2详解】等级为合格（C）的学生所在扇形的圆心角度数是，故答案为：；【小问3详解】由（1）可知等级为优秀（A）的学生人数为名，即可补全统计图如下：【小问4详解】（名），答：评价结果为良好及良好等级以上学生大约共有912名．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，由样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．19.某班级搞活动，需要购置甲、乙两种物品．已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同．（1）求甲、乙两种物品每件的价格分别是多少元？（2）若550元班会费全部用于购买甲、乙两种物品（两种都要有），问可购买甲、乙两种物品各几件？【答案】（1）每件甲种物品的价格为50元，每件乙种物品的价格为40元；（2）可以购进7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品．【解析】【分析】（1）设每件乙种物品的价格为x元，则每件甲种物品的价格为（x+10）元，根据数量=总价÷单价，结合用150元购买甲种物品的件数恰好与用120元购买乙种物品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设可以购进甲种物品m件，乙种物品n件，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出结论．【小问1详解】解：设每件乙种物品的价格为x元，则每件甲种物品的价格为（x+10）元，依题意得：，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，∴x+10=50．答：每件甲种物品价格为50元，每件乙种物品的价格为40元．【小问2详解】设可以购进甲种物品m件，乙种物品n件，依题意得：50m+40n=550，∴．又∵m，n均为正整数，∴或．答：可以购进7件甲种物品、5件乙种物品或3件甲种物品、10件乙种物品．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．20.如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．（1）求证：；（2）若．求证：四边形是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接，交于点，证明，推出四边形为平行四边形，得到，即可得证；（2）先证明四边形是菱形，得到，进而得到，即可得证．【小问1详解】证明：连接，交于点，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴；【小问2详解】∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是菱形，∴，∴，∴平行四边形是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．21.如图，一次函数与函数为的图象交于两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．【答案】（1），（2）（3）点P的坐标为或【解析】【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．【小问1详解】解：将代入，可得，解得，反比例函数解析式为；在图象上，，，将，代入，得：，解得，一次函数解析式为；【小问2详解】解：，理由如下：由（1）可知，当时，，此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，即满足时，x的取