19黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

哈十七中学2023—2024学年度八年级假期作业验收数学学科一、选择题（每题3分，共计30分）1.在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A.爱 B.国 C.敬 D.业【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：A、B、C均不能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意；D能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项等知识，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项是得出正确答案的前提．根据同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项逐项进行判断即可．【详解】解：A．，因此A不正确；B．，因此B不正确；C．，因此C不正确；D．，因此D正确；故选：D．3.下列与不是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的定义解答．【详解】解：，，，，与不是同类二次根式的是．故选：A4.到的三个顶点距离相等的点是的（）A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点 D.三边中线的交点【答案】B【解析】【分析】本题考查是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：B．5.等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意求出，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】如图所示，等腰三角形中，∵∴∵∴∴．∴一腰上的高与底边的夹角是．故选：A．6.已知，，则的值为（）A.2 B.3 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，故选：D．【点睛】本题考查同底数幂乘法的逆运算，正确掌握运算法则是解题的关键．7.如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．【详解】解：过P作，∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，故选：C．．【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．8.在，，，，中，是分式的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：分式有，，，共3个，故选：C9.点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（）A.1 B.4 C.7 D.10【答案】D【解析】【详解】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；共3+3+3+1=10点．故选：D．10.如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC.其中正确的是()A①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．二、填空题（每题3分，共计30分）11.用科学记数法表示0.00000307是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题的关键．根据科学记数法表示较小的数的方法即可求解．【详解】解：，故答案为：12.若式子有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．【详解】解：式子有意义，，解得，故答案是：．【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟悉相关性质解题的关键．13.因式分解：=___________．【答案】【解析】【分析】先提取a，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】=a（x2-6x+9）=故答案为：．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法进行因式分解．14.计算：=______________【答案】2【解析】【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：原式=．故答案为2．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．15.若a＋b＝8，ab＝15，则a2＋ab＋b2＝________．【答案】49【解析】【分析】首先配方得出a2+ab+b2=（a+b）2-ab进而得出答案．【详解】解：∵a+b=8，ab=15，

则a2+ab+b2=（a+b）2-ab=82-15=49．

故答案为49．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，正确配方是解题关键．16.在中，，，若，则AB边上的高为______．【答案】4【解析】【分析】根据中，，，，利用含30度角的直角三角形的性质求边上的高．【详解】解：如图示，中，，，是边上的高，∴，∴，，∴，∵，∴CD=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．17.汽车以的速度从A地到B地，又以的速度从B到A，则来回的平均速度为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是列代数式及分式的混合运算．解决本题的关键是熟练掌握路程、速度与时间的关系．平均速度的计算方法是总路程除以往返一次的总时间．【详解】解：设从A地到B地的路程为，这辆汽车来回的平均速度．故答案为：18.如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则________．【答案】7【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质求出的两边相等且有一个角是是解题的关键．根据轴对称的性质可得，，，然后求出，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定，即可得出的长．详解】解：如图，连接，与关于对称，与关于对称，，，，，，，，，是等边三角形．，，故答案为：719.在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于________．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是运用角的和差关系：或．分两种情况讨论：为锐角，为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出，，得到，，再根据关系式或，即可求得的度数．【详解】解：①如图，当为锐角时，是的垂直平分线，是的垂直平分线，，，，，，且，，即，解得．②如图，当为钝角时，是线段的垂直平分线，，，同理，，，，故答案为：或20.如图，中，，，过上点D作直线，分别交、延长线于点F、点E，若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．过点F作交于点G，过点F作，由等腰三角形的性质与判定得出，，设设，则，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：过点F作交于点G，过点F作，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，设，则，，，中，，，，故答案为：三、解答题（第21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26、27每题10分）21.解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）无解【解析】【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【小问1详解】，，解得：，检验：当时，，是原方程的根；【小问2详解】，，，解得：，检验：当时，，是原方程的增根，原方程无解．22.先化简，再求值：，其中【答案】【解析】【分析】先利用公式进行化简，再代入计算即可．【详解】解：当时原式=【点睛】本题考查分式的化简，通过化简代入求值是典型的考查提，关键在于进行化简．23.如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）在图中作出关于y轴的对称图形；（2）在图中作出向下平移2个单位后的图形；（3）连接、、，直接写出的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8【解析】【分析】本题主要考查作图平移变换与轴对称变换，解题的关键是熟练掌握平移变换与旋转变换，并据此作出变换后的对应点．（1）分别作出点，，关于轴的对称点，再顺次连接即可得；（2）分别作出点，，向下平移2个单位，再顺次连接即可得；（3）根据三角形面积公式计算可得．【小问1详解】如图所示，即为所求．【小问2详解】如图所示，即为所求．【小问3详解】的面积为24.如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．（1）求的度数；（2）连接，若，，求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；三条边相等．（1）因为为等边三角形，所以，，又，所以用“”可判定，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质解答即可；（2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可．【小问1详解】为等边三角形，，，在和中，，；，，；【小问2详解】延长至，使，连接、，由（1）知，，是等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，，；又，，，即，，，，，，，，，即的长为625.春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．（1）求大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？（2）在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？【答案】（1）大樱桃的进价是每千克50元，小樱桃的进价是每千克30元（2）小樱桃的售价最少应该为每千克45.5元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出分式方程及一元一次不等式．（1）设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克，根据“分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；（2）先求出购进了大樱桃和小樱桃的重量，设小樱桃的售价为元千克，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不少于6700元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【小问1详解】设大樱桃的进价是元千克，小樱桃的进价是元千克，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，．答：大樱桃的进价是50元千克，小樱桃的进价是30元千克．【小问2详解】由（1）得购进了重量相同大樱桃和小樱桃。都为（千克），设小樱桃的售价为元千克，依题意得：，解得：，的最小值为45.5．答：小樱桃的售价最少应为45.5元千克．26.[问题提出]如图1，在中，，是中线，E是线段上的一个动点，且点E不与点C、D重合，连接、．（1）求证：；[问题探究]将线段绕点E逆时针旋转，使点B的对应点F落在直线上．（2）如图2，当时，的大小是否发生变化？请说明理由；[迁移探究]（3）如图3，当时，若，试探究与之间数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当点在线段上的位置发生变化时，的大小不变，且，理由见解析；（3），理由见解析．【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质解答即可；（2）令与的交点为，利用全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角的性质解答即可得出结论；（3）过点作于点，利用含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：，是的中线，，，垂直平分，；（2）解：当点在线段上的位置发生变化时，的大小不变，且．理由：令与的交点为，如图，，．在和中，，，，，，即．，，；（3）令，，过点作于点